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3 33 At^>

les équations ^N> iPj (P'j (§. ,77. ,78.) donneront R /» S -t-H» î S'm P® y’cüs — I y|a — ato /— m'P‘VVcos'^j'+i )ji^— i ) it-4s'—~OJ -f-m' P”y»oos ((/+ a) »■ — 1> a w'; — m'P' ” J’cos (--f- 1 , fi'- (/- 1 ) r — aH), '■ Q'*y‘cos('fi' — — a}a — ïobj — m'Q'y/cos ff-f-i ■/*'— (1 — i)ji — os' — a)

ara';— m'Q"iJ»cos^ri f-i i(t'— 11— Ou — ra— ra).

Il est aisé de voir que les fonctions Q sont les didérentielles des fonctions P par rapport à a, de sorte qu’on a

^ ““-ar'

' rfa’ ^ à a

Il est aussi visible que, pour donner aux quatre argumens qui entrent dans R et dans r^— la forme i>' — (/ — a)js — consl., il faut mettre à la place de 1, ,* dans P» et Ç% i— i dans P‘, Q', P’“, Q'", et i— % dans P”, Q". Ainsi on aura

rue >C4-* — Si . (/I . *« — I 3 A^*"* a* 33

“ a ^ ~T~ “ Ti“ ■+■ r -inr-»

= liriilÇiLiiLÎ

3 a SA<»>

•“ à tf a* »

4i’— /— a SA^" , I

-- fia

a* 3'A«> d'-.'» *" 8 do*"»

a*3*At<— ■)

Cela posé on aura, en faisant pour abréger, iw-f-a(t — rj*'’,

R = o*' P“ V® cos — a œ) — m P' V V cos — oj — ni')

l m' P“ >" cos («|‘'> 1 o j ot' P"' J' cos — a Rj ,

*■ Q’ ">* CO* (4''^ •— %vij — /»' y* >y cos — W — w')

ASTRONOMIE PHYSIQUE + m' Q" y® CO* ^1)^” — 2 k', — m' Q'“ i’ cos — 2 H), d'où l’on tirera

■PO iy= sin — 20; — V y Y sin — m — tr' >

OR) = (/ p,„ >11 S •

Pour les autres termes des équations IV, VI, qui admettent la forme ■>)*’’, on trouvera, en vertu de* équation* (a; (é; (5- 182.;, Xll (§. 18J.), et de* formules (t, (§, 177 ),

U cos 2 (j2 — ts) = cos — >®j, U »in 2 (n — sin (r)*'^ — 2»),

1 2 ■ — 05) = — i(n — n") B^'^ cos — 2 k).

rt

^ cos 2 f;i — ta)~i(n — n ) B^'^ sin — 2 w),

cos *(p.^ — <!!)=:• — r (n — n )* cos — a ta),

U cos ((1 — «J = — ï y cos — acj) -t- ? V co* (ry’'* — m — w'),

u' sin (ft — ®) == — î V sin (11^'’ — a®) -j- * Y sin (>)'•’ — w — ta';,

sin(|i — œ):= ' ^ ■j\P'^'Xcos(n^'’ — aw) — N^'Vcos(»i*^^ — Wr— œ'J},

cos((i — *3)=: — Üï — ^ ^ {ti^'^sin^»)''’— 2w)— N^'^V'sin — ra — <b')}i coêQi — w)~ ^ { M^^Vcos(ri^^’ — aa) — N^^Vcos^-»)^^^ — ta — a

A régard de l'intégration des fonction* de R, il faut observer que, les inégalités qui sont divisées par un très-petit nombre, ayant non-seulement une valeur considérable, mais aussi une longue période (5- • H tiesl

pas permis de regarder les clémens ‘V, m, etc. comme cunstans durant une période entière, comme on l’a fait jusqu'à présent; mais qu’il faut tenir compte de leurs inégalités séculaires , dans l'intégration meme. Soit donc é^dX une ditrérenlielle à intégrer, i étant fonction des élémens des orbitrs. Si l'on porte la précision jusqu'aux dillérenliclles secondes des élémens, (S- timO» *1 qu’on intègre par parties, on aura

fiâX — iX~-fXèHz=i\—f^^ xa/.

En faisant pour abréger, ^ — h, fXdlzzY, J~ïdl—Z, on trouvera

fhXdt=hY —/Yèh=hY —fh'Yè/, donc /*aX = )tX — AY-f A'Z, d’où il vient fdtfiBXz=fH\dt — fhYdl-^fh’Zdt = fkdY — f/idZ-{'h’fZdl=z AY — a/A3Z+A7Zd/ = *Y— »AZ-t-JA7Z3/. Ainsi on a

C /*dX = *X-|^ /Xd/-f.^^^/37Xa/, ^

( fdtfkdX — kfXdl — i^^fd/fXdl + 3 ~ fèifdlfXdl.

Ces formules nons serviront k trouver les intégrales de (3 R), de et de3r/(3R), relativement aux inégalités à longue période. Pour les autres * arguroens, tels que u, on fera simplement fidX—kX,fdtfidX—ifXdl. Au reste nous n'aurons égard aux dilTérentielles secondes que dans les

équations du troisième ordre, v|/, En rassemblant toutes les valeurs pré> cédentes, et faisant i(n — n' j — an=X, on aura

I V. O =: ^ — B''' — M^'> ^ >» cos — ata)

^^cf) ra B') -I- O /(3R) -t- -, nr (^\

9 ni n T/

V L U" = — — -f $ — - ? 7* sin ata)

ndf'éa» a S

"■ N''’'V'y'sin — ta — taOi- ^ o/3//(3R) -f- ^ afr ùY

STI TfV

§. 191. Intégrons maintenant 1rs valeurs précédentes de (3R),

dl (3Rj, et faisons pour plus de simplicité,

jy'sinan=/; 7*cos ata =/', 'vysin(tB4-œ')=g, 7ycos(ts-|-<ï')=ÿV

(C) . . . . ^y- 3,ij' — y* cüs a ta' — A', 4’ sin a fl z= A, 4^ cos a 11=. A'

Cela posé on aura ($. tgi.)

rr V . cT»r-P'/ + P”A'-P"'A^)sinV'->>

(d K) z;: m 0 — aT« 8/ V / xc*

'• 2-(P*/— P'5-t-P" A— P'"A;cosn^”S*

r (^) = m'(QV'-Q’«' + (^"A'-Q'”A)cosn<'>

CQ’/- Q‘ ^ + Q" A - Q”> A) sin »i‘‘^

/i gt h, etc. étant les fonctions variables des élémens, que nous avons dé-

33o ASTRONOMIE PHYSIQUE

signées, par l (§. 191.). Si on observe maintrnant, que “ — \dt oM

dt — — (S- >9'''» la prcmicie îles t'oruiules (B) ilonnera

>(dR)rr

:os

La seconde des formules (B) (§. 191.) donnera

mv-y-), jL+‘*'' (''+’x • tO"*”'' (*+r srj-

COt >]

ain Y)

Si ou laiscmble tous ces termes, les équations précédentes deviendront

UY