LIVRE V, CHAP. VIII. 43i

précisément en raison inverse du cerré dus distances mats dans tout le reste do l'orbite lunaire la force centrale suit des lois diil'ërentes. CberchoBS la loi qui a lieu dans les points principaux de l’orbite.

Dans les quadratures on a N = — désignant par y un» ' valeur tiès-peu difl'ércnte de y, et par N' la Torse centrale dans la distance

. Faisons — — - =: a,

— a', de sorte que

y, on aura N:N':: (i («

V ï CL ï •

N :N':: : — .T" » “ ^ pti» o,oo5 (J. 93g.}.

Or y doit être e.xprimé par le rayon de la terre CS- SgO, ensorte que ^=6o & peu près, d’où il suit que toutes les puissances de y, qui ont un exposant positif, soit entier suit fractionnaire, sent des nombres plus grands que l’u< nilé: conséquemment un pepl donner è la proportion précédente celte forme.

y, • yi

ÿh ' ÿn*

• étant une très-petite fraction positive, et n -< a. Il suit de lè, que dan» les quadratures, la force centrale change dans un rapport qui est moindre que celui du carré des distances.

Par le même procédé on trouvera dans les syzygies,

UT . xT' .. *’ — “ . *’ — ® ©y* • — 0 . * — 3' .. y~^ .y'~^ . . . '

^ ^ yl • yâ •’ y, • y”*' ' y* ■ ■ ‘ V

P étant —— =9 a = 0,01 1, On a donc i-\-a—y, et i — ?—y , d’où

l’on lire

» logjf = log (i -|- a), — X logy = log (r — p}, ou à fort peu près,

*logy = a, X log y = (3 = 2 a , donc X = 2«.

En faisant N = ^ , m est plu» grand que a, et m — a = a (a — n). Il ensuit que, dans les sysygics , la force centrale change dans un rapport plus grand que celui du carré des distances. '

La partie de la force centrale , qui modifie la nature de la courbe, savoir^ — N = ^^(i-|-3co»2(f), est un maximum =— 2^- dan» le» sysygiesj mai» sa valeur actuelle dépend de la situation des apsides. Si l'on nomme

/{l5 ASTRONOMIE PHYSIQUE

N, N', le* Torce# centrales dan* les syzygies, qui conviennent aux distance*

y, y, on a vu que

rs . iv . . J, .

Ce rapport serait précisément le rapport inverse du carré des distances , si aQy^, zQy^, étaient égales: il sera donc dérangé d'autant plus, que y et y' diO%rent plus l’un de l'autre. Or leur dilTérence étant un maximum , si l'un des deux points coïncide avec le périgée, et l'autre avec l'apogce, il en suit, que la force centrale s'écarte le plus du rapport inverse du carré des distances, et que par conséquent la nature de l'ellipse éprouve le plus grand dérangement, quand les apsides coïncident avec les s^'/ygies; et que le dérangement est le plus petit, lorsque les apsides coïncident avec les quadratures.

$. 242. On a vu 240.) que la force \I augmente la vitesse de la lune, dans toute la portion de son orbite de C en A et de D en B, mais qu'en A et B elle commence à la retarder. Il en suit, que la vitesse de la lune est un maximum dans les sjzygies, et un minimum dans les quadratures, et que par conséquent son mouvement horaire augmente depuis les quadratures jusqu'aux syzygies , et qu'il diminue des syzygies aux quadratures. Il en naît la grande inégalité du mouvement horaire =: qui est -|- 4^ '

dans les syzygies, — 4u" dans les quadratures, et nulle dans les octans: on la trouve dans la Tab. LI. de M. Biirg.

Dans les syzygies, la vitesse est un maximum, et la force centr.'.'e un minimum ($. 24’0- U suit de là, que le mouvement de la lune s'écarte moins de la tangente, ou que son orbite a la plus grande couiluire dans les s^zygies, et la plus petite dans les quadratures. Il est donc visible, que la lune approchera le moins de la terre dans les syzygies, et le plus dans le* quadratures. Or comme il est impossible que la lune approche continuellement de la terre, son orbite n'étant pas une spirale mais une courbe fermée, il s'en suit que la lune commencera à s'éloigner de la terre dans les syzygies , et à s'en rapprocher dans les quadrature* , et que par conséquent sa distance à la terre est la plu* petite dan* le* syzygies, et la plu* grande' dans les quadratures; de manière que son orbite ressemblera k un cercle,

aplati tnr la ligne dei lyzygiei, et alongé aur U ligne de« quadratarei: ce qui e«t conforme à l’inégalité de la parallaxe — aô' cotscp (II. $. ai3.). Oa verra aiaément , que cela auppoae l’orbite circulaire ; ai l’on a égard b aoa ellipticité, on trouvera de pareila cfaangemena, qu’éprouve l’excentricité ou U nature de l’ellipae.

Soit (éig. 4^.) T le foyer, C le centre, A l’apogée, B le périgée, CT l'excentricité de l’orbite elliptique ALB que la lune L décrirait continuellement, ai la force centrale N = ^ était toujouri en raison inveræ du carré de la diatance TL:=jr, ou ce qui revient au même, ai n était — a. Maia ai la force, de A en B, augmente dana un rapport plua grand, n étant ^ a, la ' lune' approchera de la terre T: aa vraie orbite Alb tombera en dedana de l’ellipae ALB, Té aéra moindre que TB, et e, le milieu de Ab, aéra plua éloigné de T que le centre C> conaéquemment l’excentricité Te augmentera d’autant plua, que le grand axe Ab diminue en même tenu. Par la même raiaon , en auppoaant encore a ^ a, la lune a’écartera de la terre de b en A, pareeque la force centrale diminue daiu un rapport plua grand: elle décrira l’ellipae bd a, et le milieu 7 de éa aéra plua éloigné de T que c; ainai l’ex* eentricité augmentera également dana l’autre moitié de l’orbite. Le contraire aura lieu, ai n eat plua petit que a. Or a aurpaaaant le nombre a, ou celui-ci aurpaaaant nie plua, aelon que lea apaidea coïncident avec lea ayzygiea ou avec lea quadraturea ($. a4i.}, il en auit, que l’excentricité eat un muai/num, loraque lea apaidea coïncident avec lea ayzygiea, ou la plua grande équation du centre avec lea quadraturea, et qu’elle eat un minimum, ai la plua grande équation a lieu dana lea ayz) giea; et qu’en général l’excentricité augmentera ou diminuera, aelon que la ligne dea apaidea avance dea quadraturea aux ayzygiea, ou dea ayzygiea aux quadraturea. Ce août piéciaéinent lea mèmea phénomènea que Plolémée avait déjb obaervéa , et qui aont connua aoua le nom d’éa«c//on (II. $. iQ^.). Ce changement de l’excentricité eat parfaitement conforme !i celui que lea aatronomea modernea ont déterminé par obaervation , et qui eat proportionnel au coainua du double de la dialance do aoleil à l’apogée de la lune (II. $.

ASTRONOMIE PHYSIQUE ^ 943. Si lei points où la lune parvient à sa plus grande et ù sa plu* petite^ distance de la terre, ne sont pas les mêmes a charjue révolution, sa vé' ritable orbite ne sera pas une ellipse, mais une autre courbe dont la nature .dépend des perturbations; il en est de même des cliangemena de l'cacentriclté, dont nous venons de parler. Mais tomme la lune ne s'écarte pasbeancoiip de l'ellipse, et que toutes les tables astronomiques sont fondées sur la théurie elliptique, celte théorie a été adoptée aussi pour la lune, et l'on a représenté le mouvement des apsides par une fiction, en supposant que la lune décrit une ellipse qui tourne en même tems autour de la terre. Pour répandre plus de jour sur celte matière , il sera nécessaire de dire quelques mots sur le anouvement d'un corps dans une oibite mobile, en supposant que ce mouvenent résulte d'une petite déviation de la force centrale du rapport inverse du carré des distances.

Soit {Fig. 4 '•) A' M' B' l'orbite elliptique Je la lune, C la terre. A' le périgée , M' le lieu où la lune se trouverait b une certaine époque , si son -nouTement n'était pas troublé par le soleil. Supposons qu'en vertu de ces perturbations, Pellipse entière tourne autour de C, ensorte qu'elle prenne 1a poaitioD A MB, faisons ACM = A'CM': cela posé, M sera le vrai lieu de la lune, et CM = CM' ~y la vraie distance. Le mouvement riel de la lune de A' en M est composé de son mouvement relatif h' M', et du mouvement tle Porltile A' A. Désignons par w et v les vitesses relative et réelle en M ou M', et supposons que les vitesses angulaires dans le mouvement réel et le mouvement relatif soient entre elles comme p. à i, et que l'ellipse soit donnée par une équation entre le rayon vecteur y cl la perpendiculaire abaissée sur la tangente, •CTrrCT'm/. Si dans le tems dl, la lune parcourt l'arc M’m'~Mm, et que ■dans le même tems l'orbite, en tournant autour de C, décrive l'angle mC.u, ayant fait Cfi—Cm, fi sera le vrai lieu de la lune au bout du terni et M^ est l'élément de sa vraie orbil»^ Ct~p étant perpendiculaire è M;t, et M/l» un arc de cercle, décrit du centre C. Cela posé on aura Mn : M« :: 1 : ;t, M)x : Mm : : u : «v, mnzzdy, et en faisant MT — V (jr^ — u^) = ç. Ica triangles semblablet MCT, niMn, donneront

M/nzz , Mnn: , donc M ft et M » r: ,

q q ‘iK 9 q

Si on substitue uv®4- et av—mn~dy, on aura i-|-^ — --m — ou

( 1 ) -ü’ n: IV® y’ ■4- .U-' <v® U®,

et les triangles semblables MC/, h Al y, fouiniront C/=. CM, donc

, . n -w tt

Dans le périgée A', CA' est perpendiculaire aux arcs de l'ellipse et de la Traie orbite lunaire, parceqne la rotation de l’orbite autour de C doit con* stamment être perpendiculaire au rayon vecteur. On aura donc dans ce point y~pzz.C^' — 6', et la vraie vitesse v aura une' valeur c qui' est déterminée par les élémcns de l’orbite. Or dans toutes les forces centrales, les vitesses sont en raison inverse des perpendiculaires, abaissées de C sur la tangente (§. 21.^, d’où l’on conclura

V — — — fpar donc w zz — ;

P jx w a ’ pu*

ce qui étant substitué en (1) donnera

p^-uy

Si on fait MCft=:d(p, les triangles semblables ,M C/, fxMy, donneront dyzz — ^ 3^ (y* — p'y, et l’on a, pour toutes les forces centrales, =

(J. 20.), d’où l’on tirera dy~ — — V (j* — p*), et en dilTérentiant , ddyzz

— Ÿ -T" ^ substitue V (y* — p*; — viendra ’

ddj. = A®d/®(l ddjr-j.d(î5®=:-l^^.

En substituant cela dans l’équalmn IV (§. *.9.), on aura pour toutes les forces centrales P l’équation, a^P— Mais A—vp — ce 21.), donc

Dans l’ellipse *ou l’orbite relative, wu =: — doit avoir une valeur constante-

C, d’où il suit que jj. est aussi une constante. En dilTérentiant donc (4)

I >®-+(u® — iW® dp jC'x* — Oj^y ' du

fx® u^y*

, on aura- ~ ^ 1 r~i, donc par (5),

ASTRONOMIE PHYSIQUE (6)

C*f*3lL , (h.’— Oc*»*

•’?P= .Tïm^ -1

Si on nomme Q la force crniralc <lan« l'oibitr rl'i|iliqiie A'M', qui doil être

proportionnelle de même ^gQ — ' ^1 *** nommant ”v le

viteue relalire daoa le périgée A', et subilituaiil C:zzwit—ye,

>*^*au

Or dana lea apaidea , la mouvement réel et le mouvement relatif sont de petite arcs de cercle autour du centre C, d'où il auil que ces deux vitesses seront entre elles comme les vitesses angulaires: on a donc

O : 7 :: |i: i, conséquemment tgQ—

Si on substitue cela en (S), on aura

— (>t*— Qc’e*

ce qui est la partie de la force centrale, qui dérange le mouvement elliptique, en tournant l’ellipse autour deC, et produisant le mouvement des apsides.

S- ’44- La force perturbatrice que nous venons de trouver (7^ , est réciproquement proportionnelle au cube de la distance jr, tandis que Q l’est

an carré. On peut donc faire la dernirr- = la premièie zS —, et par

En comparant cela aux

conséquent la force centrale entière, P ~ - — .

expressions précédentes de agP et igQ (§. s43.', on aura : — , partant

Si on b,iXj — e-\-t, V— — on aura Pzz~^ donc/izzVF,

et A^:=E — Fe. Comme l’orbite lunaire s’écarte fort peu du cercle, on peut supposer le paramètre *= ae, ce qui donne 31. (3)i y^e- z=.gf’k—igŸ«, d’où il vient agA^ -J- 7® zz agE, donc

équation qui servira A comparer les mouvemens de la lune et de ses apsides;

Si dans un certain tems, la lune va de A' en M, le périgée de A' en A, les vitesses, avec lesquelles croissent les angles A'CM et A'CM', seront entre

elirt corane |i. < ($. 94'^*)* En noramont donc le mouvement relatif de la

lune A C M' ~ C- ^dui de* apsides A'CA~>|' on auia

a4- = a.A'CM — ac = <>— «)dC= 9£-

Si on fail F. 4“ Y, on aura dans le p^rig^e Y := K, y #lanl z:ie: ainsi

y étant =p-l-3 r = «-!-*» Y deviendra E + dY — E+Fs — E-f-Fdy, d’où il

vieul F = — . Le mouvement des apsides sera donc

Le mouvement dC étant toujours direct, il en suit, que les apsides de la

lune auront un mouvement direct ou r/lmgrode, selon que — est plus ou moins

gsanJ que — , et qu'ils sont stationnaires, lorsque — = , Alors on a

Y tt

d . log/=rd. log Y , donc Y=«y, et V ~ la force pertoibatrice

éisparaît, et le mouvement est elliptique

La force centrale est en général (J. a4‘-)» N=:-^ — ey(«-»-5eoi»^

En faisant donc ‘ ^ 0=S, on aura Y=/— Sy*; d'où ^ =.i~4%f*<

Il en suit d>(> 1/ ou k très- peu près

d+ = {V .iH-3s^î)- i}dC = iSj'îdC-

Supposons que le mouvement périodique de la lune, dC< soit k son mouve* ment sjrnodique, — è(p, comme n k 1, ou d^— — nè0: ators on aura

(dC — 3nd^ cos i$),

dont l’intégrale donnera le mouvement des apsides,

+ = (C - |n sin »<p).

Le premier terme donne — 270* pour le moyen mouvement des apsides

dans un mois périodique, lequel est par conséquent toujours direct; le second

terme — g ^ O *>■> > $ donne la libration des apsides , ou réyuafton de fmpogée. Elle s’évanouit dans les syzygies et quadratures; elle est un maximum positif dans les oclans qui précèdent las quadratures, et un maximum nëga' tif dans les octans qui précèdent les sys^gies, pareeque $ = Q — Cela

4Î8Î ASrttftrïOMiE PHYSIQUE

eÿt ftarfailrrAptit d'accord avec l’équation de* apsidés , découverte par Plo> léinée (11. $. ><)(>.', qui eil, intimément liée avec la variation de l’excentriciié ainsi que le fait voir l'hypothèse que les astronomes modernes

ont adoptée pour calculer l'évection (H. $. 198.''. Quand on ne considère l'équation de* apsides qu'à l'égard de U correction de l'équation du centre qui en résulte , et qui doit nécessairement dépendre de l'anomalie de la lune, et par conséquent du lieu de* apsides, il en naîtra un argument qui renferme l'élongation du soleil de la lune, e( de la lune des apsides, conséquemment la distance du soleil à l'apogée de la lune (II. $. 198.).

Soit l'apogée de la lune “OJ, l'équation des apsides, fsin* tC — celle de l’excentricité, 4co*a(Q — c.)=:d'y (§. r4*0 Cela po«é, le premier tèrnne de l’équation du centre, — 2'V*iri(C — w), aura besoin de la correction

— ’idy sin — ®) a73tB.cos (C, — ns) zir — î sin 'C — ns a O •” a®)

— îsiii X- «— 2O+ 2k)-|- {“V sin (»C~ nO-fC— ® -t-rVsin. aC— 2O— C+®j-

Le' second et lé quatrième terme donnent V/^■ec/^o/l, qui a le même argument, sin (■' C — 2O — £,"l” troisième terme est l’équation XIII. de, la lon-

gitude de la lune, dans les tables de M. Bÿrg (11. .g. 198. >204. )•

§. 245. La force — -) f (§. i4o.), qui sollicite la lune suivant LT

(/■'ig. 47O, agit dans le plan de l'orbite lunaire; elle ne peut donc pas déplacer ce plan. Mais l’autre force P = — - — r luivant TS ou LM, n’est

pas dans ce plan, excepté le seul cas où le soleil est dan* le noeud de la lune: elle pourra donc altérer la latitude de la lune, et nous avons trouvé (g. 24'') è P^n prè* P= ^ . Supposons que la lune décrive dan*

le tems dt l’arc L/=yd£ autour de la terre T, le soleil étant en S, et que la prolongation de U rencontre l'écliptique en N, de manière que T N soit la ligne des noeuds, N le noeud descendant, en supposant que la latitude de la lune en L est boréale. Soit l\ la petite ligne, parallèle à 1 S, que la Ion* a parcourue dans le tems df, en vertu de la force P. Cela pesé, Ir vrai Wiouvement sera LX; et si la prolongation de LX rencontre l'éclipfique en' «; Tn sera la'nouvelle position de la ligne de* noeuds, et la din'érentielle du mouvement rétrograde des noeuds. La ligne /X, étant parallèle à TS, et par conséquent à l'écliptique, le sera aussi à N/i, le