y a " Kdo) ' —pq") -h ce

Le dernier membre de cea deux équations est nul, è cause des équations (i) (J. aj3.). On aura donc, en intégrant, et substituant A*+T =>’, etc.

(3) l’myo4-«'*m'ya'4- m"Ya'-t t" * m"' Y a"' = P,

m et P étant deux constantes. Supposons maintenant que l’équation (E) on (M) ait des racines imaginaires qui donnent des exponentielles, et qu'il en résulte les termes

l’ey'4-P,e-^''4-eet., /:= Qeyr4'cct., A'=: F«yr4-cef. , f=Q'*y''4-cet.

P h*y'-4-R,«/'' 4" c‘ t., q = Se/' 4" cet., p' =: R'e^' -f- cet., etc. r étant le nombre dont le logarithme naturel est l’uniléi 1’, Q, P', etc. seront des quautités réelles, pareeque y et v, yet m', etc. et par conséquent, h,l,h'/.

etc. doivent toujours avoir une valeur réelle, quelle que soit leur granueur ou variation. Cela posé on aura

Y- = (P= + Q’) ■’/' + (P,* 4- Q,-) "y'' + cet., 7'’ = fP" + Q'-yy> -f- cet. et ainsi du reste. En aubsiituant ces valeurs dans les équations (a) (d), et désignant par f le plus grand des exposans f, f , etc. on aura

O = {«1 y a (P" + Q’J -j- m' y ,/ (P'’ 4- Q'=) -I- cet \ rV -j- cet.

P = {>/. y a I -i- S) 4- ni' /a' (R'* + S ’) 4- cel.f v!/"» 4- cet. les termes suivant étant multipliés par des puissances de e , moins élevées que e'J< . Si tes équations (E) (M) ont des racines égales, d'où résultent des arcs de cercle et des termes de cette forme,

A = P.r hP,"'4-cet., 7=5/^+...., h'—Vr^...., etc.

fr étant la plus haute puissance de t, on aura, comme précédemiuen', nrrjrnyir^P''4Ç’)4''''^^‘^(y*y9^ }t’'‘s-cef., pzj'nyrt(R’+S®,-t-....J/ ''r-cef.

Comme le tems t croit à l'inGni, lea termes ej*, r'v, devicndiont in6niment plus grands que tous les termes suivans, ajoutés ensemble. Il est donc impossible que la somme de tous les termes qui sont multipliés par tU* o.u par (‘r, se réduise à une constante a ou p, à moins que le coetlicient de e!/> ou r'*' ne soit nul. 1! en est de même des termes vIV'r, qui deviendront infiniment plus grands que la fomipe de tous les termes moins élevés. On aura

doue, dans le cas des racines imaginaires ou égales, o=i«+9'--ffp-^4-(?'-') -I- o=R’4-s'4(R«4S'’j 4-

Si on substitue, suivant la troiaième loi de Kepler, Y ^ etc. iQi

équations précédentes deviendront

rift i%' ü rid IVs

Puisque P, Q, R, S, P', etc. sont des quantités réelles, leurs carrés seront toujours positifs , ainsi que les masses et les distances , m, a, m', a , etc. Les moyens mouvemens N, N', etc. seront aussi de même espèce , pareeque tputes les planètes circulent autour du soleil dans le même sens. Ainsi lotis les termes des équations précédentes auront le même signe , et comme leur somme est nulle, il faut que chaque terme soit nul, d'où il résulte

49< ASTRONOMIE PHYSIQUE

P = O, Q rr O, P' = o, Q' = o, P, = o, etc. R=ro, S o, R, “o, eic. c’est-à-dire, les expressions de h, l, p, q, etc. ne peuvent renfermer ni exponentielles ni arcs de ceicle; tous leurs ternies sont des sinus ou p(t|iodiques , et ces élémens ne sont assujélis qu'à des oscillations. Il en est de même de leurs carrés et par conséquent des excentricités > ~ et

des inclinaisons S V (// -f- «y”). Ces élémens ne peuvent pas croître indéfiniment; ils ne feront, dans tous les siècles à venir, qu'osciller entre des limites qui sont même très resserrées. En eflet , les équations (a) (J) donnent, en didércntiant.

èy — — — cet.

7m y' O 7m ya

Il est donc visible, que les variations séculaires ne dépendent pas de la petitesse actuelle des élémens, mais du rapport qui existe entre les masses, les distances, etc. et que l'excentricité ou l'inclinaison d'une planète peut éprouver un très-grand changement , si la masse perturbatrice est beaucoup plus grande que celle de la planète troublée. En supposant par ex. que les lettres sans trait se rapportent à Mars, et celles marquées d'un trait à Jupiter, on aura en nombres ronds,

^ = i;oo, ^ = 4. 7 = donc 3 7 = — 1700.37'.

Ainsi la variation de l'excentricité de Mars serait 1700 fuis plus grande que celle de Jupiter , si cette planète agissait seule sur Mars. Mais le système solaire est tellement arrangé, que les actions des diverses planètes se détruisent à peu près; et c'est par celte raison, que les limites , entre lesquelles oscillent les e.xcentricités et les inclinaisons des orbes planétaires, seront toujours très -étroites. Si l'on ajoute l’action de Saturne à celle de Jupiter, on aura à peu près

~:=55o, —ZZ.6, —=?, et 37"= — a37', d'où il vient TO ’ O ’ 7 U’

L’action de la terre réduit celte variation à très - peu de chose. Ainsi on voit , que le mouvement de toutes les planètes dans le même sens sutlit, pour rendre périodiques les variations de la forme et de la position de leurs

L I V R E V, C II A P. X. 4g3

orbîlcs , et pour en exclure toute équation rigoureusement séculaire; mais que , si les limites , entre Ies(|uelles se t'ont ces oscillations périodiques, sont trcs-resscriécs, c'est dû uniquement à la distribution des masses et des orbites, cjue le hazard a produite, ou que l’Auteur do la nature a choisie.

On trouvera le même résultat pour les satellites de Jupiter et de Saturne, qui circulent aussi dans le même sens, dont les masses sont peu diFférenles les unes des autres, et dont les excentricités et les inclinaisons sont également très-petites. Le système de tous ces corps est donc parfaitement stable relativement à leurs e.\centi icités et inclinaisons: leurs orbites seront toujours .à peu près circulaires et dans un même plan. Il en est autrement des apsides et des noeuds qui ont, ainsi qu’on l'a vu, un mouvement progressif qui sera déterminé par le calcul numérique des formules précédentes.

§. 2;6. On trouve dans le Chap. VII. tous les élémens nécessaires pour le calcul des formules précédentes. Nous commencerons par les variations séculaires de Jupiter, Saturne, et Uranus , qui forment un système à part, sur lequel les actions des autres planètes ont peu d’influence. En marquant donc de deux, de trois, et de quatre traits, toutes les .quantités qui se rapportent à Jupiter. Saturne, et Uranus, on doit mettre dans les formules précédentes • §. 273. S74O1 I®* cbilfres 2, 3, 4, à la place de o, 1, a: d’où il viendra (01) = (23), fo2) = (24), (ü3) == O, etc. (O) =: (i3j -f- (24) =r (2),

(i ) = (32) (34) = (3), (a) = (4i) (43; zr ^4 , (J; = o;

et ainsi du reste. Il en suit

e=o, © = (2)(3)-(23)(3a;-|-(2)(4)-(24 (42j + (3)(0- (34XiO,

et ù, g, seront donnés pas les équations

(E) 0 = 43 — CA’' -f DA — E, (M) o=5^-|-C^-t 35,

l’une des valeurs de g étant zéro. *

Les valeurs de et les élémens des planètes (Tab. I. \rill. IX.

X. 5* 209. a2i. 222.223.) donnent, suivant les formules (a) (§. 272.), (i (§ 273.), C '^) — 7'^3244Î)5; [a3] — 4 ^7^335 1 ; (a4) — o" [24J — o",o3a?6o3; (Jq) — 0'^, 335 aS5; [34, = 0 ',2 » 3 2967; (32) =z J7",9iÛ243; [3aj = ii'',6y983i;

4»4 ASTRONOMIE PHYSIQÜE

(40 = o",9io53aj o^^^o2o;211i [4^ = «",382638;; [431 =zo*.83oo72A;

d'où l'on » conclu

C — ?;",9a486iu D = i38", 60952; E =: 181", 2664»; © =6a",96t2i,

SI l'on fait i = x -{- 1 C, l'équation (E) se transformera en o = x^ — iaa,62;g. x — 512,991928;

équation qui a trois racines réelles. On trouvera donc, par la méthode ordinaire de la trisection de l'angle que nous désignerons par 3 J),

cos3(ti=: 96964 ^

et 1rs trois racines x, en mulliprtant aV[4**>^596...j parcos^, par -ein(3o*-^), et par — sin {3o“ -j- if). Cela donnera 3<j; — ii»a'42"; x= ia'',;6i,474; x, — 5",669i584; r, =— 7'',09i3i54 ; d'où il viendra é =: x -4- 9'',33i6ao4; donc

Les racines de l'équalion (.M) sont

('0 gt = — a',46C32o4; Pj = — a5 ,5a854o;.

On a donc les équations suivantes (J. a; 3. 274-1 ,

” = U sin (P -4- 6lj B, sin (|î, -f- <) -|- Bj sin fpj -f- /),

” = ^ (P 4- * 0 + ^ B, lin fp, H- i,r) -I- Bj sin (P,+ é,0;

/p" = G sin a -f- G, sin (n, -|-p, (i + G, sin 4-Ps

, ÿ) = G sin n -t- ^ G* sin (»), -f p,0 + ^ Ga *in («la + g A

r= G sin ■>) -} — G, -f-p, 0“l- G^ sin (ri, /).

/•', /"’j b', q", etc. étant ce que deviennent A”, h'", h", p' , etc. lorsqu’on change les sinus en cosinus. On aura par ce qui précède (§. 27.3. 274.),

N^»43V'-(3;}-[=3][34], M'r[.14]{A-(*)Ka4][3a], M^z>3l32'.-{<^(2)HM31h L=(a4)k-K3j}-t-(»3X14). K-r(34)(g^■(a)}^■C24;(32).K^^fe^K2)Hp+{3)}-(23X33);

ce qui donne en même tem» N,, L,, Nj, L,, K', , e(c. en mettant 4,, g^, g^, b U place de 6, g. Ainii les valeurs précddentes donneront

Lf — 4,‘^^aiiS; K', — 3,4929175; K*, := — 52,917.04;

Lj = 1, 9003653; K'^ = — 4'7uo7429; 0,20426;

•i’o& l'on conclura les équations

'A” = B sin (P 4- 4/) 4- B, sin fp, 4- 4, i) 4- Bj tin (p, 4- 4j /) ,

{A”* — 3,0678437 . Bsin ^P4~ ^0 4* 0,790668 . B, sin (P, 4~ ^’i 0