CHAPITRE IV
Masst et densité des corps qui forment le système solaire.
. S- 58. Sans «nppoter l’attraction oniveraelle, prouvée précédemment, il eat certain, que tous les corps, autour desquets d’antres corps décrivent des courbes, sont doués d’une force attractrice; et si ces courbes sont des sections coniques, le fojer est le siège d'une force centrale, réciproque au carré de la distance; et tout ce qui a été prouvé do ces forces, a égatenent lieu è l'égard du corps qui occupe le foyer: ce qui servira à comparer l’intensité des forces de divers corps centraux. Or l’intensité étant proportionnelle è la masse (Ç. 4^.)> on aura en même tenu le rapport des masses, ce qui étant combiné avec la grosseur des corps, servira è comparer les densités. La grosseur est donnée par le diamètre apparent et la distance ou ta parallaxe; or le rapport des distances des planètes au soleil étant connu parles périodes de leurs révolutions, en vertu de la troisième loi de Kepler, il suffit de connaître une seule distance, par ex. celle de la terre au soleil , d'où il suit, que la parallaxe du soleil est le fondement de tout ce calcul. L’intensité de la force donne, pour chaque distance, la force accélératrice, et ce qui revient au même, la chute des corps è sa surbee, son diamètre étant connu. Pour cela il suffit , de connaître l’accélération à la surface d’un seul corps; si l’on prend pour base la chute des corps sur la terre , que nous pouvons mesurer immédiatement, ta masse et la densité de la terre sera la mesure des autres. Mais il est aisé de voir, qu’an peut substituer à la chute des corps, le sinus verse de l’arc parcouru par un satellite: d’où résultent deux méthodes.
Les révolutions de plusieurs satellites autour du même corps central, ne peuvent servir d’aucune manière à comparer entre elles leurs masses.
to4 ASTRONOMIE PHTSIQUE
parce qne l’acc^l^ralion ne dépend pas de la masse du mobile, mais de celle du corps ceniial. Connaissant donc la révolution de la terre, qui détermine la masse du soleil, on pourrait y comparer la masse de cliaqiie autre planète, par ex. Jupiter, si l’on pouvait rapprocher la terre de Jupiter, ensorle qu'elle ferait autour de lui une réralulion qui, étant compaiée ^ la durée de l'année, donnerait la masse de Jupiter. Mais comme cette rëvoUition ne dépend pas de la masse de la terre, elle pourra être remplacée par «in corps qiielconquej d'où il est aiaé de voir, que la comparaison des révolutions des satellites do Jupiter avec celle de la terre ou d'une autre plaoèle autour du soleil , servira à déterminer le rapport entre les masses de Jupiter et du soleil. On voit qu'un ne peut trouver par ce moyen que les masses du soleil, de la terre, de Jupiter, Saturne, et Uranus.
$. 5g. L'intensité de la force centrale est déterminée par l'accélératiok qu'elle communique à une masse quelconque dans une distance donnée; et l'intensité de deux forces est proportionnelle aux accélérations ^ distance égale ($. II.). Or les accélérations étant réciproques au carré des distances, il est visible, que les inteusités de deux fuites seront comme les carrés dea distances, auxquelles leurs accélérations sont égales. Si deux forces centrale! F, p, exercent, dans les distances F, f, la même accélération que la pesanteur sur la terre, c'esl-^-dire, de iS. à i6 pieds dans la première seconde; l'accélération h que la force p communiquerait dans la distance F, est et & la même distance, l'accélération de la force P est g, d'où il suit Ttp::g: Cette proportion servira à oomparcr la masse d'un
corps central à celle de la terre.
Soit M la masse d'un corps, dont la force acr éléralricc ï la distance F est égale à la pesanteur sur la terre; et supposons qu'un autre corps déclive .autour de lui, dans le tenu T, une ellipse dont le demi -grand axe soit A« ou qu'il parcoure en* une seconde l’arc n: cela posé on aura ^S-
s it* A*
b masse et le rayon de la terre /étant pris pour uniié. Si a est le demiaxe exprimé par la moyenne distance de la terre au soleil , on à ($. 5^.)
A. — ^ .et ^ t étant la pauUaxe du uoleil; d'où il viani .
' io5
où X8j3 et
Xrô" “ X 53**
^ ont une valeur constante pour toutes les planètes, d étant 8'', 6 et n 2^984, a8. Si l’on veut se servir de l’orbite terrestre , pour
xa
déterminer la masse du soleil, on a a=i, n = o, 000000199^584=» (S* ^7')>
et la masse du soleil par rapport à celle de la terre
Les rayons r des orbites des satellites sont donnés par rapport an demUiliamètre R de la planète principale (II. 3ii.), rnifiR; et le diamètre apparent de la planète à la distance moyenne du soleil, est connu (II. S. i53.). Le dernier est le vrai diamètre 3 R, divisé par le rayon dp l’orbite terrestre: ayant donc converti ç en parties du rayon, on aura f=R en parties de la distance moyenne du soleil , partant r par rapport à cette distance, ou et la masse de la planète, par rapport à celle de
la terre,
X uj’
60. On peut Cussi trouver les masses des planètes par rapport à celle du soleil, sans connaître la chute des corps g, par le moyen des proportions du 5^':
M et m étant la somlhe dès masses Ru corps central et de son satellite,
N et n les moyens mouvemens, T et t les révolutions, A et a les demi-
grands axes. Si l’on prend popr base l’orbite de la terre, on aura, en désb
gnant par Q» $ 1 C* masses du soleil, de la terre, et de la lune,
A = i, M = 0+ 5, T = 3i558i5i"»5 l’année sidérale. • . : .
Maintenant, si l’on veut déterminer la massé de la 'terre, on a
m = $ -j-C — '' $» < = 3360591", 5 le mois sidéral.
En nommant la parallaxe moyenne de la lune II = 67' 1", celle du soleil
w = 8", 6; et faisant la masse lunaire ~ , on aura
— = 7 = '3,368747?.j donc
cy
ASTRONOMIE PHYSIQUE
Cetle formule donne — =358i63. On a vn ($. 3g.), que ce calcul a besoiu de pluiieurs corrections, pour être exact. M. de Laplace trouve par la première méthode, après y avoir appliqué toutes ces corrections, en supposant la parallaxe du soleil =8', 74^ = 339086. Si l’on suppose la
parallaxe =8'', 6j il en résulte — = 354790; et cetle valeur sera employée dans le cours de cet ouvrage.
Quand on veut déterminer la masse d'une planète, entourée de salelfites, par la comparaison du mouvement des satellites avec celui de la tene,
on a ^S.5g.)£ = p?, donc O s ou “ = (7} h’?’. Si .l’on
veut eempaier l’orbite d’un satellite avec celle de la planète principale, T, t, seront les durées des révolutions de la planète et du satellite, et ^ est le rayon de l’orbite du satellite, divisé par la distance de la planète au soleil, c’esl-è.dire la distance du satelliio à la planète, vue du soleil. En la nommant t, on aura
= 43 donc ^
Suivant M. de Laplace (*) on a, relativement h Jupiter et son IV '.ateUite, ff=8'iS", 84 =: 0, oo34o3gooa; T = 4^33, 6oaa jours, S=i6,66gj. d'où l'on tire
— = O, oooq3t 1 1 54 = — ^ — .
fc > » > t «067,09
Relativement h Saturne et son IV (VI) satellite, on a 6 = a' 5g" =: • 0,0008678165; T = 10758, 96984 jours, /=i5,gj53j, d’où il résulte |=o,ooo>97«383 = 33^.
Relativement ù Uranos et son IV satellite, on a S=44'',a3i=o,ooo3i4433i; T = 30688,7157 jours, i3, 4559 jours, d’où il suit
— = 0, ooooS I »8q6 = — — .
Mais les distances de Saturne et d'Uranus à leurs planètes respectives n'étant
(1) Kspot, éxt ^st. tfu 3. Ch* i//> JOfs*
(>) Mécan, Cil Ttm. XII- pmg. ti- , ^ w.
pas anssi certaines que celles du IV satellite de Jupiter, les deux demiëree naues auront besoin d’èire vérifiées par les observations. La masse de Satur> ne peut être corrigée par la grande inégalité de Jupiter, due ê l’action do Saturne: c'est par ce moyen qu’on a trouvé la masse de Saturne, qui sera adoptée dans la suite, ^ = r-rr, — r*
6). Si l’on nomme M la masse d’une planète, celle de la terre étant prise pour unité, C son volume, n sa densité, R son vrai demi-diamètre, exprimé en rayons terrestres, f le demi-diamètre apparent è la distance moyenne 'du soleil, m la parallaxe du soleil, on aura ^
& = R = -^, C = par rapport k la grandeur de la terre. •
*îl U.» pj *
En substituant M i= -- — ^ ($. Sg.), il viendra
A tM
la densité par rapport k celle de la terre, & = — expression qui est indépendante de la parallaxe do soleil, ou de la grandenr du système solaire; ce qui ne serait pas le cas, si la loi d'attraction était diflérente de celle do la nature ($. 3i.).
La masse M donne immédiatement Taccélération h k une distance, égale au rayon terrestre, h — iAg. Puisque l’accélération est réciproque au
nrré de la distance , celle G que la masse M communique k une distance
quelconque R, exprimée en rayons terrestres, se trouvera par la proportion R* : I : : A : G. Si l’on désigne par R le vrai demi-diamètre du corgs M , exprimé en rayons terrestres, on aura R r= X , d’où il vient G ~ »
donc l’accélération ou la chute des corps à la surface de la planète M. en une seconde — — ^ g.
$. 6a. Résumons les formules précédentes. Si l'on nomme M la masse d'une planète, & sa densité, C son volume, par rapport k la terre, J Tannée sidérale, i le mois sidéral, / la durée d'une révolution d’un satellite autour de la planète principale , T celle de cette planète autour du soleil, n la parallaxe de la lune, « celle du soleil, ; le sinus du demi • diamètre apparent de la planète k la distance moyenne du soleil, S le sinus de l’angle sous lequel le rayon de Torbite du satellile est vu du centre du soleil k la moyenne distance de la planète, is le même rayon divisé par le demi-
io8. ASTRONOMIE PHYSIQUE
jiamiire Je la planète, G la chute des corps bi la surface de la planète eni
une seconde, et i -j- — — j- o''- procède,.
Les valeurs numériques des masses de la terre^ de Jupiter, Saturne, et Ura nus, ont été calculées sur les formules (i) et (a) (§. 6o.), d’où il est aisé de conclure les valeurs de C, A, G, à l’aide des formules (3) (4) (5): on. les trouvera dans la table ($. 65.). IL faut aubsliluec à g (5) l’espace que les corps parcourraient sur la>lene en une seconde, si la pesanteur n’était pas diminuée par la force centrifuge,, due à la rotation j. et cet espace est g — lignes ou i5, i pieds de France (’).. '
$. 63. Les formules, précérienles. ne sont pas applicables à la lune; mais les perturbations que la terre éprouve par l’action de son satellite, sont si' considérables, à cause de sa proaimité, qu'elles peuvent servir è déterminer la force ou la masse de- la lime dont elles dépendent. Ces perturbations sont dedeux espbeess les unes sont proprement du ressort de l’astronomie, ainsi que la nutation, la précession,, etc. les autres sont des effets physiques , dont le plus important, le plus frappant, et le- mieux, connu est le flux et reflux de la mer. On sait que la force altractrice de la lune élève et abaisse les eaux de l'océan deux fois par jour, et il est aisé de voir que le soleil doit produire un effet semblable, quoique moins sensible, à cause de sa grande distance. On .1 observé que les plus grandes et les plus petites marées arrivent un jour et demi après les sizygies et les quadratures, parce que dans le premier cas, les forces de la lune et du soleil agissent dans le même sens, tandis que dans le second cas elles sont opposées l’une à l'autre. En nommant donc X, y, ces deux forces, le rapport des marées dans les sysygies et dans les quadratures donnera celui de x~\-y à x — y, d’où il est aisé de conclure la force et la masse de la lune, celle du soleil étant connue. Mais les«
Voy JSou'gutTf /igure </t U Ste4. y II. S- ai.
- LIVRE III, C H A P. IV. loq
oixconstanccs localM peuvent considérablement augmenter ou diminuer la,
grundeur des marées. M.. de Laplace trouve^ par la comparaison d’un grand
nombre d’observations, que la masse de la lune est ~ de celle de la terre.
D‘un autre côte on a conclu de la nutation, où l’action de- la lune nt aussi
combinée avec celle du soleil, que la masse lunaire n’est que Dans la
table qu’on trouvera 65.), on a pris- le milieu Si l’on nomme D le
demi. diamètre apparent,, et 11 la parallaxe de la lune, son volume par rap*
port à la terre sera C — — (o, 27293)2 (II. §. 214.) 0, 02o33o8. Sa
densité- sera - —
— — 7 zr 0, 63o6 = A , et la pesanteur à la- surface de
