TV

Si les forces accélératrices sont réciproques au carré de la distance, ce qui est le cas dans notre système solaire, les deux orbites Pir, pq, auront te même grand axe A, parce qu'elles sont supposées égales et semblables; mais les révolutions T, &, qui répondent au même axe A, seront ditférenles. Supposons que P décrive autour du corps fixe s, une autre ellipse, dont l’axo soit <t, et la révolution t au lieu de &. cela posé on aura, suivant la troisième loi de Kepler, tz=.Q>V En supposant done

I — T, il viendra

d'où il suit, que les grands axes des ellipses, décrites dans le même tems autour d'un corps S, supposé en repos et en mouvement, c’est-à-dire en faisant abstraction et en tenant compte de la réaction, seront entre eux comme les racines cubiques de la masse S, et de la somme des masses S, P; au lieu que les durées des révolutions, 0, T, seront entre elles comme les racinés carrées de la somme S P et de la masse S, si les distances ou les grands axes sont les mêmes.

$. 56. Il est aisé d’appliquer les théorèmes précédens au mouvement des planètes. Malgré les roouvemens compliqués et la grande variété des actions de toutes les planètes, comètes, et satellites du système solaire, le centre de gravité du soleil et de tous ces corps peut être regardé comme immobile.

quoiqu'il y ait toute apparence que le système solaire a un mouvement propre qui sera rectiligne et uniturme , s'il n’est pas altéré par des forças étrangères, ou qui dans le cas contraire résultera de l'attraction des .corps étrangers 5a.). Mais le soleil est en inouvement , aussi bien que I4s

planètes: le système de Copernic n'est donc pas rigoureusement vrai, msiis .il approche de la véri.é plus qu'aiirun autre, parce que le soleil ' est la plus glande niasse, et par conséquent le ^ilus ptès du centre de gravité du sytènie entier, qui est le. vrai point central du mouvement. Le soleil n'est pas le corps central, mais une planète, qui circule autour du centre de gravité, comme les autres, dont elle se distin^e seulement par la grosseur de sa masse. Si Jupiter avait une masse Soo ou goo fois plus 'grande, le cenift; du mouvement de toutes les planètes, y compris le soleil et Jupiter, serait constamment à peu près sur lé milieu de la ligne droite qui joint ces

Jeux corps. Si l'on ne compare le soleil qu'avec une seule planète, par ex. *'*!.*.

Jupiter, il est facile do déterminer les orbites: cette planète décrit autour du soleil, en douze ans, une ellipse dont le demi-grand axe est 5, a et l’excentricité O, o5. Comm* ce résultat est trouvé par observation, il donne l’orbite relative qui est l’objet des tables astronomiques. Dans la même période, Jupiter et le soleil décrivent, autour de leur centre de gravité, des ellipses de la même excentricité, qui sont leurs v'érilables orbites.’ Le grand axe de l'ellipse de Jupiter est à lo, 4 comme la distance de Jupiter au centre de gravité est à sa .distance au soleil, ou comme la masse du soleil est à la somme des deux masses; et l’axe de l'ellipse du soleil est è io,4 comme la masse de Jupiter esta la même somme: le premier demi-axe est donc 5,igfiti2j 1* dernier est o,oo4iH, eiiviion deux rayons et demi de l’orbite lunaire, ou loo demi-diamètres de la terre, ensorle qu'en supposant la parallaxe du soleil le rentre de gravité de eesdenx coips est en. dedans du soleil, mais très-près de sa surface, la distance u’étani que de onze demi-diameties de la terre. L'orbite apparente du soleil autour de Jupiier est la même que l'orbite relative de Jupiier autour du , soleil. Toutes cis oibitca spnt décrites suivant les trois lois (le Kepler. Mais ce mouvement est lioublé par l’action des autres planètes: les pcrtuiJralion^ de la')flanèle,"donl~iI.'sera parlé dans la suite,

98 ASTRONOMIE PHYSIQUE

font pea considérables, à cause de ta petitesse des niasses des planètes par .rapport à celle du soleil, et ne changent pas sensiblement ta figure de l’orbite de la planète^ mais celle du soleil peut être entièrement défigurée par les au« très planètes qui, selon leurs positions, peuvent doubler ou détruire l’action -de Jupiter. Le mouvement du soleil autour du centre de gravité du s^'slëme entier fera donc des oscillations continuelles, et sera composé d’une infinité de petits arcs elliptiquM. En vertu des variations continuelles de la position et de la distance des corps qui agissent sur le soleil , principalement des comètes dont nous ne connaissons ni le nombre ni les masses, le mouvement du soleil est tellement u*.'mpliqué, qu’il est impossible de le soumettre au calcul. Mais il est aisé de voir, que ce calcul serait inutile, parce que, indépendamment de ce calcul, on trouve l’orbite relative de chaque planète autour du soleil, qui est le seul objet de l’astronomie, en employant la somme dés masses du soleil et de chaque planète au lieu de la première, d’autant plus que le centre de gravité du sjstème, autour duquel se fait ce mouvement, est peu éloigné du centre du soleil. En suppc^ant par ex. toutes les planètes en conjonction héliocentrique, la distance du centre de gravité au centre du soleil sera 0,008 rayons de l’orbite de la terre, ou 1,734 demfdiamètrea du soleil , de sorte que le centre de gravité sera éloigné de la Surface du soleil de f de son demi-diamètre. Dans tous les autres cas la distan-

ce sera beaucoup moindre; et si les masses de» planètes et des comètes sont dispersées de tous côtés, ce qui sera ordinairement le cas, le centre de gravité du système coïncidera à peu près avec le centre du soleil.

Les autres propositions (^§. 55.) ne sont d’aucune utilité pour l’astronomie, parce qu'elles servent à déterminée ce qui arriverait dans un cas qui n’a pas lieu dans la nature, c est-è-dire ,■ si les planètes n*éxerçaient aucune réaction sur le soleil.- Ce qui importe de savoir, a été prouvé, savoir, que l’attraction réciproque ne change rien aux lois de Kepler , qui sont la base du mouvement des planètes autour du centre de gravité, et de leurs orbites relatives autour du soleil, aussi bien que du mouvement autour d’un corps central immobile ('). ^

(ij JPM. iVtU. i>rûi«. JÊaiA, C0r0t, IV. Prop. LVIl—UU, •! l*h. iü.

Vnp. JLII.

$. La teulfi choM qui éprouve un petit changement par rallractien réciproque, c’est la troisième loi de Kepler, et la délermination des grands axes des orbites suivant cette loi. Si deux planètes P, p, circulent autour du soleil S, nommons A, a, leurs distances moyennes au soleil, T, t, leurs sévolutions dans l'orbite relative, qui sont données par les observations, et S, les dorées de leurs révolutions qui auraient lieu, si le soleil était immo* ètile , la réaction des planètes étant nulle. Cela posé, on a 55. (i)) ^=Ty ^ ou en prenant pour unité la masse du soleil S,

e=TV(i-t-P), $ = tV{t+p),

«t suivant la troisième loi de Kepler, A^ : a^, d'où il soit

(i) A:o::TÎ(i-l-P)î:/îti+/J)*. . •

Si P représente la terre, T sera l’année sidérale, et A~ i le rayon de l'or* bile de la terre, d'où il vient

En nommant N, n, les moyens mouvemens de la terre P et de la planète p' dans un tems quelconque, on aura N : n ; ; O T, d’où il suit

La théorie de Kepler donnerait, au lien des équations (a) (3),

SI Ton nomme *, y, a, le* trois coordonnées rectangles du corps S, d', y', z', celles du corps P, leur origine étant au centre de grarité; la dis* tance de P è S sera

(4)....r=VKx'-*)*-|-(r'~y)»4-(^-*)*} .

et les forces de S qui sollicitent P suivant — x, —y, s, seront

. (5)....A'=îÿiîs, ^ =

Mlles de P qui sollicitent S suivant les mêmes directions,

Or on a, conformément è la nature du centre de gravité, S x ^ ^ ^ Oi 6/ 4" P y = o> S s -j- P i' = O, d’où il suit

(7) * = — /=— fy» a= — ps'.

MM» ' A S t ft 0 N O Kf 1 Eî”? ri Y S'i’Q U E

Si l’on noibl&e ç, f, les distances des cor|A S et P au centre de gravité,

©n aura'

ibac en vertu des équations 4^ (?)> ' '

et r=i-?.

Cei valeurs de r donneront .^â; (6) et Cj),

~iT*'

lâ >

Or on a ($• 17- "• 4- — ag/,, ~^ = —iigi, Z^~— — ngl,

^OJ

à dz

donc

, . etc. ,'9) .

etc.

9 ix' s g S’ x'

t* ■ ■" "TT»” (ïTp?’f'''

Il s'en suih, que les 'corps S' et P tournent autour du centre de grivilé, C0mme s’ils étaient attirés vers ce centre, en raison inverse du carré des distances, par les masse. et

Pour déterminer le uiuuvemeut lelalif de P si'lour de. S, il faut regarder le corps S comme immobile, et réduire les coordonnées de P à c» point fixe S.' En nopimant ces coordonnées Ç, t|, ?, on aura

— x=rç, y—yz=it, d—z—^, eT r^ = ^* -f V

On a donc (7) Ç z: — —3!, et ddt';=^— — ddx'; oe qui étant aubstitué dans

réquation (9), donne ■

Mais

i> = n^"-+ j'i“+ . y ie + >1’ + ^ , donc

bi-p’

r étant la distance de P à S, et r), les coordonnées de P, prises du point fixe S. Le mouvement relatif de P autour du corps S, regardé comme immobile, est donc le même <^ue celui qui aurait lieu, si P était attiré per S avec la force S-i-P. Comme l’astronomie ne considère que les mouvemens relatifs, il faut mettre la somme- des masses du soleil et de chaque planète, S-|-P, au lieu d* S; ce qui est U correction précédente de la théorie de

•’C rv RE Iir, CH A P. IIL

Eepter. > Sitlvant celle lliéorîe on a trouré' (J. 3a. (g)) rraÿ/“=: ag S ($. aS.), la masse de la (erre étant prise pour unité des masses, et le rayon de le terre pour unité des lignes. La correction consiste donc à mettre B*/i*r=a^^S-4- P) au- lieu/ de a^n’^—igS. Si l’on veut e.\primer todtes les masses par celle du soleil, en faisant S=:i, — =ei, on doit multiplier les masses par le nombre ft <I»i indique, combien de ibis la masse de la terre est renfermée dnns celle du soleil. On a donc ^ ,

(A) =: a/f fi (i 4-m),

n étant- le moyen mouvement en parties du rayon, pour une seconde, et a, g, étant exprimés en rayons de la terre a8.). Suivant Bouguer g

est

i3o79iÿ

, donc

y.*=Vx=5^-=..

Si l'on désigne par a le dcmî-grand axe de l'orbite planétaire en parties de la moyenne distance de la terre au soleil, ainsi que cela se fait dans les tables 'astronomiques, et par m la parallaxe du soleil =: 8'', 6j la valeur de m dans l'équation (A) sera ^ a.tgRq» ad . « — k . d’ou il vient

k’ 37 i44i O — *> donc

(B) .... ^ (i m), et na’ —

Si les mêmes quantités,, relatives à une autre planète, sont nurquées d'un trait, on aura ' '

En substituant o=i, et le moyen mouvement de la terre n — o",o^it — 0,000000 ig<j2584:=;<, et négligeant lamasse m de la terre par rapport ik cel|^ du soleil, on aura

(D) . . . . n'“ a'^ zz »®.

On peut déterminer le mouvement relatif d'une planète autour du soleil, et la correction des lois de Kepler qui en résulte, d'une manière /orl simple. Si la planète P (f’/jf. 8.) décrit autour du soleil S l'arc Pp, pendant que le soleil marche de S en s, son lieu relativement au soleil sera déterminé par la ligne sp. Ayant donc mené la droite Stt, égale et parallèle à tp , w sera son lieu, et^Psr son mouvement relatif au aoleil, suppposé

tn A S T R O N O M I E P H T S I Q ü K

immobile en S. Ce mouvemenl est oomposë du mouveneat mi Pp et

de P ‘>r, lequel est égal et cootraire au mouTement vrai du soleil, parce que

S'^pt est un parallélogramme. Ainsi, pour déterminer le mouvement relatif

d\ine planëte, on n’a qu’à lui attribnei’, outre son vrai mouvement, un autre

qui est égal et contraire à celui du soleil; ce qui se fait, en concevant la

piatièle sollicitée par la force qui agit effectivement sur elle, et par celle

qui agit sur le soleil, mais suivant la direction opposée, et en supposant le

soleil immobile. La première force eat suivant PS, et la seconde

suivant SP: d'où il résulte une force accélératrice de la planète = —

vers le centre du soleil, ou la masse S-^P au lieu de S, comme ci-dessus;

ce qui suffit pour expliquer tous les phénomènes du mouvement relatif. Si

la planète est le corps central d'un ^’stème particulier, comme la terre, Ju*

piler, Saturne et Uranus, le aystème entier ae mouvra autour^du soleil,

comme si toute sa masse était réunie au centre de gravité 5>.): il faut

donc mettre à la place de P la masse de la planète et de ses satellites, pooc S P

avoir la force qui sollicite le centre de gravité du système.