CHAPITRE I
Lois gé n ér al e s' de rotation.
$. 6Ç. I.ia rotation d’un corps autour d’un de ses diamètres parait d’abord très-simple; et celle des corps célestes, si l’on &it abstraction des -perturbations à peiift sensibles, est si uniforme et régulière, qu’il ne fant presqu’aucun calcul pour la déterminer; cependant si elle est examinée ri* goureusement et dans tout son détail, elle donne lieu à des recherches plus compliquées, que le mouvement.de translation. La figure sphérique, et la densité à peu près uniforme des corps célestes, nous permettent de les regarder, relativement à leur mouvement progressif, comme des points matériaux, ce qui simplifie singulièrement sa théorie. Mais il est impossible de concevoir seulement leur rotation, lans les regarder comme des corps, et sans tenir compte de leur figure, de leur densité, de la position de leur axe, etc. ce qui rend ces recherches difficiles et compliquées.
Le mouvement d’un point ne peut être que progressif; celui d’un corps . peut être une transUdion, une rotation, ou un mouvement composé de l’une ^ «t de l’autre. Ce n’est qu’une simple translation , lorsque tous les élémens
üu corps ont le même mouvement, la même vitesse suivant des directions parallèles, et que par conséquent le mouvement du corps entier sera annul* lé, si tous ses éJémens sont conçus être également accélérés suivant une direction contraire, de sorte que tous les points du corps n’ont aucun, mou- »
vement relatif entre eux, mais qu’ils paraissent être en repos, vos d’un point quelconque de ce corps. Il s’en suit que, le mouvement d’un seul point étant donné, on connaît celui du corps entier, et que par conséquent on peut le regarder comme un point.
Pour se former une idée^distincle de la relation d’un corps, il faut fcire abstraction de son mouvement de translation. Si les diverses parties d'un corps se meuvent suivant différentes directions, et avec des vitesses différentes, on peut concevoir un mouvement qui tient le milieu entre tous ces mouvemens partiels , et qui est proprement la translation du corps : en supposant que ce mouvement moyen est communiqué à toutes les molécules suivant la direction contraire, le mouvement qui restera, sera la rotation du corps; L portion du corps', qui n'avait que le mouvement moyen, demeurera en repos, et les autres points auront un mouvement relatif ou de rotation autour de cette portion. Une rotation aura donc lieu, quadd quelque! points du corps ont un mouvement absolu qui difffcrq^de celui des autres points; si dans un pareil cas, une certaine partie du corps est dans un repos absolu, le mouvement du corps sera une pure rotation sans translation; mais il sera composé de l’une et de l’autre, si tous les points du corps sont dans nn mouvement absolu. Il en résulte la règle générale , qu’une rotation a lieu, lorsque les lieux apparens de tous les points, relativement à un point quelconque du corps, ne sont pas invariables, ensorte que la longitude ou la latitude des points dans la surface d'un corps céleste, vue de son centre, ou leur lieu apparent relativement aux étoiles fixes varie. Il en suit, que la lune tourne sur son axe, dans le même tems dans lequel elle fait une révolution autour de la terre; en effet, comme elle tourne constamment le même côté vert la terre, la longitude sélénocenlrique de ses taches qui sont dirigées ,^vers la terre, et par conséquent celle de toutes les autres, varie de i8o degrés dans un demi -mois. '
^ $. 67. La loi d^incrtie, dont noua n’avons fait usage' que relativement
aux points matériels, peut aisément être appliquée à des corps entiers. Si tous les points d’un corps se meuvent avec la même vitesse, suivant des dU rcctions parallèles, ce mouvement uniforme de translation sera toujours inva* riabie, à moins qu’il ne soit troublé par des forces étrangères. En effet, com« me un pareil mouvement ne change point la position des molécules relative^ ment aux autres, leur cohésion ne peut avoir aucune influence. sur le mou^ vementi toutes les molécules se mouvant, comme si elles étaient séparées l’une de l’autre, avec la même vitesse et suivant la même direction , elles ne s'empêchent nullement les unes les autres: .d'où il suit qu’après leur réunion on un seul corps, leur mouveitneot sera é^lement rectiligne et uniforme, et il ne peut être interrompu que par des forces étrangères. Pour, voir, com* ment ces forces doivent être constituées, examinons d'abord celles qui produis sent une pure translation sans rotation. Cumme cela suppose, que tous les élémens du corps ont' un mouvement parallèle et la même vitesse, il faut né» cessairement que chaque élément soit sollicité par une force.- parallèle et proportionnelle k sa masse , ou que la résultante de toutes les forces- qui agissent sur le corps, soit équivalente à ces forces 'élémentaires. ■ .1
' Pour mettre en mouvement un corps solide, il n’est pas nécessaire, qué les forces mouvantes soient appliquées à .chacun de ses élémens: en vsrtu.de la cohésion, une force qui n'agit immédiatement que sur un seul point, sera répandue sur tout le corps, en accélérant chaque élément mais comme la force doit être distribuée uniformément parmi tous les élémens, c’est-à-dire à proportion de leurs masses, le point auquel la force est appliquée, n’est pas indifférent. Pour trouver ce point,* on peut renverser la question, en se proposant ce 'problème: tous les élémens .étant accélérés par desHorces, parallèles et proportionnelles à leurs masses, trouver le point du corps, off doit être appliquée la force moyenne, qui est équivalente à la totalité de' ces forces ‘élémentaires, de sorte qu’elle leur fera équilibre, lorsqu’elle y est appliquée dans le sens contraire. Il est visible que ce point rie saurait être que le centre d* gravité, auquel on' donne 'ici le nom de ‘centre inertie on *
•l<* ASTRONOMIE PHYSIQUE
i» h mauei car le praaicr est trouvé <kn» la aiatiqoe de la même manière,, en aubatitiiant la peaanleur aux fbrcea parallëlea en général.
Une impuUion ou Jôrve qui passe pt^ le eeitlre ée grasèti , ne peut tunmuniquer au corps qu’un mouvement de trunslafion stms rotoCibnr car elle • le même e^t, qu’auraient dea forcea qui aoüiciteraient chaque élémenraui* Tant la même direction et à proportion de aa maaie. Quel que loit le nom* fcre et la nature dea forcea, on pent tonjonn trouver leur réaultante: d’oiV il auit que, ai la réaultante de toutea lea forcea qni agUaent anr le corpe, paaae par ton centre de gravité, elles ne lui communiqueront qu’un mouvement de translation tans rotation.
S* SS. L’inverse de la piopoaition précédente est également vraie: si la direction moyenne dea forces ne passe pas par le centre de gravité, une ^xotation du corps aura lieu. Supposons qu’une force égale et contraire à la force moyenne aoit appliquée au centre de gravité: cette force ne pent produire aucune rotation ($. S7.); cependant il est visible, que les deux forœa' ensemble doivent nécessairement tourner le corps autour du centre de gravité qni est mis en repos par la force Sctivo: par conséquent la vraie force seule donnera aussi au corps un mouvement de rntation autour de son centre de ^vité. La nation la plus simple est celle, où le corps tourne avec une vitesse uniforme, sur un axe invariable et en repos. En ce cêb la vitesse angulaire est constante, et la même pour tous les élémens: par conséquent les uns n’empêchent pas les antres, et le mouvement est libre, comme si chaque élément le fiiiaait séparément. Une pareille rotation conti» auera donc suivant la loi d’inertie, ai elle s duré un instant j mais il but examiner, comment elle peut naître.
On a vn qu’un corps, sollicité par une force qni ne passe pas par son centre de gravité, prendra un mouvement de rotation, parceque aee élémens sont différemment accélérés. En vertu de la loi d’inertie, chaque élément décrirait, s’il était libre, non pas un cercle, comme *)a rotation le, suppose, mais la tangente, et les élémens dont l'accélération est plus oa moins grande que celle des antres, s'éloigneraient de ceux-ci et de. l’axe, dU$ n étaient retenus par la cohésion du corps: U en résulte une rotation.
ZMM en infime trai*, suivant la loi de réaction, une pression sur l’axe; et Mlle pretw>n est la seule cause qni puisse troubler l’unifcimité de la rota» tion, en ftisant abstraction des causes étrangères. Pour que cette pertnrbattoB soit nulle, il tant nécessairement que l’nn des deux cas suivans ait lieu: ou que l’axe soit alTenni ou retenu par des fbttws, propres è résister aux pressions; ou que tontes les pressions se détruisent réciproquement, en ne communiquant à l'axe qu’un mouvement de translation. Dans le premier cas, Taxe de rotation est appelé fixe, dans le second cas c’est un axe Ubrt, par» ce qn’il n’a pas besoin d’èire retenu. Il est visible que le dernier cas Mt proprement l’objet des recherches astronomiques.
$. 69. Lorsqu’un corps tonme antonr d’nn axe, tons ses élémens dé» Clivent des cercles dont les plans sont perpendiculaires à l’axe: leurs vitesses» angulaires sont égales, et les vitesses réelles sont proportionnelles aux dis»tances de l’axe. Soit (Fÿ. 9.) AB l’axe, M un élément du corps, MC, NC, perpendiculaires è AB, donc MCN le plan dn cercle que M décrit autour de C. En nommant le rayon CM = CN=r, Tare MN=:d«, qni est décrit pendant le teros dt, l’angle MCN = d(p; la vitesse angulaire de tous lot élémens sera^^V, et h vitesse réelle de l’élément M=
Si Mn, Nm, sont perpendiculaires, et Nn parallèle h CM, on peut regar» der l’arc MN comme la diagonale dn parallélogramme MnNm. L’élément M aüivrail la tangente Mn, a’it n’était pas retènu suivant MC par an fil on par b cohésion dn corps: il aura donc deux mouvemens, Mn et Mm, et la force suivant MC fait parcourir è l’élément M l’espace Mm=znN dans le tems èt. nommant donc cette force =C, et b masae de l’élément = dM, •• aura (g. 17.)
/ = elMN» on
Mm*-|- mN*— Mm* -f-Mm (ir Mm)“ a r . Mm, donc
„ dt* c din.dj» c*aM y
M m = — = Ts ou C = T-ï = = — rdM.
, ar ' tgrif agr ag
Ceal la quantité absolue de la Csrce qni tire l’élément M vert C, et qni, en vertu de ta réaction, pousse l’axe suivant CM. La pression C, on Peffbst que l’axe éprouve par b robtieu de chaque élément, est sppelé b for»
ii8 ASTRONOMIE PHYSIQUE
ce centri/uge de cet élément: la direction CM ou CN est constamment per*
pendiculaire à l’axe. On peut donner à la dernière équation cette forme. C r c*
— nz — ■, d'où il suit, que l'accélération de la force centrifuge, ou l’espace .'I a r ,
parcouru en une seconde en vertu d'elle, est la troisième proportionnelle an diamètre (ir) du cercle'que rélément décrit, et à sa vitesse (c). La même accélération est —I r>\
§. 70. Soit {l'ig- >0.) AB une ligne matérielle qui tourne autour da point tixe C avec la vitesse angulaire 7, soit M sa masse, ton centre de gravité en G; cela posé, chaque élément M dont la masse est dM, et la distance
au point £L\e CMzrr, exercera une force centrifuge C= — rdM (§. 69.): par conséquent, la force centrifuge de la ligne entière sera — /rdM. Mais rdM est le moment slatitfue de l’élément M relativement au point C, et /rdM est celui de la ligne entière ou de son centre de gravité, partant /rdMrrCG.M, etla force centrifuge de la ligne entière, C= — CG .M. Si la ligne tourne au* tour du centre de gravité, onaCG = o, C = o, et l’axe de rotation qui, peaso par G n’éprouve aucune presaion, d’où il suit, que toute ligne matéri* elle peut tourner librement autour de aon centre de gravité. On voit en même, tema, que c'est le seul cas où la rotation libre soit possible, parce que la force centrifuge C ne peut être nulle, è moins que CG ne soit nul.
Si, un plan matériel, dont la masse est M, tourne sur un axe perpen-
diculaire en C, on aura pour chacun de ses élémens ($■%■)> dC = — rdM,
partant la force centrifuge du plan entier, C — —frèiA——CG.M, /rdM, étant te moment statique du plan, ou de son centre de gravité G, relative*ment à l’axe C. La force centrifuge C est donc nulle dans le seul cas, où, l'axe passe par le centre de gravité, CG étant nul, d'où il suit, que tout plan matériel peut tourner librement autour d’un axe perpendiculaire qui passe par aon centre de gravité, sans que cet axe éprouve aucune pression. Si l'axe de rotation passe par un point C qui n’est pas le centre de grsvité, l’axe ou le point C doit être retenu par une force égale à — CG.M. Si^ l’axe est retenu dans un autre point D, la pression sur C produire une ro-, tation de l’axe autour de D , ù moins qu'il ne soit retenu encore dans un •
•nir» point: il faut donc qne Taxe *oîl appuyd an point C, on dans deux
poinU quelconques.
§. 71. Une masse quelconque, qui tourne sur un axe fixe, peut tire partagée en un nombre infini de plans matériels d’une épaisseur évanouissante, qui sont perpendiculaires à l’axe ; et ce qui vient d’être prouvé, doit
être dit de chacun de ces plans. Chaque point de l’axe éprouve, par l’action du plan qui passe par ce point , une pression perpendiculaire, qui est égale au produit de la masse du plan par la distance de son centre de gravité à l’axe ($. 70.). Si l’axe passe par le centre de gravité d’un plan, la pression de ce plan est nulle; donc, si l’axe passe par les centres de gravité de tous les plans, il n’éprouvera aucun éflbrt, et le corps peut tourner libnmcnt autour de cet axe. Mais ce cas ne peut avoir lieu que lorsque tous les centres de gravité sont sur une même ligne droite, par ex. si le corps est un solide de révolution dont la densité est uniforme ou une fonction de la distance ê l'axe. Dans d'autres cas l’axe éprouvera une pression vers chaque centre de gravité, qui est situé hors de Taxe. Ces centres de gravité peuvent être situés de tous les côtés de l’axe, tellement que leurs pressions se détruisent réciproquement; mais comme elles passent par dilTérens points de l’axe, elles le tourneront autour d’un certain point, à moins que leurs momens statiques, relativement à ce point et à tout autre point de l’axe, ne se détruisent en même tems. Il est aisé de voir, que cela ne peut arriver, que lorsque Taxe passe par le centre de gravité du corps entier, mais qu’il est impossible que chaque axe passant par le centre de gravité soit un axe Kbn, ê moins que le corps ne soit régulier, et sa densité uniforme. Les recherches sur cet objet ont enBn donné le résultat, que toute masse, quelle que soit sa Cgure et formation, a du moins trois axes libres, qui se coupent perpeodiculairement au centre de gravité. Celle découverte importante est le fondement de la théorie de la rotation , qui fera l’objet des recherches suivantes.
$. a. Si un corps dont la masse est M, tourne autour de l'axe AB {Fig. II.) avec la vitesse angulaire u, chaque élément Z dont la masse est dM, et la distance ê l’axe ZX = r, exercera sur l’axe, suivant la directioa
ASTRONOMIE PHTSIQÜE
perpendicuUire XZ, la preufon — rdM ($. 69.), et la presii<» dn eorpa
entier tur l’axe est — /rdM. Il en résulte qu’en faisant abstraction des forces étrangères, l’axe ne peut être libre, que dans le cas où frèîA~o, c’est-à-dire où le moment statique du corps entier ou de son centre de gra» vlté, relatirement à l’axe AB, est nul: chaque axe libre doit nécessairement pauer par le centre de gravité, mais il n’en suit pas que toutes les lignes passant par ce centre soient des axes libres. La force centrifuge /rdM peut être nulle, si chaque pression rdM d’un élément Z est détruite par la pression contraire d’un autre élémmit P. Si les masses Z et P sont coaune QP et XZ, qui sont supposées parallèles entre elles, la pression de Z sera — XZ.Z=p, et celle de P= — QP.P=p, ensorle que l’une détruit l’autre; et de cette manière, la somme entière /rdM peut devenir nulle. Mais la pression p suivant XZ a le moment AX.p, pour fiiira tourner l’axe AB autour d’un point A, tandis que le moment de la pression de P pour faire tourner Taxe dans le sens contraire QP, est AQ.pt l’axe tournera donc autour du point A suivant XZ, en vertu du moment QX.p, s’il n’est pas retenu. Pour qu’il soit un axe libre, il ne suffit pas que /rdM soit nul; mais tous les momens statiques des forces élémentaires rdM, relativement à un point quelconque A de Taxe, doivent se détruire réciproquement. Si l’on fait AX = x, le moment de chaque élément, pour faire
tourner l’axe autour du point A, sera px— — xrdM: il faut donc satisfaire à ces deux conditions, /rdM=o et /xrdM = o, pour que AB soit un axe libre. La première condition est nécessaire, afin que l’axe ne re. çoive pas un mouvement de translation, perpendiculaire à sa longueur; la seconde est nécessaire, afin que l’axe ne tourne pas autour d’un point A. L’équation /xrdM = o indique, que le moment de tontes les forces rdM, relativement au point A, est nul, ou que la pression moyenne /rdM passe par A. Si donc /rdM n’est pas nul, le corps éprouvera en A, une pression /rdM, perpendiculaire à AB; mais si /rdM est aussi nul, la force résultante est nulle, et le corps n’éprouve aucun effort.
Soit ABGC le plan par AB et le centre de gravité G, Z Y perpendiculaire à ce plan, YX et GU perpendiculaires à AB, et qu'on nomme
AX=% XY=j', YZ = *.
Par la nature du centre de gravité ($. 5i.), la somme de tous les moment, relativement au plan ABGC est nulle, et le moment du centre de gravité, relativement à l'axe AB, et à la drojle AC qui lui est perpendiculaire, est égal h la somme des moment de tous les élûmens Z, par rapport aux mêmes lignes: on a donc
/xdM = AH.M, />3M=;nG.M, ■fzd'Sl^o.
La pression élémentaire suivant XZ, — r3M, pourra être décomposée en
deux autres, — vdM et — idM, suivant XY et YZ: ’en faisant donc, . »S ac '
pour abréger, — ~y, la pression totale sera équivalente aux forces, parallèle à AC, et 'V/rdM perpendiculaire au plan ABGC. Chaque force élémentaire 7/dM a un moment pour faire tourner l'axe autour du point A suivant XY, qui est égal au produit de la force par sa distance AX~ 7jrjrdM: il aura donc dans la ligne AB un certain point £, auquel la somme de toutes les forces élémentaires 7//3M étant appliquée, aura le même moment par rapport à AC, que toutes ces forces, ensemble (7/.rjdM,; ce qui donne l'équation
AE./y3M=/xj-dM, AE = -^^!^, et la force EFz=7/r3M.
II en est de même des forces Y Z ou XV: si l’on fait A I = ,
y * a SI ’
1a force IK'=7/adM, appliquée en I, aura le même moment pour faire tourner l’axe autour de A suivant IK^ que toutes les forces Y Z ensemble. Or /sdM étant nul, si le plan des x, y, passe par le centre de gravité, la force IK sera nulle, et la distance AI inBnie, à moins que fxzèSl ne soit nul en même tems; si le plan des x et jr ne passe pas par le centre de gravité, la force IK ou /sdM'n’est pas nulle.
Il suit de ce qui précède que l’axe des abscisses x éprouve les mê>
mes pressions, qu’elle éprouverait, si une force 7//3.V1 =7 . HG. M, parallèle aux y, était appliquée dans le point E, éloigné de l'origine des abscisses de AE = et une force évanouissante è une distance infinie, ou si
Jy à M'
le plan dea x, y, ne passe pas par le centre de gravité, une force 7/adM \ la distance AI = 1“ momens des forces EF et IK, pour lairo
i%* ' ASTRONOMIE PHYSIQUE
tourner Tue aniour de A, tont'V/jjrdM ety/xzBM. Pour que l'axe ne r»- çoiru point de mouvement de relation, et qu’il n’éprouve aucune presaion, de manière que le corpa peut tourner Ubrcmenl autour de cet axe, aana qu’il aoit retenu , il but que non-aeulement lea deux forcea précédentea , maia auaai *- Isura momens soient nula: d'où l’on tire
fydiA~o, /sdM = o, fx/dM—O, fxsdM~o.
Lea deux premièrea équationa indiquent, que l'axe libre doit passer par le centre de gravité; les deux autres déterminent celui des diamètres passant par ce centre, qui est un axe libre. Si les deux dernières équations ont lieu sans lea premièrea, l’axe ne^pasae point par le centre de gravité; mais
la moyenne direction de toutes -lea forces centrifuges passe par A: car on
AT. ixyiM . fiaîM . • . .
aura AE=— — = o, et AI=:' ~o. Dans ce cas, le point A
fyéfii / 3 i M
seul a besoin d'être retenu ; dans tout autre cas , il faut getenir deux points de l’axe.
$. 73. Chaque mouvement de rotation, imprimé k un corps, durera sans cesse en vertu de la loi d’inertie, si l'a.xe de rotation est libre ou suffisamment appuyé. La rotation que le corps a reçue par un thoc ou une force étrangère, peut se faire de deux manières. I.e corps peut être afTermi en deux pointa, ou il est abandonné à lui-même: dans le premier cas il ne peut tourner qu’autour de ia droite qui joint ces deux points, dans le second cas l'axe de totalion sera déterminé par 1rs forces mêmes.
L’axe étant donné, toutes les fowes qui agissent sur le corps, peuvent être décomposées suivant deux directions, l’une étant parallèle k l'axe, l'autre dans un plan perpendiculaire k Taxe. Soi\ {Fig. is.) AB l’axe, PQ la direction d’une force V, inclinée telaliven.ent h AB d'une manière quelconque; Ayant mené par un point quelconque P, PH parallèle a AB, et par un poipt arbitraire R dans cette ligne, un plan perpendiculaire à P R, qui coupe PQ en Q; la force P Q est décomposée en PR et R Q, dont l'une est parallèle à l’axe, et l’autre dans un plan qui lui est perpendiculaire. La première force ne peut pas faire tourner le corps autour de l’axo AB; son seul cdtl consiste pousser l'axe'suivant sa longueur, ou k lairo tourner le corps et l’axe même autour d’on point dans cet axe, mais la derniëie fera tourner le corps autour <U l’axe AB: la pression de la première se trouvera tacilemeat
Supposoni que la force PQ=;V (Fig. i3.) soit dans le même plan qtie l’axe AB, sans lui être parallèle, de aorte que sa direction rencontre Taxe dana un point C: alors l'axe éprouvera le même effort, que ai la force était appliquée en C suivant CD qui est la prolongation de PQC. £n nommant l'angle que la direction de la force fait avec l'axe, DCE = i|, et décomposant la force CD= V suivant CE et ED ou CF, onYura deux forces CE = Vco8H et CF ~V ainsi. Pour trouver la* pression que l’axe éproqvera en deux pointa donnés A, B, on n’a qu’à chercher les forces qui, étant appliquées en A et B, seront en équilibre avec les forces CE et CF. La première n’agit sur l’axe que suivant sa longueur AB, au lieu que la seconde CF ferait tourner l’axe suivant AP, s’il était retenu en B, et suivant BR, s’il était appuyé en A. Etant donc retenu en ces deux points, taxe éprouvera en A la pression P suivantAP, et en B la pression Q suivant BB.- Concevons que l’axe soit retenu en C avec la force CF = Vsinii, et que les forces AS, BQ, égales et opposées aux pressions P, Q, soient appliquées en A, B: cela posé, il suit de la théorie du lévier, que l’équilibre aura lieu, ai les momens des forces P et Q, par rapport au point C, sont égaux, et
qu’en même tenu la somme des forces CF, AS, est égale à la force BQ.
Or les forces P et AS, Q et BQ, étant aussi en équilibre, la preuion de
l’axe sera la même, que si la force CF agissait seule. En nommant donc
A B =: a, on aura
CA.P = CB.Q, et Q = Vsini|-fP} •
