I. suivant sa longueur AB, la force Vcosi) = V
a. en A suivant AP, la force — V,
3. en B suivant la direction contraire BR, 1a même force — V.
iî4 ASTRONOMIE PHYSIQUE
'4- Quant aux forces qui agissent dans des plans, perpendiculaires à l'axe, comnaençons par le cas le plus simple, lorsque toutes les forces sont dans le mt^mc plan, et en équilibre, de mauifere qu'il n'y aura point de ro* talion: dans un pareil cas l'axe éprouvera le même elTort, que si chaque forco était .imprimée à l'axe même, parallèlement à sa direction^ Si deux forces P, Q, suivant**^ />, Qg {Fijg. i40> <iu> tendent à faire tourner autour du point C le plan PQC, perpendiculaire à l'axe ACB , sont en équilibre, on a CP.p — CQ.Q, CP et CQ étant perpendiculaires aux directions des forces, La commune section D de ces directions peut être regardée comme l’origine, des deux forces: leur résultante passera donc par D,. et sa directioa T)d sera déterminée par les angles PD<f = a et Ayant donc mené P</ pa»
rall^lcraent à Qq, on aura Pt/Drrp, et
P : Q ; ; P D ; Prf : : sin g : sia et..
En joignant DC, on a
sin P D C : siu Q D C : : CP : CQ : : Q : P : : sin a : sin g',, et PD C -{- QD C x-j- P> d’où il suit •
PDC = a et QDCrrp?
• c’est-'a-dire, les droites et DC coïncideront, et la résultante- des deux forces P, Q, passera par C. L’axe AB éprouvera donc le même effort, que si un» seule force agissait en C suivont DC ou sa prolongation CE: il en serait de même, si les forces P, Q, étaient appliquées en C suivant CF et CG, pa» ^allèlement»à leurs diicctipns Vp et Qq; car on a également £CF = a et ECG=p. Si l'on }' ajoute une troisième force R suivant Rr, ce cas peut être ramené au précédent, où il n'y a que deux forces, D<i et Rr, et ainsi d» suite. Quel que soit donc le nombre de ces forces,, l’axe éprouvera le même effort, que si chacune était imprimée è l’axe même..
Dans le cas de l'équilibre on déterminera donc facilement la pressiom de l’axe, eu supposant que chaque force est appliquée à l'axe même, et cherchant, suivant les principes de la statique, la direction et la grandeur de la résultante de toutes ces. forces.. Pour ce qui regarde le cas, où les forces font tourner le corps, on le réduira aisément au cas précédent par une ficti>
* on , en imaginant des'furces opposées qui, en rétablissant l'équilibre, tien-
L I V R E IV, C H A P, I. ' ia5
sont le corps en repos^ mais qui doivent être de nature, à n'exercer sucuno pression sur l'axe, parce qu’aulrement il résulterait une nouvelle preuion inconnue, outre celle qu’on cherche. Cela posé on a le cas précédent, et la pression qu'éprouve l'axe, ne diffère pas de celle qui a lieu dans le cas de la rotation. On trouvera donc cette pression, comme ci-dessus, en concevant que toutes les forces, c'est-à-dire, les forces étrangères qui font tourner le corps, aussi bien que les forces fictives qui détruisent la rotation, sont appliquées à l'axe même dans son intersection avec le plan des forces, chacune suivant sa direction. -
§, Supposons que chaque élément Y d'un plan matériel DCE (Fig. i5.), auquel l'axe AB est perpendiculaire en C, suit sollicité par une fix e P,^ suivant la direction YZ, perpendiculaire à CY dans le plan DCE, et que la force P soit telle qu'elle imprime à l'élément Y une vitesse angulaire autour de l’axe AB, égale mais opposée à celle que les forces étrangères V suivant Vu impriment au corps entier t cela posé l'équilibre sera rétabli, et le plan restera en repos. Les forces fictives P, qui ont été nom- 'mées forces élémentaires, n’exerceront aucune pression sur l’axe, parce qu'elles ne font pas ‘tourner le plan par une impulsioni qui est répandue sur Isplan, en vertu de la cohésion, mais en agissant immédiatement sur chaque élément, et en les accélérant tous également^ ensorte qué les uffs n'èmpéchent point le mouvement des autres,, et que la cohésion du corps n’y a aucune influence.. En cherchant donc ($. 74-) I* pression, que l’axe éprouve par l'action de tontes les forces étrangères V, et de toutes les forces élémenlairea F, ou de leurs intégrales; on aura la pression que l’axe éprouve par l’action des forces V seules, dans le cas où le corps a un mouvement de rotation.
Toutes- les forces étrangères qui agissent dans un plan perpendiculaire à- l’axe AB, peuvent -être réduites à une force moyenne r: V. Si sa direction est Vv, et qu'on ait abaissé là perpendiculaire CV = AsurV-u, le moment des forces V, pour faire tourner le plan autour de AB, sera —Vf. Supposons que la rotation du plan soit accélérée par .cette force, ensorte que sa- vitesse angulaire (p augmente dans le tenu dr de dp: cela posé il faut ^e chaque force éiéoiitniaire imprime à son élément la meme accélération
Ii6 astronomiephysique ^
d’aiUeurt, afin que b totalité de* forcea élémentairea faaae équilibre à U force V, et qu'ainai la roUlion aoit détruite, il eat néceaaaire que la aom> me de leura momena alaliquea, par rapport à l'axe AB, aoit égal au moment de b force V 'Zz'VJ'. Soit donc CY = r U diatance d’un élément quelconque Y=dM à l'axe, aoit YX=jr perpeodicubire à b droite CD qui paaae par le centre de gravité G du plan, et CX~xt cela poaé, l’élément ^d\l recevra dana le tema d t, par la force élémentaire P, l’accélération (§. 17. n. 3.), d’où il vient l’accélération angulaire d< d$; l'expreaaion générale de chaque force élémentaire aéra donc
rdM.
Puisque a la même valeur dana Joute l'étendue dn plan , il a'en anit, que chaque force élémentaire est proportionnelle au produit de la masse de Pélémenl par sa distance à Paie. Le moment de la force P, pour faire tournéf le plan autour de AB, est P . r ~ 3 r*dM, proportionnel an produit de la masse par le carré, de la diatance. La somme de toutes les forcea élémentaires eat donc — /rdM, et la somme de toue'*lea momena a (fi
— — /r“dM, ce qui doit être égal à Vf, On a donc
, et la somme des forcea élémentairea r= agit Jr*iM' Jr*iM
Mais comme T;es forces ont des directions différentes, il faut décomposer chaque force P en deux autres p, q, suivant les directions Ya et aZ qui sont parallèles à XC et XY. Or ZYazrgo'’— CYa=CYX, et YZsrrYCX: en a donc les forces
suivant Ya ou XC = P s5n YCX = = p,
r agit
ag it
suivant aZ ou XY rr — z~.\~ acd M rz q^
r agit
d’où l’on conclura la somme de cea forcea élémentairea, ..L..., XC. =
. w -V V/./X3M suivant XY, 1.7= fr'iVl''
Jr'
Mais chaque force p a un antre moment, pour faire tourner le plan autour de l'axe suivant Yc: ce moment eat le produit de p par b distance XT
L I V R E IV, C H A F. t ,a,
4e la direction Yak l'I^ce A B, donc py. On trouvera de même le moment de la force qzzçx. Aioai on aura la somme des momena des forces élê> * mentaires, pour iàire tourner le plan,
suivant Ys~ ï . V/".
JrrdM*
fulvant XY^r.oxzzV/-
J r r àn
Chaque somme de ces forces parrallèles £./> et X.^, peut être réduite à une force moyenne, dont le moment^ relativement à AB, doit être égal à
1a somme des momens, X-py et X . qx. Supposons que Ee soient
les directions moyennes de toutes les forces p et q, nommons E,. F , les forces moyennes, et menons CE parallèle k XY, et parlant perpendiculaire k ex et Ee.- cela posé on aura E := X F =: X ■ <7, et leurs momens CE .EzzX ,py, CF .V—X .qx, d’où il suit
“ fr r à yi ’ ~ Jrrri.H ~~ J y à M ' ^ ~ J x,/yi'
S- 76. Les trois forces Vv — \, EerrE, Fyi^F, sont en équilibre dans un plan, perpendiculaire k l'axe, ce qui est le cas du $. 74..- On trouvera donc la piession que l’axe éprouve par l’action des forces étrangères
V, lorsque la rotation a lieu , eii concevant les trois forces précédentes appliquées k l’axe même: les pressions de l’axe seront donc CY=V, Cê=E, Cc = F, CS étant la prolungalion de CD, C( perpendiculaire k CD, et CY parallèle k la direction moyenne Vu des forces étrangères V. Comme /xdM et fydtA sont les. momens statiques du plan entier on de son centre de gravité, par rappôrt aux axes CE et CD, on aura fydM~o et £=:o, sL l’axe des abscisses CD passe par R centre de gravité G: alors l’axe n’éproo» vers oue les pressions CYrzV et Ct = F ~ ~ ^ ^ û*** ' passe aus»
* ai parole centre de gravité, le point C sera ce centre, et l'oo aura fxdM.~a et F Oj d’où il auit que la seule pression qu’éprouve, un axe AB qui passe par le centre de gravité , est celle des forces étrangères V , comme ai elles étaient appliquées à l’axe mime, li en suit éneore,. qu’un plan matériel, étant sollicité par une impulsion ou force, qui le fait tourner autour d'un axe passant par le centre de gravité, éprouvera la même impulsion au 'centre de gravité suivant une direction parallèle, d’où ^ il résultera, outre 1*.
»ae, ASTRONOMIE PHYSIQUE
rolalioD, un mouvement de translation du plan eniTer. Si la direction Vti de la force V passe efTectivement par le centre de 'gravité C, on a J'~o, et le moment, pour faire tourner le plan, est nul: par conséquent le plan recevra un pur mouvement de translation sans aucune rotation.
Pour que l'a.xe de rotation soit un axe libre, qui n'éprouve aucun effort, il faut que les trois forces V, F., F, se détruisent réciproquement, ce qui suppose que l'axe no passe pas par le centre de gravité. Si la force Ci):=:H^ut la résultante des forces E, F, l’axe n'éprouvera aucune pression dans le^Rl cas, où Cs) est, la prolongation de >C, et U = V. Si g est le centre de gravité du plan, on a
/xaM=:CG.M, /j-aMrrG/r.M, et
~ M.Cg JràM.'
' — — =: V, donc
JrrdU. '
On a d'ailleurs tang-ÿC>i = et iCii = DC.7 =90® — DCV, partant
tangDCV=|=;-^S = ^* = .angDCg.
c'est-à-dire CV coïncide avec Cg , et CV passe par le centre de gravité;
d'où il suit que, pour que la force V n’exerce aucun effort sur l'axe, elie
doit être perpendiculaire à la droite, menée du centre de gravité perpendU
ciilairement à l’axe, et la distance de sa direction h l'axe doit être 7"—
On voit donC) que la fonction /rrdM eat d'une grande importante dans cette théorie: on appelle cette fonction le moment d’inertie du plan ou du corps par rapport à l’axe A B; le moment d’inertie n’est donc autre chose que la somme des produits de la masse de chaque élément par lé carré de sa distance à l'axe. Or Cg.M=/r3M étant le moment statique du corps relativement au même axe, la distance de la direction de la force à l'axe libre doit être égale au moment d’inertie, divisé par le moment statique. Cette distance J — ~ ~
est identique avec ce qu'on appelle, sous un autre point de vue, la distante du centre d’oscillation à l'axe A CB.
Si ces deux conditions sont remplies, ensorte que CV
passe par le centre de gravité , l'axe passant par C perpendiculairement à’ CV n’éprouvera aucun effort, et l'on aura (§. 75.) - • '
L I V R E IV, C H A P. L f »*9
a fit ~~ J r* /m ~ JrïJi "7 mTcÏ'
Cela posé le cenlre de gravité g, dans lequel on peut concevoir réunie la masse entière M, sera accéléré par la force ^ En nommant donc i>
la vitesse du centre de gravité, et u sa “vitesse angulaire, on aura 17. n.3;)
• ao=i^a/=c^.a<p, - = ^, et =
$. *77. U est visible , que les raisonnémens précédens peuvent être appliqués à une masse qbelconque. Toutes les forces, dont les directions sont dans un même plan, peuvent être réduites k une -seule, dont il est aisé de déterminer le moment par les principes de la statique | ainsi qu'on vient de le Voir: la somme de tous ces momens donne le moment total VJ", qui (ait tourner le corps sur son axe, en lui communiquant dans le tems dt la vitesse angulaire du — dip ($. 76.). Soit GA,nKY un plan quelconque passant par l’oxe A'B (F/g. 16.^, Z un élément =r:dM, soient AD., Z Y, perpendiculaires h ce plan, YX et Z s perpemUculaires à AB et k X Z, et nommons
AX=*, XY = j-, YZ = s, XZ = r,
agàt
et le moment d'inertie du corps entier /r’dMrzJ.
Cela poié, la force élémentaire suivant la direction Zz, opposée k la rotation, sera (J. 75.) PzzerdM, a——, donc. P r:—’! En décompesant chaque force P en deux autres p et ç, suivant Zx et xs, parallèlement k jr et a, on aura •
• ' ;> = PcosxZ»=zPsinxZX = PsinYXZ= -P=:^,— ,
. 9 = PsinxZs = PcosYXZ=^ P=
Les momens de la force p, par rapport aux plans CAD et BAC, sont p x et pz; ceux de q par rapport aux plans CAD et BAD sont ^x et qj. On a donc la somme dp tous les momens des forces p,
, relativement au plan des y, z, 1 .px~^ /x*3M, '
si
et relativement au plan des x, y, T.pz— — /z’zdM-, *
si ^
U somme des momens des forces .
t3o ASTRONOMIEPHYSTQUE
par rapport au plan des y, z, Z . 17 .r = -j- fxy 3 M,
et au plan des x, z, 'X .çy— ~ fyydM.
Toutes tes forces parallèles p peuvent être composées en une seule Pp = P, parallèle è YX et CA, et égale à Z . p: les momeas de cette résultante, par rapport aux plans CAD et 1)AC, doivent être égaux à Z .px et è Z.pz. Il en est de même de ta force moyenne Qq— Q, qui est équivalente aux forces g. Supposons que les directions des forces Pp, Qg, rencontrent les plans BAD et BAC en P et en Q, et que PE, QF, soient perpendiculaires « l'axe AB: cela posé on aura, par ce qui précède, Pzï.p, AE.Pz5 .px, EP.PzS.ps, QrZ.Ÿ, AF.ÇzZ.vx, FQ.QzI.fr.
donc P = y/vdM, = EP = -^^^^,
Q = ÿ/raM, = =
L'axe de rotation éprouvera donc, outre les pressions de toutes les forces étrangères V, encore celles de P suivant Pp, et de Q suivant Qf,- et toutes CCS forces agiront dans des plans diflérens, mais perpendiculaires è l’axe A B.
. Quel que soit le nombre des forces V, leur lolalité est en équilibre avec les deux forces P, Q: donc, si l’on décompose chaque force V’ en deux autres, u, v, suivant A C, et Ce ou DA, chacune des forces u fera équilibre è une portion de la force P , et chaque force v à ehe portion de Q. Chacune de ces combinaisens présentera le cas, où deux forces parallèles en. tre elles, et agissant dans deux plans dilTérens qui sont perpendiculaires k Taxe, font équilibre l’une è l’autre: voyons ce qui en résulte. Si Pp, Qg, (f'ig. 17.) représentent deux forces parallèles P, Q, dont les œomens par rap> port à l’axe AB sont égaux, et que AP, BQ, soient perpendiculaires aux directions Pp, Qf, on a AP.P = BQ.Q. Soit ACzzBQ, et concevons que quatre forces, parallèles et égales à la force Q, agissent en A, B, C, Q, suivant Au, Bé, Ce, Qé: cela posé, les résultantes des forces As, Qi, et.de Bé, Ce, passeront par le centre do rectangle AQ suivant dea directions contraires; par conséquent ces quatre forces seront en équilibre, et leurs pressions sur l’axe se détruiront réciproquement; d’où il suit que les trois
forces Aa, Ce, font équilibre à la force Q/(:. elles seront donc é(|iiipol> lentes à la force Qq qui est égale et opposée à Çk, et l’on peut lui substituer ces trois forces. L’etTet sera donc le même, que si les quatre forces A a, Ce, Ÿp, agissaient. Les deux dernières sont dans un plan, perpen* diculaire à àB, et en équilibre, parce que AC.Ccn BQ.Q = AP.P: elles exerceront donc la même pression , que si elles étaient appliquées à Taxe même en A ($. 74-)« Alors les forces A a, Ct, se détruiront, et il ne restera qu’une force en A, et unja autre en B , la première étant égale et parallèle à P, l'autre à Q: d’où il suit que deux forces, agissant dans dilTérens plans, ^perpendiculaires à l’axe, exerceront la même pression, que si .chacune /était imprimée au point même, où son plan coupe Taxe.
Ce qui vient d’être prouvé de ^haqne combinaison de deux forces, sera donc aussi , vrai, de toutes les forces V, P, Q. L’axe éprouvera le même eflbrt, que si chaque force étrangère V était appliquée à l'axe même, dans son intersection avec le plan, perpendiculaire k l’axe et passant par la direclion de V-, et qu’en outre les forces fzd\l et Q .zi fydM.
fussent appliquées en F et F , parallèlement à — y et à s, aux distances A F m et leurs directions Ee, F/", étant opposées
à la rotation 'du corps. Eu multipliant .chaque .force V par ^a distance de sa direcfion à l’axe, on aura son moment; >et somme.de tous ces momens
donnera le moment VJ", pour faire tourner le corps autour de l’axe A B.
Le plan des x, y, RAC, étant arliitraire, on peut le faire passer par le centre de gravité du corps; alors on^aura f zdM~ o, Przo, et il n’y aura que les forces V et Q. Si l’axe de rotation A B passe aussi par le centre de gravité, on a fydMzizo et Q = o: l’axe n’éprouvera .donc que la pression des forces étrangères V.
5. 78. Chaque force, quelle que soit sa direction, peut être décomposée en deux autres, dont l’une est parallèle , et l’autre perpendiculaire è l’axe (§. 73.). La première se décompose en trois forces, .dont l’une sollicite l'axe suivant sa longueur, les deux autres étant perpendiculaires à l’axe, et opposées l’une à l’autre (§. 73.). Or toutes les autres forces étant pareil-liment perpendiculaires à l’axe, elles ne peuvent pas détruire celles qui
i3» ASTRONOMIEPHYSIQÜE
agissent suivant la longueur de l'axe: il est donc impossible, que l'axe prouve aucun elTort, à moins que toutes les forces n’agissent dans des. plans perpendiculaires à l'axe, ou que toutes celles qui sollicitent l’axe suivant sa longueur, ne se détruisent réciproquement; dans le cas contraire, l'axe doit
être appuyé suivant sa longueur, par une force égale à la somme ou à la
dilTéreoce des forces parallèles ê l’axe. Toutes les autres forces agissent dans des plans perpendiculaires à l'axe, et quand op ne considère que la pression de l’axé, on peut les concevoir appliquées suivant leurs directions, au point de l’axe où il est coupé par ces plana ($. 77.). Il faut enfin concevoir , que les forces élémentaires , ou leurs deux intégrales £e = P et
r/=Q (S- 77.), sont imprimées & l’ajce: la totalité de ces fûrew déterminera la pression de l'axe.
Pour simplifier ces recherches, nous réduirons • toutes les forces è deux points A, B, de l’axe (fÿ. 16.), en cherchant l'efTort que l'axe éprouvera dans cés deux points. Soit Vy la direction d’une des forces V perpendiculaires à l’axe, U la commune section de l’axe avec le plan VyU qui lui est perpendiculaire, et Uv parallèle è Vy*. cela posé, VU et Uv seront perpendiculaires & l'axe AB qui éprouvera la pression Uv = V. Il en résultera en A et B des pressions parallèles à Uv ou Vy qui, en faisant A*B=e, seront
AM = — V et BN= — V.
La force élémentaire £ e =: P donnera de même en A et B les pressions
Aoz=— P=A, Bé=.~P = B,
et la force Yf—Q donnera les pressions
et en substituant les valeurs de P, Q, AE, AF ($. 77.),
Âa = — Q=a,
-*)saM, B = ^/xsdM, aZ='^f{a—x)ydU, p = ^/iyaM.
Toutes les forces AM, As, An, peuvent être réduites è une seule; et il en est de même des forces qui agissent en B.
$. 79. Dès qne la rotation a efTectivemenl lien, il en résultera des forces centrifuges qu’il faut ajouter aux précédentes. Si l’on nomme u la
TÎlesse angulaire de la rotation autour de Taxe AB, U dpruurera en A et
B lea pressiooa auivantès.
1. Lea fohxs étrangires qui aollicilent le corpa, dont chacune V aéra ddeumposée en deux oulrea, dont l’une ~ U eat parallèle à l'axe, et l’autre r^W suivant V/ lui eat perpendiculaire. La force U ae décompose en trois autres ($. 73.), dont l’une — U sollicite- l’axe suivant sa longueur AB
ou B A, et lea deux autres exercent sur l’axe en A et B des pressions per-
pendiculaires dans le plan qui passe par l’axe et la force U : ces pressions sont égales U ($. 73.)^ et opposées l’une è l’autre; elles feront donc tourner l'axe AB autour de son milieu. La force Vy — W agit sur l'axe, comme si elle était perpendiculaire à l’axe en U ($. 77.); d’où il résulte .en A et B des pressions AM, BN, parallèles à Uv et Vy, qui sont, en nommant AU — u 7®-)»
AM = ?^W, BN=-W.
Chacune des forces’ W exerce un effort pour faire tourner le corps autour de AB suivant V/, et l’on trouve ce moment, en abaissant sur Vy la perpendiculaire Ujr:=rv, et multipliant VV par w. Après avoir réduit de cette manière chacune des forces \V à deux forces parallèles en A et B, on trouvera aisément la grandeur et la 'direction des deux résultantes, AM' et BN'. La somme de tous les momens-Wu’ donne le moment V/ de toutes les forces étrangères, pour faire tourner le corps sur l'axe AB: en faisant donc V = *, on connaît Vf— X.Ww, J =//^dM, et .
a. Si les forces étrangères V, au lieu d’élre en équilibre , font tourner le corps, eliès exerceront sur l’axe encore une autre pression qui est déterminée par la fiction des forces ilimentaires , lesquelles peuvent être réduites h deux forces intégrales, appliquées è l’axe même, et opposées à Ia relation, savoir (§. 77.)
te = P = */s3M, F/=Q = é/^3M, d’où résultent en A et B les forces ($. 78.)
Ao = A=^/(.a — :s) sdM, Aaz=.a= ~ f{a — Jc)yBM,
A s T R 0 N 0 M I E P H Y s I Q U E 3. Lrs fonts ccntrfugts qui résollent de U rolition , peurent aniti être r^duitei à Jeux forces intégrales, appliquées à l’axe même ($. 7a.) {Fig. II.), savoir
EF = E=: — /v9M à la flislance AE=^Ï21? =e, et
1 K = H = — /s 3M à la distance A I = z= A.
=/•' . y»rfM
11 en résulte en A {Fig. 16.) les forces
Am ou AC = - — - E ~ f (a — *) rdM = ’m,
a la g-' ' '
Aa Uz= — /(a — x) sdM = ,i,
et en B lea forces
Bn=-E=z—-/xrdM=n. Bp= - H = -^ /xs3M = ».
a la f' •' a tagr
L'axe éprouvera donc en général les pressions suivantes.
I. Suivant sa longueur AB ou BA, .la somme de toutes les forces U.
