IV. — = d m*n- I
V. O flcossi — 3b>3co sin CS — - 4 sin® (sinrasi nau 4- aX cosrocosi/)d;*
— 3 „,s f cas ® 4~ I »'“* M sin au 4~ ^ •il' ® cos w coi u) 3<*,
VI. o;zi33ro4~du3(iina4“^"**"’{siara(i — cos au) -)- a Xcos ® sin u I 3 <*.
$. 109. Si l'on désigne par e l’époque de la longitude, par <r une équation quelconque de la lune, sa vraie longitude sera C = e 4- » ^ 4~ donc la longitude sélénocentrique de la terre, v— i8o° + C=i8o*+e+n/-t-<e, d’où il suit èdv—dndt-^-ddcT) nous négligerons ici, le terme dndl qui dépend de l'équation séculaire de la lune, ensorte que 3dv~33œ, ce qui
ëlant subïàtué dans ré<|ualion IV. donne — -f- 3 «* ® . dont
rintdg'ale doit aroir la forme, I = G sin A n/ -|- B<e, G étant l’une des constantes arbitraires, et l’autre ou l'époque étant déterminée ensorte que <e et I sont nuis à l’origine du tems t, comme cela doit être ($. 107.^ Or toute équation de longitude ayant la forme, <r~a iinat, on aura — — a’<e,
et et dilféientiant la valeur supposée de — G A’n^sin An/-}- ** =:
— A*h*^-^-Bm —J ~r’ comparant cela avec l’équation IV’, on
fit*
trouvera A — rnVJ, B — — - — — , d’où il vient
(K) i := G sia mntV 3-f œ-\ ,
a étant la vitesse avec laquelle l’argument de l’inégalité ce augmente, et ^ le rapport des variations moyennes de cet argument et de la longitude de la lune. L'angle ) est proprement la libration le long de l'équateur lunaire ($. 107. ; mais comme finclinaison de féquatcur sur l’écliptique n’est que do 1*4*1 on peut regarder » comme \alihmlton en longiludc, laquelle sera donc donnée par l’équation (K), dans laquelle <e est la libration optique (§. 106.). Le dernier terme est de nature mixte, tant optique que mécanique, vu qu'il dépend de l'équation ce et de la ligure de la lune, m. Le premier terme, étant indépendant des inégalités de la lune ce, renferme la libration purement mccniiiifiie ; et l’on voit qu’étant exprimé par un sinus, cette libration sera périodique, si G et m sont des qiuintilés réelles. En nommant donc
3 tn’ n’ « i’ — 3 m’ it’
:4>, G sin mnr 1/3
I — o?=:£l> + g sera la libratiun réelle, et ^ aura la même période que l’inégalité ce, de sorte que la libration entière est périodique; mais en même tems elle participe de l'équation séculaire, en vertu du terme dndt que nous avons négligé; et c’est précisément ce terme qui entretient constamment fégalilé entre les mouvemens de translation et de rotation de la lune, malgré la variation séculaire du premier.
La libration purement mécanique Ç a pour période le tems T, pendant lequel l'angle mntYi augmente de 36o* ou air, donc T~ — — ,
S "JT ^ ^
Or n étant le moyen mouvement en une seconde, — est la durée d’un mois-
»4 ASTRONOMIE PHYSIQUE
<i(l6ral =S, d’où il vient Tzz -, m étant une quantité inconnue, dépen-
TTl |/ 3 '
dant de la figorc de la lune. Si les observations sufSsaient pour déterminer la libration tj) qui dépend de chaque inégalité de la lune ce, on aurait
ni^ — — -T. Celle formule servira du moins à renfermer m entre des
limites, en Uunnant à <e et tp leurs plus grandes valeurs. Celle de $ dépend de la précision , avec laquelle on peut observer la libration des taches de la lune. Quoiqu’il en soit, il est certain, que les observations auraient fait re> connatire la libration, si elle montait à 3 degrés, ce qui fait ù peu près la moitié des inégalités de la lune. En elTel , un angle sélénocentrique de 3* répond à un angle gcocentriquo de 49" centre du disque lunaire , et à i", 3 au bord. En faisant donc prenant pour œ la plus grande
inégalité do la lune, qui est l'équation du centre, on aura (11. §. 2o4-) œ~ 33693", sa période étant le mois anomalislique , et son argument ranomalia de la lune, d'où il suit que a est è n comme le mois sidéral est au mois anomalistique , donc (II. $. 188. 194.) =0, 99'H«‘5
r:: O, 983167a, et m’:r:o, 3377334 . = o, io568. Mais ce résultat
est peu sùr, parce que le rapport des deux mois est presqu'égal ù l'unité. L'équation annuelle de la lune donne une limite beaucoup plus e.\acle. âa
période est Tannée, sa plus grande valeur ce'^Sja", et a est le mouvement anomalistique du soleil (II. §. 204.); parlant r= o, 0748026,
et* lodou'^ ^ o05^2Ô
— "0,00559544, et 7?i® ::: o, ooi865i5. — O, 001756; d’où il résulte, que la libration devrait aurpasser 3 degrés , si était plus grand que
Celle limite peut encore être resserrée par des observations plus esactes. M. Bouvard a entrepris pour cet elTet une longue suite d’observations de la tache lunaire Manilius qui, h cause de sa petitesse et de sa situation près du centre de la lune, est singulièrement propre à faire reconnaître la moindre libration, par des mesures microméiriques de ses distances aux bords de la lune. C’est la même tache dont s’est servi Mayer, puur délerminer la position de l’équateur lunaire; et les observations de M. Bouvard donnent l’inclinaison de Téquateur de 5", 84 seulement plus petite que celles de Mayer; ce qui prouve la grande précision de ces observations. M. de Laplooe
L I V R E IV, C H A P. V. i85
qui a engagé M. Bouvard à eniraprendre cette suite d'observations , en conclut , que la libration mécanique est au dessous de 6000 secondes décimales, ou dev32'24' ('). Cet angle sélénocenirique répond à un angle géouentriuue de g' au centre de la lune. En faisant donc dans la dernière
équation <p = 3a' a4" , on aura m* =: o, ooi865i5 . — b, ooi386 , esc
qui ne ditlêre guère du résultat précédent: car il est aisé de veir que l’angle 4> ne peut influer considérablement sur la valeur de ni*, s'il est beaucoup plus grand que ce ou 11', parce que y ®
donc peu d’apparence, qu'on parviendra à déterminer m par observation; U parait cependant par ce qui précède, que m* ou — ; — est plus petit que 0,00a.
110. Si la lune ne tourne pas autour d’un axe principal, il faut s’en tenir aux équations 1, 11, 111 ($. 107.), dont la première donne à très* peu près ,
<ft* M \ >*>'*
L’intégrale doit avoir la forme, 9 = G sin An/ -4- C (i — cos An/) -j- Bof, l’époque étant déterminée comme précédemment (§. 109.). On en tirera = — A*/j*9-}~ A*n^ C -1- (.A*n* — a*)Bœ. Si l’on compare cela avec l’équation 1, et qu’on se rappelle que ddv=^ddæ— — a“<s3/* (§. 109.), on trouvera A = C=^. d’où ü vioo.
(L) ‘> = Gsinn/y--h-(.-cosn/y j4-jjr^—
Pour trouver le maximum de la partie mécanique de la libration, on fera
^:n:o, ce qui donne tangn/l/^= — ^ G, et la plus grande libraàt IS -t- 4 L* G*) ** ”
tion 9= — — -I les deux oscillations à l’orient et è l’occident
sont donc inégales, si N n’est pas nul, leurs limites étant - — — et
^ nomme T le tems écoulé d’une limite à l’autre, ou la demi-durée d’une oscillation, on aura tang /if/-|-T)V-— — tangn/V-— ,
d’où l’on tire nTŸ — rr iSo^^r-ir, et la durée d’une oscillation entière H
(1 J L'HUteur (le ret ourraKe conD^il le> oljtcrraiiont de M. Bouvard que par U* nouveUtt que M. de i.apl«c« « tiien voulu lui ea doaoer pu uae lettre.
ASTRONOMIE PHYSIQUE
La période d’une oscillation devient donc impossible, si V ~ est imaginaire, c'esl-jt-dire , la libration, au lieu d'élre pétiodi({ue, augmente indéfiniment, si II est une quantité négative. Comme cette augmentation in-, définie est contraire aux observations, il est certain que — est une quantité positive; d'où il suit que b est plus grand que a ($. loa.), c'est-à-dire que le moment d'inertie par rapport eu diamètre de l’équateur, qui passe par les bords du disque de la lune, M h*, est plus grand qne le moment relatif au diamètre tourné vers U terre. Ma*, et que par conséquent ce dernier dia-. mètre est plus grand que tous les autres: effet naturel de l’attraction que la terre exerce sur la portion de la lune la plus proche,
La rotation de la lune est donnée par l’angle w=:v — i— # ($. 108.),^ ou plutôt, parce que l’angle u est compté du noeud qui est aussi en mouvement, par l’angle u-|- £= w — « zri8o“-f- C-t-or — l = ibo°-l- C — $ — Ç ($. 109.). Comme < et or deviennent nuis en même tems ($, 107.), si l’on fait abstraction de 1a libration mécanique; la rvtation moyenne est exactement égale au mo^en mouvement de la lune autour de la terre, u-t-t=:i8o°-t-C;: mais il n'en suit pas , que cette rotation ait été primitivement imprimée V la lune, ce qui serait très -peu probable. La tune a reçu sa vraie rotation, et non la moyenne, et l'action de la terre peut avoir altéré la rotation primitive. La véritable vitesse de rotation de la lune est — n —
n (1 — Gm V^d.rosmn/VS — ■ ^ cos a l) 109.): ainsi, en ne con-.
sidérant que la libration mécanique, la plus grande vitesse est = n(i-^GmV3), la plus petite =n(i — Gm VS), et l’on trouvera, en faisant t—O, la vitesseprimitive =: n — GtoVi — a» ”*3^»°^°»} * résulte, i) que la vi-
tesse primitive n’a pas été nulle, c'est-ù-dire que la rotation de la lune n’est, pas due uniquement à l'attraction de la terre, comme si une aiguille de fer était promenée autour d'un aimant, mais qu’une rotation réelle a été impri-. mée à U lune; a) que celte rotation primitive ne différait pas beaucoup, de son moyen mouvement n, sans cependant lui être exactement égale. La. différence primitive entre ces deux mouvemeus, qui dépend du terme GmnVd,, ne peut pas être déterminée, parce que G est une quantité inconnue; cepen-. dont le maximum de è étant G ($. 109-), et la libration g ne devant pas.
être supposée plu grande que 3* ($. 109.), G est moindre que o,oS336, et 0,003 ($. 109.); d’oii il suit que GniVi est plus petit que o,oo4; ce qui donne pour 1a rotation primitive les limites n et n. 0,996.
$.111. Si l'on nomme 1 la tangente de l’inclinaison de l’orbe lunaire (5*9'), et { la longitude de son noeud ascendant. In tangente de la latitude de la lune aéra 1 sio (c' — i), donc la tangente de la latitude sélénocentrique de la terre, X — { sin (C' — ?) — — ' *in (V — i8o* — -f- * *in (t' — {)• Désignons
par tint et tnl la rétrogradation des noeuds de l’équateur de la lune, et de ceux de son orbite, pendant le lems /, de sorte que dt^ — jind/, — nidl;
cela posé on aura 9wz=9(v — ♦) — dt (§. io8.), et à peu près 3(w — «) =
ndl ($. 109.), donc 9(u ” n (t -f- ji) 3/, et 3 — i)“(n — ï)n3/. On a de
plus (§. 108. (27)), en faisant i -|-X*— i, cos>{^ir i, et
sin y cos '(( sin (u i 4) =: sin u (sin ts sin u -j- X cos «) , d’où il vient
sinv)/cos4'sin(u;f 4)=;?sinŒ(i — cos au'-}- jcosai { cos(i —t) cos(ar — ^ — i)} , 8in^^'cos^J/cos(w^4)=: ? sin wsin au -|-.i cos C5 { sin (2 u — f — i) — sin(^ — e) } . Ainsi, en faisant pour abréger, ï — a, l'équalion III (§. 107.) deviendra
I — cos a ü -|- [cos — () — cos (au — ^ ^
Dans l’intégration de cette équation, I3 peut étie regardé comme constant, parce que dut est insensible par rapport ù du et de ($. 107. n. 4-)> Si l’on fait abstraction des inégalités du mouvement lunaire, on a, par ce qui précède, 9ur:[i + (i)nd/, d(au-^-i)Zd(2u— (^-i))r (a+(r.+»)ndr,
Ainsi dans l'intégrale, les angles au, au — ^ — e, ^ — 1, auront les diviseurs a(i-(-n)n, (a (1 -4- ï) n, (p. — v)n; d’où l’on voit, que les seuls termes qui renferment l’angle ^ — e , deviennent considérables à cause du petit diviseur [ji — v) n (J. 107. n. a.). En faisant donc da = o, N := o, cosu]=:i, l’équation précédente deviendra
3!Sndf c 4H(i-(-a) I
di
AS.TRONOMIE PHYSIQUE
dont l'intégrale est
■III a
(a — y) sia ce \
e étant une constante arbitraire. Suivront les observations ii est égal k v ($. 107. n. 3.); la difirërence n — * est donc inconnue, et le dernier terme est indéterminé. Mais si l'on nomme f', rs', les valeurs primitives que les angles (, rs, avaient k l’origine du tems t, l'équation (M) donnera
, 3 » a «in — t') , , 3 i a ■in (^' — l')
£ = e — T-, T~ > > parlait « = ‘ + —,
4(^(1 — v)>ints'’ r 4(H.— ï)jina
En substituant cette valeur de e dans l'équation (M), elle deviendra
4 i ' (/X — ») »in « >
Or — vn/, ï cz é' — d’où Ton lire
Csin (f — 1) = sin ({' — i') + (n — *)« r cos — ('),
Ccos (^ — t) = cos (f — £') — (n — ï) n t sin — O,
ce qui donne
t = J — ^ an I
. C , icat(^' — tQ ;
4 < ' lin CO
La rétrogradation des noeuds de l'équateur lunaire, ou la précession des
équinoxes est donc | an/^i '
lin a
ij. Or /= tg 5" 9 =0,0901373,
iin w = sin I “43' = 0,039957 : donc -— -^ = 3,oo8555 et la précession
t e — ^ ané {1 -)- 3,oo8555 cos (^' — 0 1 •
Suivant les observations les plus exactes la précession est égale k la rétrogradation des noeuds de l’orbe lunaire vn/ (5- n?* i- ^-)> ce qui donne l’équation a { i 3,oo8555 cos — i")} =î*. Or les moyens mouremens des noeuds et de la longitude de la lune, «n et n, sont entre eux comme
le mois et la durée d’une révolution des noeuds, donc (II. $. 1H8. ao5.)
t7,3di66 3v s M SI
» ^ r — — = 0,00403 100: dou il résulte 6793, »ji » t »
fao) . • . . . a = . 1. — .
' I J, OUÔ555 co>
»... .... ... o.oo536î476
Sa Ion «uDstitHe U valeur actuelle de ç — f = o, on aura azz^. — —
* ' 4,ooo555
•,001337758. C’est la valeur que a doit avoir, pour que les équations v=ts et <= t soient exactes; mais il faut faire ici la même réflexion que
nout avons faite relativement à la rotation de la lune; en effet il est trèspeu probable , que primitivement les noeuds de l’orbite et de l'équateur de la tune aient exactement coïncidé, et que leurs muuvemens aient été parfaitement égaux. Supposons donc que fi et r aient d'abord été inégaux, et que l'angle ^ — ( ait varié, jusqu'à ce que soit devenu égal à v. Cela posé, cos — e) peut avoir varié depuis -|- 1 jusqu'à — i. Au moment où
devient égal à «, l'équation (a8) a lieu, d'où il vient
, . o,oo53B».i6 — a
cos(^-E)=
On a donc cos(^-e)zo si a~o, ooS36%^8, et cos(^ — E)rt ai 0X0,00133776; d'où il suit que, si o est renfermé entre les limites o,ooi34 et o,oo536, la distance entre les noeuds de l'orbite et de l'équateur parviendra à une valeur { — E entre o et go°, où les mouvemens des deux noeuds deviendront spontanément égaux: cet angle sera d’autant plus petit, que la valeur de s est plus près de o,ooi34; il sera plus grand, à mesure que o approche de o,oo536. Or les observations indiquant la coïncidence des noeuds , i est égal à E , ou ^ — E ~ o : la valeur de o doit donc être fort peu différente de o, ooi3. Ainsi l'on voit, que la théorie explique parfaitement le second phénomène que présente la rotation de la lune , savoir la coïncidence des noeuds de l’orbite et de l’équateur de la lune, et l’égalité de leurs mouvemens, qui est exacte dans le tems présent. On a vu que, pour l’expliquer, il n'est pas nécessaire que cette égalité ait primitivement eu lieu, mais seulement que a ne soit pas beaucoup plus grand que o,ooi3.
lia. Opérons de la même manière sur l’équation 11 ($.107.). Si l’on y substitue Exllcos ca -dwôwsin® (§. 108.), "hx^ cos®^KLsina^-Ncos»^)^<® (J. 107. !■), dia — ndl-, l’équation 11, divisée par nd/sin®, deviendra II. oXd® + ^siu'l' ^ eosu+îLcos'l'Cos(u— »)— cos\J/sin(u— 3r.
Substituons dans les deux derniers termes les valeurs de sin + cos + ê) ni.), et négligeons tous les termes qui ne renferment pas l’angle
1); cela posé la dernière éqimtion deviendra
II. dB=|/idr|ïacoswsin(^— i)-|- cosMcos(^— e) -j- ~ sino dont l’intégrale est iir.)
îg!)
ASTRONOMIE PHYSIQUE
3 i cos GJ
3ÎCOSGJC ,, . N. . .Ï.SNsintf
(N) rs = p ~ cos -t) - ^ 54-—,—
P étant une constante arbitraire. En employant les désignations précédentes ($. et faisant costsz=i, on aura
P = ■=' + I « cos (i' - 0 - 5 »i« (f - O ^ ,
doncto=n'4-r7-7-^ 5“[cos(;'-i')-cos(f-s)J+ ^ [sin(f-0-8in({'-i')] J
nt, et par les équations (a8) {$. iii.),
® = CJ' -f |//i<Jasin(^' — Oh- ^ cos(^'— t)^4- nt.
Cette équation nous apprend , que l'inclinaison ts n’éprouve point de changemens périodiques, parce que f', t', sont des angles cunstans, et que le dernier terme — ^ ^ est tout-à-fait insensible, d'autant plus que N est apparerament nul. L’axe de la lune n'est donc pas assujetti à une véritable nutation, et l’accroissement progressif ou séculier de l'obliquité de l’écliptique dans la lune est 3io«/sin(^ “”* *0> c® ^ P®u près nul, k cause de ^ Ainsi l’analyse explique aussi le troisième phénomène, savoir
l’invariabilité de l’angle que l’équateur lunaire fait avec l’écliptique. Il en suit en même tems, que la libration en latitude est puremeut optique ou apparente, et que sa plus grande valeur au nord et au sud est ta = 6^53'. Comme cet angle sélénocentrique répond à un angle géocentrique de 1^39'', la plus grande libration du nord au sud est de 3'i8", ce qui fait un dixième du diamètre de la lune.
Une explication des librations de la lune, fondée sur les principes dont nous sommes partis ici, fut déjà donnée par Newton qui trouva, que • l’attraction de la terre devait allonger de 186 pieds le diamètre de la lune, dirigé vers la terre, et par là torcer la lune de tourner constamment le même côté vers la terre, en faisant en même tems des oscillations trèspetites et lentes ('). La théorie de la libration de la lune a été traitée de ditrérentes manières par les plus grands géomètres , principalement par Euler, Lagrange, et Laplace (*;. .
(1) Phit. Kat. Prine. Maih. JÀh. 111. Prop. 38*
(*) Vojr. Hittr. motus eorporum t'giJ. Ciip. XVI. Rfcht'chts sur lu llhr de la lune, dan* !• rtoueil dos pidees fui ont rempyrtd les pria, T. JX. JUêean. céleste. Lie, F< Ch. II,
L I V R E IV, C H A P. V. tgt
$. ii3. Nous avons supposé ($. 87.% que la lune est un sphéroïde ellip> tique et homogène, et que son équateur est aussi une ellipse dont le grand axe , -xf, passe par le premier méridien qui est dirigé vers la terre , eosorte que tous les parallèles sont des ellipses semblables k l’équateur. Cest du moins l'hypothèse la plus naturelle, et la seule qui se fonde sur la théorie et Ica observations. En désignant donc le petit axe de l’équateur par %A, Taxe de rotation par aé, on a par ce qui précède ($. «7.).
âè* . f
d’où l’on conclura ($. 10a.)
H = Mc*= M, K = ” (g* + é* — c») =: M, •
L =: M cé* - a*) = M, N = o.
Cn verra plus bas (Ç. i46-) . que f — A est à peu près — — • = , T, M, étant
les masses de la terre et de la lune, et f la moyenne distance entre ces deux
corps. Or ~ , f ~ 60 f, et é ouy ~f . 0,37193, f étant le demi-dia»
mètre de la terre; l’aplatissement de l’équateur lunaire sera donc"-- =
itt ?t2o3^* *
iS 56uu ~ — P> aorte que les deux diamètres de l'équa-
teur sont entre eux comme i et 0,99997247. Si l’on (ait y* aooooooo pieds, on aura y=y''. 0,2729! =:54ô86oo pieds, ce qui étant multiplié parap, donnera la dilTérence entre les deux diamètres de l'équateur ~ 3oo pieds. Faisons k — — y), y — 4lant l’aplatissement de la lune , dd k sa rota-
tion: cela posé on aura
A =y— pé =y(i - P -I- pv) =y(r — P),
parce. que p et Y sont de très-petites fractions. Il en résulte
L / — b P O, <1000*7 SS
et la période d’une oscillation mécanique ($. 1 10.)
aT = S . **• 9999’74« J sidér. zr 3oo5 )onre-
OÿUouudadQ '
On a d’ailleurs ($. 111.)
H — a/) « — Sp r r
tg« ASTRONOMIE PHTSKJÜE
On Terra ($. i4A-) • que 7 e«t à pen prë* 0,00003071; d’où il vient a~ 0, 00007349. La coincidence des noeuds , qui est prouvée par les observations, nous a donné le résultat ($. 111.), que a est plus grand que o, ooi3, ce qui est presque cent fois plus grand que la valeur que nous venons de trouver. II làut en conclure, que l’hypothèse, sur laquelle est fondé le dernier calcul et la valeur a = o, 000073 , n’est pas admissible pour la lune. Cette hypothèse suppose, 1) que la lune est un sphéroïde elliptique, a) que sa densité est constante ou uniformément croissante vers le centre , 3) que la lune a été un corps fluide ou mou , pour pouvoir prendre la figure que sa rotation et l’attraction de la terre tendaient à lui imprimer. Il en suit, que la lune a été, dès son origine, un corps dur et irrégulier, ce qui parait être conforme auz observations de ses taches (II. $. zaï.).
