I. o= — + anu-4 , II. O = — - -4- n“ U -H

ar ' ' ai> ’ ai* ' ' a9 "

Il est aisé de voir que l'intégrale de l'équation II. doit avoir la forme

1/ D cos (3 r -{■ Ko

d'où il suit, k cause de r=:o(i -f-au}, que oD est l’excentricité elliptique, et P r -4- J l’a nomalie: on aura donc ff " o, si l’on prend pour époque le passage par l’aphéiie. Ainsi, en désignant par 7 l’pxrenlririté, il viendra

y 3 du y

U — cos P r E/, ce qui donne

y cos -J- »' <

{■=+ ‘-ff)’

d’où l'on conclure

ASTRONOMIE PHYSIQUE

(lO&C U — — cOi nt /,

ce qui étant substitué dans l'équation I, donnera

3ï rr toi 3/ cos ni. partant J ~ — — - t

at a * laS a

On a donc

r = a ^ I "V cos P r — * ^ / et / — aYsicnr-l- —

ni étant le moyen mouvement, a7sinn/ le premier terme de l'équation du centre, et — i* l'équation séculaire, proportionnelle au carré du tems. On Toit donc, que celle hypothèse explique parfaitement l'équation séculaire en général.

Cela supposé, l'équation séculaire de la lune étant connue, elle peut servir à déterminer la vitesse t du fluide gravifique. Si on nomme i le nombre des mois écoulés pendant le tems /, on an/=:avri, et l'équation séculaire

Le nombre i est dans une d’où l'on con-

j . .J a n a TT* I*

que nous venons de trouver ,

365 j. 6 h. gm. . J ?

année =: — ~~ — — , et dans aoooans, i— aooo .

dura l'équation séculaire pour aooo ans, ^ = ^39343 «<

1a même étant suivant Mayer = 1* ($. >53.), il viendra

6 n , /SaSg6f)\*

t= — arSfl. 4000000 .

Mais n = 3a", q4 si l’on exprime le tems / eu minutes, et a:=:o,ooa5i3S.e, s étant la distance de la terre au soleil; d'où il vient ^ **549>>

et pour une minute.

« = ir‘ . 549 . 1 , oo55a ■ « = 973753 . e.

Le fluide gravifique parcourrait donc en une minute à peu près un million de demi-diamètres de l'orbe terrestre; et sa vitesse serait 8000000 fois plus grande que celle de la lumière , qui emploie huit minutes è parcourir une ligue égale è la distance du soleiL

Si on veut appliquer celte théorie à la terre, on a pour un an, i=i, * ~ et n^ia", 464; partant l'équation séculaire pour aoooans,

Puisqae les équations séculaires de diflérenies planfcles, i ~ — - ^ , sont comme nai^, ou comme n^a, et suivant la troisième loi de Kepler, comme y , on trouvera les équations séculaires pour aooo ans , de Mercure r=5'‘3o', de Vénus =3)1', celles des attires planètes étant insensibles.

On verra facilement, que celte hypothèse ne suppose pas nécessairement un fluide gravifique, mais qu’elle se réduit & ce qui suit. La pesanteur poussant tous les corps vers le soleil , et leur imprimant une accélération, il faut lui attribuer aussi une certaine vitesse, qui doit être bien distinguée de celle qu’elle impiime aux corps, attendu qu’en vertu de la réaction elle ne peut agir sur les corps qu’en tant que ces derniers lui résistent, ou qu'ila ont une vitesse, dilTérente de la sienne. Chaque corps sera donc soumis à la pesanteur, pourvu qu'il n’ait déjà la même vitesse vers le soleil; et pour que l'attraction du soleil n’eût aucun elTet sur les planètes, il faudrait qu’au commencement de leur existence, une vitesse vers le soleil, huit millions de fois plus grande que celle de la lumière, leur eût été imprimée.

On aura remarqué que cette hypothèse n’explique point les équations séculaires de Jupiter et de Saturne, dont l'une est positive, l’autre négative; et l'on verra par la suite, qu’une véritable équation séculaire n’existe point dans le système solaire.

$. i56. Si on suppose la théorie de l’attraction, découverte par Newton, les principes de la Dynamique ($. 17.) fourniront les équations diflérentiellet du second ordre, qui renlerinent en iiiémc tems le mouvement elliptique et les perturbations. La primière intégration n’est pas dilliciler elle donne des équations dilTérentielles du premier ordre, qui renfernieut les variations de tous les élémens. Mais la seconde intégration, qui donne pour chaque instant, la longitude et les autres élémens, a été essayée inutilement par les plus grands géomètres des tems modernes, qui ont traité ce problème de différentes manières; et l’on a reconnu, que l’intégrale exacte, quand même elle ne serait pas impossible dans l'état actuel de l’analyse, serait tellement compliquée que, pour lui donner une forme favorable pour le calcul, il faudrait la développer en série. Ainsi la seule méthode, qui soit en notre penvoir, est une uftfirvxiinaU'an qui consiste à rejelter les quantités qui sont Irès-petdes

*56 ASTRONOMIE PHYSIQUE

par rapport aux autica, et à représenter l'intégrale par une série, dont la forme est indiquée par celle des équations diiréienlielles, et dont les coetriciens

seiimt délernilués, en comparant la difTérentiettc do l'intégiale supposée aux diiTéirnlielies données. La solution du problème se réduit donc à exprimer l'intégrale par une série convei^enlc; ce qui suppose nécessairement, que In masse ou la distance, en un mot, que rattractiun d'un corps est inconsidérable par rapport à celle de l'autre ; le dernier corps étant appelé le corps eentrul, et le premier le corps perturbateur. Dans un pareil cas l'orbite troublée

s'écartera fort peu des lois de Kepler, cl l'on pourra la regarder comme une ellipse variable, assujëtic it ces lois, ainsi que l'a prouvé Lagrange ('). Si l’orbite troublée s'éloignait beaucoup de l'ellipse, si par ex. la lune était quatre ^ ' fois plus éloignée de la terre, le soleil pourrait être regardé comme son corps central, aussi bien que la terre; et le calcul de son orbite surpasserait nos forces. Heureusement le système solaire est tallement arrangé, qu'on peut prendre le mouvement elliptique pour base de chaque orbite troublée. £ii concevant un corps A qui décrit autour du soleil, suivant les lois de Kepler, une ellipse dont les élémens varient par des nuances insensibles, et supposant que la planète B est le satellite du corps A, en décrivant autour de lui un petit épicycle; le mouvement du mobile A représentera l'orbite primitive, altérée per les inégalités srcu/u.'res , tandis que le mouvement dans l'épicycle présentera les inégalités périocii</ues.

Suivant cette inélliovte on néglige une inSnilé de termes qui sont cea- •és être inconsidéiables par rapport à ceux qui sont conservés: c'est donc la P« ■ lie la plus impurtante et ta plus diliieile de ce calcul, de déterminer d'avance les termes qui sont asséi petits , pour pouvoir être négligés sans erreur sensible, et d’orilunucr la série, de manière qu’elle commence par lc«

' termes les plus considérables. Cette détermination demande beaucoup de précaution, parce qu’il arrive souvent que des termes, dont les dilférenlielles ont de très -petits coetficiens , sc trouvent après l'intégralion multipliés par des facleurs considérables. Le nioiivenicnt des apsides de la lune en est une preuve remarquable. Ayant oénligé les termes qui, ila'is les équations

(1) Àltin. dê r^cad. d* Bêriin, I7&X.

’ L I V R E V, • C H A P. I. • aS?

difl^entiellesi semblaient être inconsidérables, on^ ne trouva que la moltid de ce que les observations avaient indiqué; mais en tenant compte des termes négligés, 1e calcul se trouva parfaitement conforme aux observations; ce qui conBrma la théorie de Newton d’une manière frappante. Cette théorie» suivant laquelle chaque corps céleste attire tous les autres en raison directe de sa masse, et inverse du carré des distances, fournit les premières équations différentielles, dont l'intégration conduit à la solution du problème. Pour

les intégrer, ou plutôt pour développer les quantités variables en des foneti-

ons d’une forme favorable pour le calcul, on se sert de l’autre supposition, que les perturbations sont inconsidérables par rapport à la force centrale, et que par conséquent la véritable orbite, malgré les perturbations qu’elle éprouve» peut être regardée comme une ellipse, dont la position et les dimensions ne sont plus constantes, attendu que leurs variations donnent les perturbations; ensorte que c’est proprement un problème du calcul des var^<^ns. On peut se permettre encore une supposition , savoir que le corps perturbateur suit exactement les lois de Kepler, parce que les perturbations qu’il éprouve, n’influent sur le corps troublé qu’en changeant d’une manière insensible la conBguration des deux corps, ou les arguroens des inégalités; il y a cependant des cas, principalement dans la théorie de Jupiter et de Saturne, où il faut en tenir compte. Ainsi, les deux corps tournant autour d’un commun corps central, celui-ci sera pris pour centre, et l’orbite du corps perturbateur sera le plan invariable , par rapport auquel le mouvement troublé sera déterminé.

Les constantes arbitraires qui sont introduites par chaque intégration» sont les élémens des ellipses planétaires. Ce sont les données qui ne peuvent pas être déterminées par la théorie, mais par les observations seules: elles n’ont aucune influence sur les équations différentielles, ou sur les lois générales du mouvement, mais seulement sur les modifications arbitraires des orbites elliptiques qui, pour chaque planète qui se meut suivant les lois de Kepler, peuvent varier è l’infini. Il y a six constantes arbitraires, ou six élémens de chaque orbite, indépendans les uns des autres: le grand axe d’où dépend le mouvement moyen, l’excentricité, la position des apsides, celle

•5S ASTRONOMIEPHYSIQÜE

4<i4 noeuds, rinclinaiton, et l'époque: en effet, le problème donnant troia équaliona difiTérenliellea du aecond ordre, dont chacune doit être intégrée deux fois, cea six intégrations introduiront six constantes arbitraires. Telles sont les suppositions, sur lesquelles se fondera l’analyse suivante.

Quel que soit le nombre des forces qui agissent sur une planète, Ica perturbations dues à l'aciion de chaque corps pourront être considérées séparément, parce qu’elles sont indépendantes les unes des autres, en n’altérant que les argumens des inégalités d’une manière insensible. Ainsi on n’a qu’à considérer trois corps, le corps central, le corps perturbateur, et le corps troublé; ce qui a donné le nom au fameux problème des trois corps, qui a occupé les plus grands géomètres depuis Newton. Les diverses méthodes qu’on a imaginées pour faciliter la solution de ce problème, se trouvent dans une foule de livres. Les sources principales sont L. Euleri Theoria moUit lunae, 1^53, et^T^aria motuum lunae, 177a. D'Alembert, Recherches sur diffêr. poàita àu Sjst. du Monde. Part. J. II. III. et Opusc. Math. Tom. V . VI. , Clairaut, sur la ihiorie de la lune, i^So; et les mémoires de Lagrange et de Laplaee, dans les Mémoires des Académies. Nous suivrons particulièrement la méthode, par laquelle M. de Laplaee a enriclii l’astronomie des découvertes les plus importantes, et qu’on trouve développée dans sa Théorie de Jupiter et de Saturne (Mém. de Paris, Ann. 1585 et 178C), et dans la Mécanique céleste , ouvrage qui a fait époque dans l’astronomie physique.