mouvement des planètes suivant les lois de Kepler se
bit dans un plan invariable, et il est tout simple de prendre ce plan de l’orbite pour celui des coordonnées: ainsi nous n'avons eu besoin que de deux coordonnées dans le I. et le II. Livre. Nous allons maintenant consi> dérer les actions mutuelles de deux corps qui ne se meuvent pas dans le même plan, dont les orbites mêmes ne sont pas dans un plan invariable: il est donc nécessaire de rapporter le mouvement troublé k un plan fixe qui n’est pas celui de l’orbite; et pour cela nous aurons besoin de trois coordonnées, pour déterminer le lieu de la planète troublée.
Soit (flg. 39.) S le corps central, SA une ligue fixe d’oü l’on compte les longitudes, AS Y un plan invariable d’où se comptent les latitudes, Z la planète troublée par l’action de la planète Z'-, abaissons les perpendiculaires Z Y, Z' Y', sur le plan AS Y, et YX, Y'X', sur la drdile SA; menons Yjr, Z Z, parallèles è SA et à YY', et faisons
SX = T, XYzzj, YZ = s, SX' = y, X'Y'=y, Y'Z'=a', les rayons vecteurs SZ=r, SZ'—/, et la distance entre les deux planètes ZZ' = f.
Cela posé on aura
$. i58. Comme l’objet de l’astronomie n’est pas le mouvement absolu des planètes dans l’espace, mais leur mouvement relatif autour du soleil, il but appliquer à la planète Z, outre les forces qui l’animent, encore celles
a6o ASTRONOMIEPHYSIQUE
qui sollicitent 1e soleil S, suivant la direction contraire Sj). En désignant donc par S, Z, Z', les niasses de ces corps, et par C la force accélératrice du corps central à la distance ::z: i , cette force à la distance r sera
R — pj, C étant ~ -JJ. (7)1^8)). Nommons ao, a A, e, le grand axe,
le petit axe, et le paramètre de l’orbite de Z« dt faisons pour abréger,
la constante C =: — , de sorte que ag’
/N „ P SA* A*a -,
cela posé l’aecélération ou — ~ que S imprime h Z suivant ZS, sera a^Rzz Or les accélérations étant en raison directe d^s masses agissantes, et en raison inverse du carré des distances, l’accélération de Z en vertu de l’action
de Z' suivant Z Z' sera - -7, et celles de S en vertu des actions de Z et
S ^ 2b' 2^ fi
de Z' suivant SZ et SZ', seront r • "« *« * :3ï* °° exprime toutes les
masses par celle du corps central, et qu'on fasse — — m, •- la planète
Z recevra les accélérations
suivant ZS, — ^ suivant ZZ', et parallèlement à Z' S,
4a première étant due à la force centrale, conformément à la théorie de la pesanteur universelle 57.), et les deux autres dépendant de la force perturbatrice. Si on les décompose suivant les directions des coordonnées ix, J, X, la première donnera, en faisant 1 4- /» r= ft, les accélérations
ftfix
liBy
ftBz
suivant XS“ — x, suivant YXn — r, suivant ZY=z — t;
ttlf fi 771^ B
la seconde donnera — — Z s et — — a Z' suivant Z s et a Z', on bien f* ?*
ip suivant X, ^ — =^suivant -\-y, ^ ^suivant -f- s/
la troisième donnera W B x'
suivant — X,
m'By* . , wi'B z'
— — — suivant — y, suivant
En nommant donc X', Y', Z\ les accélérations des forces perturbatrices suivant — «> — — a, on aura
et lee ecc^retions de la planète ? suivant — i, — jr, — seront
(.c) »i^+X'=X. '^-|-Y'=Y, ti^+Z—Z.
Faisons pour abréger,
(dR*^ étant la dWîérenlielle de la fonction R, si on ne tait varier que lesélémens de la planète m, ou les lettres sans Irait: cela posé on trouvera par la düTérenliation,
= '"-“(Jj)' ‘‘-“Q-
$. lâp. Si l’on substitue les valeurs (c) et (e) dans l'équation fonda* mentale, fournie par la dynamique ($. 17. n. 4)i viendra
7? -t- (II).
ua , / iR \
7^ {TlJ*
33 Z bTt*
d'où l'on tirera
x33y — y33x b rff*
I X JJ* — a J Jx B Jf»
' y JJ* aJJy U3t*
Si on intègre* cei -équations, en faisant pour abréger,
/iîUs,=
d/ ZZ de.
il Tiendra
ASTRONOMIE PHYSIQUE
xSy — ySx xdx—z3x , y3z — z3y
B à~t aït ' iTt ^ '
^X r^ix—X-rir
il'où l'on tirera l’équation
(A) O = e"x — </y~^ez.
En substituant (i) r* — t* , rdr — xdx-^-y9y-^t9t, dans les
diilérenlielles,
^y t^)y — y.rir .a r*dz — %.r)r
en aura
J ^ y (yix — x)y) — arJ »y
X [x3y — yi x) -1-zlzdy — ydy)
2 Z x(xâz — z3x) -+y {y 3 Z — z3y)
et par les équations (3),
(4) a^=— ^(cjr-4-</î)d/, a^=^(ci— c''s)dr,
Si l'on élimine'^, à l’aide des équations I, II, III, il Tiendra
Intégrons ces équations par parties, et faisons pour abréger,
«> ] BK|î)-.(JÎ)îa- + '-^Û=ar.
(-Bj.(fi)+.-(^)5a,+'-iî^'a = ar.
y, f' , J", étant des fonctions des forces perturbatrices m', qui deviennent constantes, si ces forces sont nulles, parce qu’alors les dilTérentielles de R, X, cf, </', s'évanouissent (tf) (/). Cela posé l’intégration donnera
