VI. n,-ÿoVc.-7^) +ano/rg.^)a/+3no/3//(3R

et pour la latitude,

VII. o:=/n'îsy(i — •y-)-|-nasin v.frcosv(^'^'^dt — nacos v./rsin 5/.

$. i6tj. Les équations précédentes renferment toutes les inégalités périodiques et séculaires, et le principal objet de la suite de cet ouvrage est, de développer ces équations, et de les appliquer aux dilTérenles combinai* sons qui se présentent dans le sj^slème solaire. Je commencerai par la fonction R qui entre dans toutes les formules, et je me bornerai à développer les équations IV, VI, relatives au rayon vecteur et à la longitude, jusqu'à la troisième dimension des excentricités et des inclinaisons, et l'équation VU qui donne la latitude, jusqu'à leur première puissance. L’angle v' qui entre dans les équations précédentes, est la vraie longitude de la planète m', réduite ou projéiée sur le plan de l’orbite de la planète m ($. 167 ). En nommnnt donc v" la longitude de mf dans son orbite, il la longitude de son

noeud ascendant sur le pian de l'orbite de m, v l’inclinaison de ces deux

plans, et S sa tangente, on aura

sinvrr-~~pô(i-I«-), sinp'rs'=:î(i-ïô=)sin(v"-]I), tgp'-Jsin (v'-R).

Mais on a aussi lgiî'“ — d’où l’on tire (i —

yii — s'*) 2 'nn(v' — iir

donc sin (v' - R) = développant, -

(«) sin(u'— n>=(i — ^6-) { 1 -l-l6'sin\v"— II) } II).

Si S est nul, il vient sin (u' — IIj“sin(u' — O), ou v'“v": d’où il suit

que t/' — v' est fonction de 6~. Faisons donc v' ~ v'' — e ô’, ensorte que

sin (v' — H) — sin (v" — II) — tô’cos (1/' — II).

La comparaison de cette valeur avec («) donnera

t cos ( v" — n) = ^ sin (v" — II) — î — ^I) I 0*1

£ =1,5®*” — n) cos (u'' — II; rr ï sin a (v" — II).

On a donc v' — v" — — sina (y" — H), d’où l’on tirera

cos (y' — v) ~cos (y"-~ v) -|- ~ sin (v" — v) sin a (y" — II).

Or V(i=s'=)=:* — Y»>û»(y"— II)=i— ^cosa(v"— R), d’où il suit

cos (y' — v)V(i — s*) — cos (■y'' — v) — ^cos(y' — v) 4*4- cos (y"-)- v — a R).

En substituant cette valeur dans R (E) (§. 167.), et faisant pour abréger,

!rco>(v" — t;! P rfcos(y" — v) — c«»(y"+v — sn)}

/•’ -f- P’ — 2r/ cos (y" — v) m Q,

^ { cos (y." — y) — cos { y" y — 2II) } zz 2/^ p/

on trouvera

R = m' P—m'p 5* — m'(Q -f- 5*7)“* =m\P - Q“ î, m' ô* ^5 9 “ — P)- Faisons

ensorte que S' renferme tous les termes dépendans de l’inclinaison, et nom« mément du carré de sa tangente. Cela posé nous aurons

ASTRONOMIE PHYSIQUE (A) R = m' S -f m' 4* S'.

$. 169. La quanlilë S renferme les tennea indëpenHtn* de l’exwnlri* cité, auMÎ bieo que ceux qui en dépendent: détignona par B la première partie, ou ce que devient S dana lea orbitea circulairea, lea excentricitéa étant nulles. En nommant donc, comme ci-dessus, a, a', les demi -axes dea orbites, n, n' les longitudes moyennes, 1, f' leurs époques, n, n' les moyens mouveinens, 7, V les excentricités, ta, n' lea longitudes des périhélies, r, / les valeurs elff|itiquea des rayons vecteurs, v, v" celles des longitudes, m S r, iH i V leurs perturba'ions, et faisant

li — )i~w, r~a~\-Ar, v:r:n-j-Av, v" ^ |u' A v',

ensorte que

(r/) ft e -j- n ii'~ t' n t, d fi — n d f, d p.*— n'd ly

les lois de Kepler fournissent ces équations (II. $. idy.),

= i V’ — 7 (I — * V’)cos((*. — ta) — Î7®cosa(n.— ta) — ?>’cos3(n— w),

( U — 7 (a — î 7’)sin(H — ®) -}-^7'sia ï(ji — ®) j|V^sin3 — oi)i

et les mêmes équations donneront et A v', en marquant d’un trait, 7, fl, ra. Si un lait 7 =: 7' 0, ou qu’on mette a, a', fi, fi', è la place de

r, r', r, 1/ , dans les équations (£), on aura par (c),

• (B) B ~ — (a*-j-a* — aoo'cosiv)

Puisque S est une fonction des variables r, r, v, v", qui devient =zB, sa 7 = 7' = o, on aura par la séné connue de Taylor,

S = B + A r Q + A / + A U (^) •+ A V' (^) + cet.

où il faut substituer dans les différences partielles > (i’p) •

¥~a, V — II, u" — fl', v' — «“M'y d’où il vient

La aine entière, jusqu'à la troisième dimension des excentricités, sera donc