IV
En ôtant l'équation IV, après l’avoir multipliée par x, de l’équation I, multipliée par mrSr §. i5g.\ et négligeant les produits des masses, et pat conséquent m'
mVir.33x— mVJ9(rrr) R),
dont l’intégration donnera
O = ’-fr.ax-v^x^jr^ /x (R) a < — s/id t/ (d R),
li d f
Eu opérant de la même manière, H. m'rSr—lV-y donner*
iTr) yy ,y^a//(dR).
St on ajoale ensemble les deux dernières ëqiiuuons , apifes les avoir itiuUi> pliées respectivement par jr et — x, il viendra
I wf rSr(x3y—yix^
(D) .) Bar ~
t x/y(R)d/ — fJx(^)dl-{-irfydlf 3R) — ^yfxdlf(d'R\
Comme on néglige ici les produits des masses, il faut mettre k la place de
sày — ydx Bar
sa valeur dans l’ellipse invariable. Soit donc (Fig. 4o.) NPQS le plan de l'orbile, tipqS le plan des x, y, et supposons pour un moment, <]ue les abscisses x soient prises sur la ligne des noeuds SN: ayant abaissé les perpendiculaires Pp sur le plan des x, y, et pr sur l’axe des x, Prp=i) sera l'inclinaison des deux plans, et on aura Sr=:x, rp~y, pP — s» en nommant donc y l’ordonnée sur l’orbite, Pr, il viendra y — y' cos Or la première loi de Kepler donne (§. 19. V.) x3y' — y èx ^ \èl , d’où il suit x3y — y3x ~ Ad/ cos T). Si on substitue (§ i58. (a)) B =: ^
il viendra =: .
— étant la durée d’une révolution, ce qui donne
et eol1^y(■— 7»)
Si on substitue cette valeur dans l’équation (D), elle deviendra tn'î r n
Mais A — — (§. a8.) , T =:
A = naé — ne’ V(i — 7’), B = n*
$. i65. La somme des équations I, II, III ($. iSg.), multipliées reepeclivement par x, y, s, donne
(ao)
• *3 3x + y 33y+ ed3e , M ,
Or 33 (r*) = a (x3 3x -f-yddy -f- sdds) -f- •» 3r* -|- ds*), ce qui change
le premier terme de l’équation (ao) en •' nomme v
la vraie longitude dans l’orbite invariable, comptée d’un point 6xe quelcon* que, et m'Sv sa perturbation, on a 3s*::= 3r'-|- r*3v’, et ?33.r^r33r-j-3r“, d’où il vient ?33.r* — 3s*=:r33r — r®3u’. En mettant donc r-\-m'Sr et v-J-m'îv è la place de r et de w, l’équation (»o) deviendra
(r-Mn'îr)3Jr+-m'r33îr — (r*-(-5mVSr)3u* — am'r’èv-dSv , m/ w'îr\ ,
Bdfï ^
97a astronomie physique
Lei termes ind^penclans de m' e.xprimcnl le mouvement elliptique: il faut donc que tous les termes, multipliés par in , soient nuis sépstement; ce qui donne pour le mouvement troublé,
n'Sr.ddr-h^'rdâ^i aw'rîr.dt'* — 3 m'r’d V .â S v
ÛTï*
Si on substitue (§. 19. VA, Az^ria^ 1^(1 — 7’), (5- i64-)i
cl r3v*zr33r-j — -, R3/’ (5- >9- IV), la dernière équation deviendra
m'rdSSr — m'Sr.dSr 3 m' S r ai*i'3*u
L'équation IV donne — ~ *I“{R'"I"'> /,3R), dont
, . . . m' î r .33r-f-a ir'3 r.3 ' r 4- m' r. 33 5r ,
le premier terme est . — t : cette valeur
ubanf’era l'éqaation précédente en
y ( . 7»)r= ^ +4 vR) +6/ m.
d'où l'on tirera en intégrant,
VI. m'fi;.y(i— 7*)= i*”' ^ ^ ^ ^ ^ + a n 0 / (R) 3 r 4- 3 n O / 3 // ,3 R).
$. 166. Reprenons maintenant les ë<|iialions (3) [/) (§. iSg.),
-ïibr'='''=/^'S--(35)-^Sr)S+'=-'.
C, G', C", étant les parties constantes de c, e, c", ou des élémens qui déterminent le plan de l'oibile. Dans l'orbite non troublée, R étant nul, les quantités e, c, c" , elles-mêmes sont ces consl-antes, d'où il suit ($. 160. (6j), lang r, = , co, n = - , et II* = -- = (S- .6.. - ( ■ ■ )).
donc C=Z— — yfiti — 7*). La première des équations piécédcnics donn a
nera, en négligeant les produits des masses,
et en ajoutant ensemble la seconde et la troisième, après les avoir multU pliées respeclivemeiit par et — x, on trouvera
d'où l'on tire au moyen de l’ëqualion (ai),
■ ^ étant la valeur elliptique de l’ordonnée z, et les termes suivans
sa perturbation m'Sz. Il vient de là
f I ^ r-.. ^ 3R\ iâR>
C+c/^'inàT)-=và./i-
Maintenant si on nomme 3 la latitude, s son sinus, on aura lancfîrr^— r-
Iti'èa ffl'âs V
d'où il suit O/' 0 iB 3 =: — ri î: x. ** la dilluienlialioa donne
y(»’+>*) rro>p’
. 5 3 V - 1 • . iT n'riR n'rSs m'rSt ,
<tg3=: — 1-, dou il vient m’Sz — r- = — . Au mo-
cüj’p’ cüj P e>»>p I — i»
yen de ces valeurs et de C = VJT(7— l'équation (aa) deviendra, en faisant M — t.
m' î î en» T) yl' —'V*)
+ =(«)-'(«)! +->'b(fî)- = (a7)S'
$. 167. Prenons maintenant l’orbite primitive pour le plan des x, y, comptons de l'aphélie les longitudes v, v’, des planètes m, m, la ligne des apsides étant Taxe des x, et faisons sin p' =r cela posé on aura
or=i=p = n=:s, xzzrcosv, y — rsinv, i'— /cos w'V"(i — /*), y =: /sin V y ^1 — s'*), x'zz/s', ce qui donne (J. 157. (1)),
f*=r*-j- /*— arr cos (v'— V) — /•>, donc (J. i58. («/))
ASTRONOMIE PHYSIQUE
^ — I)/ {/*-}■ '■*'* — 2r/cos(v' — t^)V^(i — .s'- }
m' fxlx'—x)+y(y'—y}}
mi
n rc;j (v'— v) , tn' { r»— rt^c». (a/ x»' ' i — t'*', î
|r’+r :rr u) ^/(i — 1'»)( i
(Q) (^^\dr •o)iA ,3 mVrlr— rV'»«fT’ — - i'» }
a {r^ tr'*—rrr<:irt^%' — r'y^i—
d'où il suit (R)“ r De là on conclura les équations suivantes
(S- i64 iGÙ. 166. J:
pour le rujon vcctrur,
IV, 0= — àV,— H ;:r- >»’«V(3R),
y n y°sv-/^Mnv(g”)a/— sinv./r cos V ^1^)3')
' “ *eos v/rsin v.3//(dR) — asin v/rcosv.d//(3R)C
pour la longitude,
