A / Av A v" f
' Voa' O.ttiMV
Opérons de la même iâçoD sur les fonclions Q et (/, et faisons pour cela
(/■} (fl’-f-a'* — aca/cosv; ®:=Î5, — {cos((a.' — fi.) — cos(ft'4’f* — “H } = 6,
Les fondions Q et <7 étant ifcjS multipliées par 4» (§. 168. (A) (c'), elles ne seront développées ici que jusqu'à la première paissance des eacentricités. Or puisque Q '* se change en S, et f en b, lorsque les excentricités sont ■ulles, on aura comme précédemment,
Q- ? = » + A r j + cet.; , = b 4 A r 4. cet.; = ^,r‘,
pariant ($. i58. (cl)
SB' étant =SB — 4-.
§. 1^0. S» l’on développe le trinôme *** **"*
série ordonnée suivant les puissances de cos w, et qu’on exprime chaque
ajS ASTRONOMIE PHYSIQUE
puitsance <]e cos u' par les cosinus des angles multiples de w, on trouvera
des séries de celle forme,
(u* -j- o'* — aaa' cos ri) * = M + cos !w,
(a® -J" — 2 a a' COS «■) * = ffli -f- 91^'^ COS iw,
i s’étendant à tous les nombres entiers posilib. Ainsi on aura (B) (y) (^. i6g.) (jf) B — “ °*** — j,j — j^{i> 5S SW -j- 91^*^ cos iw.
Si on veut étendre t à tous les nombres entiers, soit positifs soit négatifs, ce qui sera fort commode pour le calcul, on n’a qu’à diviser par a les coeHicicns N^'\ 9l^'\ donnés par le développement des puissances de ccs ii-, parce que cos ( — mi ) =: cos i Supposons donc
(F) B ,? A^’^ cos i iv, (F) S5 = ^ 91^'’^ -4- ï îl^'^ cos mi-,
î s’étendant à tous les nombres entiers , tant positifs que négatifs , excepté ïéro, vu que le cas où / ” o, est représenté par les cocITtciens A Il
faut observer, que A^~'^ =: A*'^, ~
et que le terme doit être ajouté au coefficient A^** , parce que
atotiu , « “i / N — 1
z: («’ -|- Q ’ — aocr cos rv)
5. 171. Pour déterminer les coefiieiens A, 91, faisons ^fi) . , .^—a, T — aacosH' = X, a®-j-o'® — aun'cosu-zzL, et supposons
^ X ’ = ï -f- cos IV -|- -|- cos iw,
2 X • ~ 1 -j- cos SV -J- 4"
t s'étendant seulement aux nombres positifs. Cela posé on aura - ,3. - — 5 X“^ - — • X"* ocasiv X~* X~*
.L = «’x, L * = L ’ = -pr> B = -^. SSz=-p-.
Or BOUS avons supposé B ~ ? A^°* S 4- cos l’tv,
si 1 ne s’étend qu’aux nombres positifs: d’où il suit A^°^ — — ~-rt ,
A^^’ = — , ou
(1) a'A‘*>r-é<“’,yA^'’ra-é<», a'A»’z-é''\
Les coefficiens A, fl, étant ainsi donnés par 6, c, déterminons maintenant ces derniers. Supposons pour cela en général.
C^) X~ cos tv -|- -f- cos iV,-
r s'élcnilanl à tous les nombres entiers et positifs. On aura d . X“" ^ 5r 1 »in -lü
<^*w i •+• a* — * et conu *
iVoù l’on tirera, en diflilicnliant la série (<) par rapport à «>
sr^riimu
i+a’ — aacni-u;
P"’ lin TU r- «in (( — ;) H) + (»■ — i') p^' ‘^rinfi— i)wS-l •in / su
P*'* coa 7u-t~ “Jcufc^l — a}*lü.fpt)i—i>cüi(/ — 1^10+ cas i 'ui *
En multipliant en croix, on trouvera le coetGcient rie sin (i — i) rv clans le premier membre z=ra{p^'“'' — P* ‘lans le second membre =
(i — i) (i+“")p^'~‘^ — 0 — a) — iap^'K En égalant ces deux
valeurs, on aura
rn „0> (<•— 0 (| + a’) pt»’-0 (,• — »+ r) a p<«— «>
Supposons que le développement de donne la série
-f- 9^'^cosrv-f” '^cos — i)(v-|-iji^'\os/iv-|-^^'"*“*^cosp l)ie;-
et multiplions par i 4- — a a cosrv — X: il viendra
X~’’ — 09^' ' 05 (i — a) w -f- cos JW }
-|- (i a') cos j’w — *’ ■{ •os 1 w -}- cos (' -|- a) rv{ :
le coellicient decosirv est donc z= — -f- (1 -}- o’)
Mais on a aussi, par (<), X“'' . . . . . cosi'rv, d’où l’on tirera ('») ..... -f" 9^*' — a
La formule (/) a lieu, quelle que soit la valeur du nombre r: on peut donc y mettre r-|-i à la place de r, ce qui ctiangera X~’’ en X“’’~', et par conséquent P en q. Si l’on lait en piéiue tenrs i, la formule (■) donnera»
ce qui étant substitué en (■»), donnera
et en changeant i en / -|- i ,
pO -+- i) ara — r (n- a«)
a«o ASTRONOMIE PHYSIQUE
Si on met au lieu de sa valeur ( ) dans la dernière écjiiation, elle de
■ tr ! n‘)
Tiendra r Q ^
IZ.^ „(.-0— r) i a
; d'où ils suit CO
Mais l’dqualion (o) donne—- ^Ct — r) — ^<0 ° j yCD ; en comparant
ces deu-x valeurs de on aura l'équation
, ^ (/J (i +r) (i f — a(»-+i — r)a pCi-+-i>
Si l'on fait maintenant r=z^, les coeIScieus p, q, se changeront en b, e, et les équations (/j (/ ) donneront
a(i— »)(n-g*') t/«— >— (ai —
An moyen de la formule { i) on trouvera chaque coefficient de la série X~ ® , par les deux termes précédées , ou par les deux premiers coefficiens ^(1)^ gj I, formule (d) donnera tous les coefficiens de X *, ceux de X~ » étant connus. Tout se réduit donc à calculer les deux premiers coefficiens
§. 171. Soit Xi:=: * -f- cos Mv cet.
et désignons par e le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité. Cela posé on aura, en faisant sv — r,
9cosu'r=c''-|-e~’', parlant X— (i — — ac~’') (Ç. 171 ). d'on il viendra
.1 < a r “* ar 3 ’»* ar 3 . 5 . 7 . . .(a n — ï) „ >
{ a a. 4 a. 4. 6 3. 4. 6. ...an ^
^ I — - *-»•— üL e-*'' — . . . . — a"— *-<"-•”■ ?.
En multipliant ensemble les termes analogues de ces deux séries , qui contiennent la méife puissance de a , on aura le terme indépendant de r ou de w,
• ^ • (3.4,6 an)*
L I V R E V, C H A P. IL s8i
Si Tob mulliplie chaque terme par celui qui le précède dana l’antre férié, im aura le terme qui dépend de r et de — r,
a.4*.6*....(»n — a)*.â« (Jn-i)*(an-3)
acotu ^ I ï.4*.6 a. 4*. 6’ (an — a)’. an
et xà A B -|- cet. les termes suirans dépendant de ar, ou de siv, 3tv, etc. Mais on a aussi
X’ I -f- cof w -J- cet. d’où l’on tirera ZA^*’=A, et = — a|i — ^
(0 (à)’“‘ * (.-Ti)’-** *
3».5».7*.-.[an-3)«[an— 3)
'I Ch
(an — a)*, an
Pour tirer de là les valeurs de b^'^, faisons dans l’équation (p) ($. t^i.),
r ~ — î: alors p deviendra le coefficient de X~’’=X*. et o celui do ^ __ ■
X~ ~ “ X donc p~h, q — b; ainsi la formule (jt) donnera ,(,•) (4 t + 6) “ * (i-t-O — (ai — i) (' + a*)
- .(■-“’/■ * et en faisant i r= o et
(3, 6afc<«+(i + o*)È<^ loa b» — (i + o*) h«» . )
d’où il Esut chasser ce qui se fera au moyen de la formule laquelle, en faisant r = — i =: a, devient '
A^*^ ~ ^ -i-ab — ^ substitué, donnera
y.(,) (f-4-a*) È‘-’> + 8 a i>“' s a 1)"’ -4- 3 (i + a’ib'**
Au reste, il est aisé de voir qu'on peut toujours supposer a moindre que l'unité, pour que les séries précédentes soient convergentes, en prenant pour a le rapport ^ ~ i selon que m est une planète inférieure ou su-
périeure; car on va voir ($. 1740 > dans le second cas, on n'a qu’à substituer pour
(l) Voy. Xhtarié Jés far, ait. dat iiém. éta Pian, d<ia» les Alim, dt Sarlin, ,/drui. 1781* pag. aSy. #/C-
,8a ASTRONOMIE PHYSIQUE
Oa Irauvera parriUemeDt, par la formule (3) i$. i7>-)>
§. 173. Si on diirëreutie l’équatioB (*) vS< '7'-) par rapport à a, il rieftJra
— • V: ^ I + + 'aV
Mai* cos w — O =;
d Jt
> , d*uù Ton conclura
x-5 di>» a*'')
rz * . -, h — conw*.
2 1 ia O a. ' a (X.
Si Ton substitue X“f= ^ cos iw, X“» cos iV, (i)
($. on aura
~ — lITl— r<*> — —J d’où l’on tirera, par l’ëquation (3) (§. 171.),
f # a sa la
ܱ1 partant
djt a^i — o’j > — a*
di'-» ai'» — 6"»
ai"»
, etc.
da r— a*r a« a 3»
Les diSürentialions successives donneront, en substituant 17),
W-'*' '(>■- 1'— î/[i-tV-*4-(<+i)(t-»-sh» 1 A(/-t-0
W ÏT>v.-aV a^.-aV"*
^ (1— iV f— al — (ï*— 191 *4.3/ — — t'ï — 1^0*4 (r4.i)(T^^)(/-4-3^g*
(a»^- iV »4-9 — (a (»-t- i) ■ *-4- (i*4- <t1 ->4|
Si on différenlie l'équation q3) les valeur* précé-
dentes, on trouvera
r - 4+9''»,a»- (,’-l- I Sf-day-*
•t ainsi liii reste.
C— i ar— i4-*l9—
Lm coefficiena ^lant des fondions de a, on peut exprîmei^
le terme général par 4'^^rrRa*', ce «jiii donne -j— z=Rra’’“ * = Rr —
aM»!
dM»)
Maii l'équation é^*^~R -j donne -5 — résulte —
^ ^ </ 4 àn
. 36(0 ^ , J . . 3cf») , dc'.'l 3360 , 33610
. On Iroorer» de la même manière -v—zi — ,-5 —
û' d uC d fl a' d a d O* a'* d a* ^
-TT — “ -77. ®t ainsi QU reste. Si Ion substitue ces valeurs dans les
d a* a * da ^
différentinllps des équations (i) (§. 17 1.), on aura a'.— — — — — I 3 6(0 , * ® 0 a
. donc
«' da
■ar- “
3a’ '3« da*
3 ’ \(0 Ta~-'
'4 >î — Üil'
d fl*
$. >74- Les fortkules précédentes, relatives k faction de la planète m' sur m, serviront en mènie tems, avec de légers changemens, à déterminer les perturbations de m' par faction de m. Si l'on nomme 'e^’\ 'A^'\
'îl^O^ Cf que deviennent c^'^, relativement à U planète m', il
est aisé de voir, que les deux derniers coetbeiens n’éprouveront aucun changement, pareeque lé trinôme — aaa'coaw:=L reste le même, si l'on
change a en a', d en a, et en — rv. Il faut cependant excepter A^’\ dont le terme h ajouter (§. 170.) devient -, au lieu de Cela posé, les équa< lions (1) ($. 171.} donnent
'A‘» = — «A‘0, 'c"‘’=a3Sl«0.
Ainsi le calcul qu’on a fait pour la planète m, s’appliquera à la phnèle m', k l'aide des formules suivantes:
(r) 'é<« = aé‘'\ V» = a3c<'’, 'A<0 = A‘0, %<■''> = 'A<»Z=— —
$. 17S. Ponr ce qui regarde les rapporta dilTérentieU , Péqnation (B) ($. 169.) donnera
984 ASTRONOMIE PHYSIQUE
__ eol tu
d'où il résulte
— — ^ -I-(«— a cojh)L », — , =• }-(</ — acosn)L »,
9B . , SB acni'ui . , — '
= ^- + L »=-B. ou
à a ' àa' a
a a ^ à a' * da
Les dilTérentiations successives donneroDl
àa' d a ^ à a
, d i B SB d du
or • •: — ^ — — a ■: — — a .
da'
i ada!
3B ,33b 3B oaa , , dc»o aB
da«=-dT'-"d-.a?’ " â„~.=-"âT--“
ddB
, 3dB
dB
èSB
da' ““ du'»'" dw' “dfld?’ “ 3n^> — ~'d7' “d^^»
3o»do^ 3a* .3a** *** à a 3 a'* 3 a 3 a'
da’d'a'i
■^'O O « V wr a« V V -
®“ V„-ïi +“ a, . = -> donc
• X-,. = — O -rrsr — O ^
Si l'on substitae successivement les valeurs qu'on auia trouvées, il viendra
^ , dB „ dB ^ ddB
O rr-é ^ — D — O — , o<r — - —
^ a ^ a é aà a'
,a^d8 « . . d0 ,di^B . , a*B . .d^B d»B
dfl'» ' ^ a ‘ da* * <^aW ^ n* “ -
aa*^a' 3* B
/ ^ rr*7^ = — OÜ — 100 — — ûo** — ^
.d^B ^dü.
‘i.*; — *4® + 9®“J^ + 7>* ïa* +'®“ 3o*+"
En opérant de la même manifere sur l’équation (J^ ($. 169.', on trouvera
=r — 3 (o — a' coa w) L », ^ =: — 3 (a' — a cot w) L ^ partant
• ^ -|“ • ^ = — 3L » = — 3S6, d’où il viendra
îa.
» mio ^*1
jy = 1 a a> + 8 U — 4- a» — —
r • aa ' é a**
t , i àt .
aa' liad a
Il est aisé Jo voir, qu'en vertu des éi[uations (I)(F) (§. 170.), les mêmea relations ont lieu, si l’on met A*’’ h la place de R, et au lieu de ÎB.
L'angle IV étant — fi, les équations (ÜJ (y) (J. 16g.) donneront les relations suivantes :
d l à B atB âts ddB das 93 B 33B
l 3)x.' du' 3jt.' 3 ji.* rf.ttrf.u.' W fl’* du'* JH**
' âJ B
■ \ J A» a ,u,' "" ïfi'*» 3 II dl?» ~ ~dji}*
I TT%— — . — :s ■;■■ — oo'simv.
V 3 1’* 3 11^* du' 3 II
Au moyen des formules (H) (I) (K), on peut chasser les dilTérenti* elles du, dii', des équations (C) fD; ($. 169.}; ce qui étant fait, il sulfirn pour développer ces équations, de connaître les difTérentielles de B, S, i, par rapport à a cl g.* Pour cela la dilTérenliation des équations ^E) (F) (/) donnera
dB JA'» , . JJB iJJA»* , ,JJAt<t
= = aT = l 7T-- + Î -77.-
d a ' da — — — A^'^cos r »v;
Jda S
JB i»
jjl'~ 2
V li — il'
COS lu-, O — ~ 6j - — = — A"^' sin Mv, 3a ’ d II a ’
— — A^'^sin/w; ^ — Sl^'^sin 1 w>,
J (i a d II a
^ Isinw-f sin(,A'+M.— aH)}, II* =0.
^ 176. Substituons maintenant les valeurs (H) (I) (K) (L) dans les équations ((') ;^D) $. 169-}, et faisons pour abréger,
/nr Ar' . Ar'„ sAr' SAi^ . /Ar'\*
0) Av-Av"=t, Au-fAv"=«',
Cela fait, l’équation (C) deviendra
,H6 ASTRONOMIE PHYSIQUE
+ ■ c. A< V / + . , ./A + V-'-ii.»/-/"- + -f ./. ;
et rëquation (D) premlia la forme
(M') ® = X i,- ~ {cos IV — CO» xH
H* ^ {Jj ^ O CO» l'w^ (I sin IV -j- (' sin <|/)
^ ^ cosAv+iîl^^J »im\v ^ { cosw— cottj/ 1 .
Développons maintenant les fonctions (s) par le moyen des équations (r) ($. 169.), et observons que J", t, sont de l'ordre des excentricités , et que par conséquent il serait inutile de développer /i, h', g', au delà de la seconde dimension des excentricités, et f", J"'", t', au delà de la première, parce que dans l'équation (M), h, h', g", sont partout multipliés par y ou t, et ft f*"t psf S* ou yt , et que t' ne se trouve que dan» l'équation (M') , et par conséquent multiplié par le carré de l'inclinaison. Cela posé on trouvera î '/*—>( r—^'y-).-os(M,— œ)-(-V(i — |V')eo»(n'— ta')— |'l'*oo»î(u — w) -j-J'y *coe a f 4' — ni') — |yJ co» J (a — m) -I- i 'V'^ cos 3 (u.' — te'),
y = 1 — y •+ v( » — I y"') to» (y— «o + ’co»a (/— t»') -f |y ^cosi (/— ty),
T’—\ -|- aY cos (u.‘ — «B ), y"' r= i -|- 3y co» (n' — is );
I = 7 (a — ^ 7*) sin (,u. — us) — 7' (a — ^y*) »in (a' — w') 1 7* sin a (u. — os)
— J y* sin » (a' — us') -f- — 7-^ sin 3 (a — os) — — 7 sin d (a' — w") ,
1' r: a7 sin (u — & ) -j- ay sin (*' — «') ;
ÿ — I +^y 4".^ y^co»a(a' — 01') — îy5co»(«.'— os')-|-?7'^co»3(.a'— w'),
A = 1 * y^ 4- a7' co» {si' — w') 4“ u y* 004
g' = »-4- * y ® — i’ (7* 4- y^) 4- y y’ co» a (u — tao 4-«'*7* co» * (tt — w)
-{- ai'* 7-7 ■jfo» (h — ts— w' 4“ «)— *co» (h' 4" I*' —
— J «■* 7’i co» u.) — co» 3 (j* — «4 - (4 ‘■*4-2) y {oos (n' — œ ) — CO» 3 {(»'—«')}
J/’-y’ V{c'os(fi' — ajt— »'-+• ara) — CO* -f — air'}
-j- 1 1'* 7 7'" jio* (afi' — — a ra' b) — co» (a yi' fi — ara' — ra };
/*' = I + i 7 * — t’* (7- + y*! 4- a 7' CO* (}i' — m'j 4- 0^ -f 7'= ro* a (ft' ra')
-f i"® 7’ CO* a (fl — b) a I* 7 7'{co* .fl'— ^ — ra' -4 ra) — CO» ^^ft' -f- fi — ra' — ra)} ,
if— * — J- ^7“4‘7'’)4'7'''0* (fi' — ®*)4‘ “I"' J 7'’co*a(/i' — «')+ j 7*co*a(,n — ra)
-4- 1 1’ 7 'y' |co* 4 — fl — 4- — CO» (fi' 4- fi « ra' — ra)}.
Si l’on donne à l'équalion (M) celle forme ,
