Problème du principal de n annuités

46, — Capital générateur d’annuités périodiques. 47. — Résumé des formules.

N° 44. — Il y a des produits qui ne durent qu’un temps

limité pendant lequel ils se reproduisent d’une façon sensiblement égale, mais périodique. La valeur produite dans Pavenir est le résultat d’une annuité & à intermittence p pendant #p années au taux £.

Cette valeur se calcule par la formule

(+ dr 1 M— 4 =

(1 + é)p— 1 qui s’explique par analogie de celle du montant des annuités annuelles, car en faisant, dans celle ci-dessus, » = 1, on retombe sur (9).

Ces produits se rencontrent dans les forêts, mais ce n’est pas uniquement en vue des coupes principales ou des éclaircies naturellement périodiques que ce calcul a été introduit dans les estimations des produits forestiers, La loi des intérêts composés suffit à résoudre les questions qui y sont relatives. Ceux qui ont introduit dans les calculs forestiers les annuités périodiques, ont eu en vue certains produits comme la glandée, la fainée, la résine, l’émondage des arbres.

Exemple. — Dans une futaie de hêtre et chêne exploitée à 150 ans, la fainée qui se reproduit assez généralement tous les 10 ans commence dans les hauts perchis à 70 ans; il y a ainsi

8 récoltes qui se vendent 6 fr. par hectare : quelle est la valeur produite par ces 8 récoltes à 2 0/0?

Ait DRE MA | M — 6 >< 3,875 >< 4,566 — 106 fr. 20 La valeur de l’annuité intermittente serait, connaissant la valeur future produite M 1+é?—1 1 — M Er (=) 1 106,20 >< 0,220 >< 0,258 — 6 fr.

Mais ce calcul n’a qu’un intérêt de pure curiosité arithmétique, ainsi que les autres déductions qu’on pourrait tirer de la formule (17).

N° 45. — On peut chercher de même quelle est la valeur actuelle, le principal de # annuités à intermittence

p, durant #p années : elle sera par analogie 1+t)2— 1] I en Qu A ( + éP— 1] (1 Dre

Dans l'exemple précédent, les 80 annuités à 10 ans d’intervalle, valant dans l’avenir 106 fr., auraient une valeur actuelle de

1060/2065 1214; 107 (tarif)

Les autres formules qu’on serait tenté d’en déduire par analogie, n’ont également point d’intérêt.

N° 46. — Quant aux annuités périodiques d’une durée illimitée, telles que les coupes qui se produisent tous les 2, 3, 4, ... années, elles ne sont que des loyers de capi-

taux placés à intérêts composés pendant la durée de la période. C’est ainsi que leur capital générateur est De l T'en

formule qui est identique avec celle du tarif IL.

Ce n’était donc pas la peine d’arriver à la conception si compliquée des annuités intermittentes, pour retomber en définitive sur la loi des intérêts composés ; celle-ci suffit à toutes les exigences des estimations forestières, à la seule condition qu’on sache en faire un emploi raisonné.

Voici un exemple du calcul des annuités périodiques :

Dans la futaie de hêtre et chène à 150 ans, valant à cet âge 7,400 fr., sur un sol de 400 fr. l’hectare, l’accroissement s’est fait à 2 0/0 ; l’annuité représentative de la feuille est ainsi de 8 fr. (n° 44)

0,02 (1 ,02) 150 =] mais cette somme ne représente pas la véritable et seule rente annuelle du sol, car il faut lui ajouter ses produits à intermittence limitée.

Le produit des 80 annuités de fainée à 6 fr. l’une, ramené à l'actualité, vaut 21 fr. 10; il se reproduira ainsi avec sa valeur initiale tous les 150 ans et équivaut donc à un capital générateur de

a — ‘40 = 8 fr.

21,70 >< 0,054 (tarif II) = 1 fr. 17 et par an L'TRE<I0D2 = 10:02 ce capital devra s’ajouter à la valeur du sol et la porter à 401 fr. 17, et la rente du sol deviendra elle-même 8 fr. 023.

Véritablement, les auteurs qui, par amour de la scrupuleuse exactitude, ont introduit dans les estimations de forêts ces annuités périodiques, n’ont pas craint les complications.

Ce n’est pas tout : cette valeur principale des 80 annuités de fainée est ramenée à l’actualité de 70 ans, âge où elle commence, tandis que celle du produit principal a été ramenée au début de l’âge du bois, à 1 an; c’est comme si cette valeur actuelle 21 fr. 70 était grevée d’usufruit pendant 70 ans et ne commençait à fonctionner au profit du propriétaire de la forêt que dans 70 ans. Il y a donc un correctif et une réduction à l’actualité à introduire pour 70 ans : c’est dire que cette fainée a une valeur tout à fait négligeable.

Toutefois, les suspensions de jouissance qui se présentent notamment dans les forêts grevées d’usufruit doivent être exprimées par le calcul au moyen de formules déduites de la théorie des intérêts composés et que nous allons expliquer.

N° 47. — Résumé des annuités périodiques.

Montant ou capital futur. Principal ou capital actuel. 1 + éjp— 1 | 1+ ty —1 1 LE St (7) | P=a CNE entr (18) (1 + #)p— 1 (+1 7 (1+6rr Fonds générateur.

Deer nsc A +1 ARTICLE D.

Usufruit.

Nos 48. — Calcul de la valeur de l’usufruit : 1° d’une rente annuelle ; 20 d'une rente périodique.

49, — Valeur de la nue propriété dans ces deux cas, d0. — Usufruits concédés sous condition suspensive. d1. — Formule générale des estimations de forêts. 02. — Procédés équivalents mais plus compliqués assignant des valeurs

distinctes au fonds et à la superficie ; méthode de l’escompte. D3. — Résumé des formules.

D4. — Observation.

N° 48. — Deux valeurs distinctes sont à considérer dans les biens grevés d’usufruit : la nue propriété et l’usufruit. Comme ces attributs sont tous deux cessibles, il faut en rechercher le prix d’estimation pour celui qui veut faire emploi de son argent à un taux déterminé.

Nous estimerons d’abord lusufruit.

Deux cas sont à considérer : le bien est à revenu annuel

ou à revenu périodique, mais tous deux sont limités dans leur durée puisque la jouissance usufructuaire finit, soit avec la vie du bénéficiaire (ce qui est alors une question de mortalité), soit avec le terme assigné par la convention ou par la loi.

1° On veut vendre à un acquéreur qui cherche emploi de son argent au taux £{ un usufruit à produit annuel à devant durer ans. On demande la valeur de cet usufruit.

Le prix est évidemment la valeur de » annuités : (1 + é7— 1

(tarif 1 — 1) >< (tarif H) <+

2° On veut vendre au taux { l’usufruit d’une rente & intermittente, c’est-à-dire se reproduisant tous les p ans et devant durer #p années; quel est le prix de cet usufruit? C’est ici encore la valeur actuelle de # annuités périoue (1 +) 1 1 p\np__ RS PT A PA

(tarif 1 — 1) XX (tarif H) >< (tarif IH)

N° 49. — La valeur de la nue propriété, dans ces deux cas, suppose une rente annuelle ou périodique perpétuelle qui serait ramenée à l’actualité pour tout le temps s que dure la suspension des produits.

1° Un bien à revenu annuel & qui ne doit commencer à courir que dans s ansest en vente. Quelle est la valeur pour celui qui veut faire emploi de son argent au taux £?

Cette valeur sera (°)

OS ne à (20)

(tarif I) < —

(*) Cette formule est l'objet d’un tarif spécial, dit tarif IV, dans les ou-

2° Un bien à revenu périodique &@ se reproduisant tous les p ans d’une façon perpétuelle est grevé d’usufruit pendant un temps s; la rente 4 ne cornmencera à courir que dans s ans: quelle est la valeur de ce bien au taux £?

Be 1 1 put É LT AE + En (tarif I) >< (tarif HI)

On vérifiera les formules de l'usufruit et de la nue propriété en les ajoutant ensemble et en faisant s — », c’est-àdire en faisant la durée de l’usufruit égale à la durée de la suspension dans les produits ; on trouvera que la propriété entière non grevée est :

a dans le premier cas

A+ dans le second cas :

Ce sont les facteurs du tarif III.

N° 50. — Enfin, il y a des usufruits concédés sous une condition suspensive, c’est-à-dire qu’ils ne doivent commencer à courir qu'après un temps s. La valeur de ces usufruits U’ ainsi reculés sera pour l’usufruit d’une rente annuelle & devant durer % ans et ne commençant qu’après s ans.

( + é)— 1 il

pee ee a+ A+

vrages de MM. Cotta, de Salomon et Nanquette. Ce tarif IV a été introduit dans les livres d'estimation des forêts à l’époque où les défrichements étaient favorisés par la haute valeur de la terre agricole et où il fallait tenir compte dans l'estimation de la forêt de la possibilité d’une transformation en culture. Il suflit, dans ce cas, devenu beaucoup plus rare, d'évaluer le temps s pendant lequel se ferait la réalisation du matériel boisé et d'estimer le capital dû au revenu agricole annuel sous déduction d’un escompte pendant s ans. Le tarif II et le premier facteur du tarif IT y suffisent sans qu'il soit besoin d’un tarif spécial.

et pour l’usufruit d’une rente à période » devant durer np ans et ne commençant qu'après s années.