Résumé des formules
N°33. — Premier problème (montant de % annuités). — Dans ce mode de formation des capitaux, une somme annuelle constante &« s’ajoute chaque année en produisant des intérêts qui se composent, c’est-à-dire qui s'ajoutent aux intérêts des intérêts et à ceux des annuités.
Le montant de # annuités, c’est-à-dire le capital formé dans l’avenir par # sommes égales grossies de leurs intérêts composés, est
TOUTES M = à : (9)
En effet, la l'° annuité a devient a (14), la 2 a (1+t)?, la dernière a (1-1); la somme de ces annuités ainsi grossies n’est autre que la somme des termes d’une progression géométrique dont le 1° terme est a et la raison (1 + f). Cette somme s'exprime par la formule connue
du a US 1) q—1l dans laquelle il suffit de remplacer à par a et q par (1 +t) pour avoir l'équation (9).
Il n’est pas inutile de remarquer que le capital formé s'obtient ex multipliant l’annuité pur l'intérêt composé qu’elle produit pendant n ans et en multipliant le résultat
AO LUS par le denier de capitalisation — correspondant au taux
du placement.
On pourrait construire un tarif donnant le montant de n annuités de 1 franc, mais un tel tarif devient inutile avec les trois qui précèdent et qui sont suffisants pour résoudre toutes les questions de la théorie des intérêts. On voit, en effet, que ce montant est donné par (Tarif 1 — 1) > (4% terme du tarif II)
Exemple. — Un père de famille fait tous les ans 1,000 fr. d'économies et les remet à un banquier qui lui bonifie un intérét de 2 1/2 0/0. Quelle somme aura-t-il au bout de 30 ans ?
Ce père de famille n’a pas confiance dans le banquier et préfère acheter, chaque année, deux hectares de terrain qui lui coûteront 400 fr. l’un et qu’il sèmera en pins au moyen d’une dépense de 100 fr. par hectare, ce qui emploiera son économie annuelle de 1,000 fr. 11 espère qu’au bout de 30 ans chaque hectare de pins lui procurera 1,000 fr. Au bout de 30 ans, il aura constitué un immeuble de 60 hectares qui vaudra
Sol:400'hectares a d00 Ir ACER SR TEE 24000 fr. 60 peuplements de 1 à 60 ans, valant en moyennoMdp Dir Ahoctares CAROL Le OEUES 27000 Valeur de la propriété... 91000 fr.
Il aura un revenu de 2,000 fr. par an, dont il retranchera 200 fr. pour la plantation, soit 1,800 fr. de revenu net, de
sorte que son opération lui aura créé un immeuble formant placement à 3 1/2 0/0.
81000 0 La forêt est donc un aussi bon capitalisateur d’épargnes que le banquier.
Autre exemple. — Un propriétaire possède 30 hectares de terrains ordinaires estimés 500 fr. et qui lui produisent 30 fr.
de fermage annuel par hectare. Il imagine d'en planter un chaque année en pins, ce qui le privera d’un revenu de 30 fr. et lui imposera une dépense de 100 fr. chaque année.
Placée à la caisse d'épargne, cette économie de 100 fr. aurait produit en 30 ans, à 3 0/0 :
Le sacrifice de 30 revenus de 30 fr. lui coùte, au même taux :
Il se sera ainsi imposé un sacrifice de 6,182 fr., mais il aura créé une propriété garnie de 30 peuplements de 1 à 30 ans, valant, à 450 fr. l’un en moyenne, la somme de 13,500 fr.
Au bout des 30 ans, sa situation sera donc celle-ci :
En revenu, il avait un fermage de 30 hectares à 30 fr., valant 900 fr. La forêt lui rapporte chaque année 1 hectare de coupe valant 1,000 fr., sur lequel il prélève 100 fr. pour le semis. C’est le même revenu sans les mauvaises chances d’insolvabilité des fermiers agricoles.
En capital : il possédait 30 hectares agricoles valant 500 fr., soit 15,000 fr. La forêt sera toujours estimée au moins :
SOIR HEC O0 OR Re Si Le ea ere 15000 fr.
SuperieldscJ0Nnoct.->< 400... Late eee 13500 Son patrimoine est devenu........ 28500 fr.
La création d’une forêt n’est donc pas toujours une mauvaise opération, même quand elle est faite sur des terres agricoles ayant en apparence un bon rapport; car, dans cet exemple, on s’est imposé un sacrifice de 6,181 francs pour créer un immeuble qui a une plusvalue de 12,500 francs. |
N° 34. — Le deuxième problème que nous avons examiné dans la formation des capitaux par l’intérêt composé et qui consiste à déterminer l’intérêt produit par le capital pourrait de même se poser.
Dans le premier exemple du numéro précédent on a déboursé, en réalité, trente annuités de 1,000 francs et l'intérêt produit serait :
43920 — 30000 — 13920 fr.
Mais si ces 30,000 francs forment bien le déboursé total, c’est un déboursé successif échelonné d’années en années.
Ce n’est pas le capital initial qui a produit 43,920 francs et il faudrait une réduction à l’actualité pour donner à ces trentes annuités leur valeur réelle. La complication qui en résulterait pour exprimer l’intérêt produit serait tout à fait stérile. Le problème est utile, au contraire, dans la formation des capitaux par la loi des intérêts composés ; il a d’ailleurs conduit aux quatre tarifs (réduits à trois) qui sont l’auxiliaire indispensable de tous les calculs relatifs à la théorie de l'intérêt.
Nous ne nous occuperons donc pas de cette recherche qui tend à dégager du montant futur l’intérêt produit par la valeur réelle du capital initial et qui serait M — P ou l'expression résultant de la soustraction des seconds termes des équations (9) — (10). (Voir n° 35.)
N° 35. — Troisième problème (principal de # annuités). — Quelle est la valeur actuelle de 7 annuités? Par ce problème, on a pour but de chercher à quel prix on achèterait au comptant un certain nombre d’annuités quand on veut faire emploi de ses fonds à un taux £.
On voit que pour ce calcul, chaque annuité doit être ramenée à l’actualité pour son temps d’échéance. Le montant M exprimant toutes ces annuités condensées à l’expiration des % ans ; la valeur actuelle de cet ensemble sera donc le montant ramené à l’actualité pour ans.
D M arr
Si on remplace M par sa valeur en fonction de a on aura
L ee
ou ( + é— 1 (146)
C’est donc l'intérêt d’une annuité pendant n ans multiplié par le denier, le tout ramené à l'actualité pour n ans; c’est, en d’autres termes, le montant de n annuités ramené à l’actualité pour n ans (‘).
Quelques auteurs ont calculé un tarif à différents taux, pour obtenir le principal ou la valeur actuelle de # annuités (*), un pareil tarif est bien inutile puisqu'on obtient le facteur cherché par les tarifs I, IX et III.
(Tarif I — 1) >< (1 terme du tarif III) >< (tarif IT)
Exemples. — 1° Un pont à péage, ayant encore 30 ans de privilège, produit 1,000 fr. par an. Le propriétaire ne consent à racheter qu’à 2 1/2 0/0 : quelle somme faut-il lui payer ?
1000 >< 1,098 >< 40 >< 0,477 ou le montant 43920 >< 0,477 — 20950 fr.
À 5 0/0, il faudrait lui payer 1000 >< 3,322 >< 20 >< 0,231 ou le montant 66440 >< 0,231 — 15347 fr.
20 Une action de jouissance d’une compagnie de chemin de fer doit encore rapporter 15 francs par an pendant 40 ans; combien doit-elle être cotée au taux de 4 0/0?
15 >< 4,801 >< 25 >x< 0,208 — 374 fr. 40
3° Un droit d'affectation au profit d'une usine est de 200 stères à 5 fr. ou de 1,000 fr. par an ; elle doit encore durer 20 ans; on veut en affranchir la forêt par un cantonnement
(*) On arriverait à la démonstration de la formule par la voie plus par-
a lante aux veux qui consiste à remarquer que l'expression ——— onde quer q 1 er T +
+ .. est la somme des termes d’une progression géométrique te Te 1 AE (2) Tarif V des ouvrages publiés par MM. Cotta, de Salomon et Nanquette,
dont le premier est & et la raison
réglé au taux légal de 5 0/0 (Cod. f., art. 58), quelle sera la valeur du canton de forêt à céder à l’usinier ? 1,000 >< 1,653 >< 20 >< 0,311 — 12,463 fr.
Il faudra céder à l’affectataire un canton de forêt valant actuellement en fonds et superficie 12,463 francs, c’est-à-dire d'une valeur telle que s’il la vendait, il en retirerait cette somme.
On voit que le calcul du principal de # annuités donne à la fois l’escompte et le fonds générateur et qu’il n’y à pas à faire la distinction que nous avons remarquée dans l'intérêt composé, puisque l’annuité est toujours à temps limité.
N° 36. — Quatrième problème. — Quant à la recherche du capital générateur de l’intérét produit par des annuités s’accumulant pendant % années, elle serait par les raisons indiquées (n° 34) tout à fait inutile.
Il ne faut pas confondre ce problème de pure spéculation mathématique avec celui qui a pour but de chercher le capital générateur au taux € des annuités pendant un temps limité. Il est résolu par la formule du principal de n annuités (n° 35) — ni avec le problème qui consiste à trouver le capital générateur d’une annuité & constante et perpétuelle. Ce problème a été résolu au tarif IIT quand la période se réduit à un an (ou % — 1).
I : Ve Le facteur n’est autre chose que le denier de capitali-
sation correspondant au taux 4, c’est le premier terme du tarif III. Ainsi le capital générateur de 100 francs à 4 0/0 serait
100 >< 25 — 2500 francs.
Son emploi suppose naturellement que le premier revenu sera touché au bout de la première année et non au
début. Si, par exception, on le touchait au début, la valeur du capital serait 1l+é
a (++ 1) ou à y
Dans l’exemple ci-dessus : 2600 francs.
N° 37. — La théorie des annuités se réduit, en réalité, à deux problèmes: 1° le montant ou valeur future ; 2° le principal ou valeur actuelle.
Mais à la différence de la formation par intérêts composés, la relation n’existe plus entre la valeur future et la valeur actuelle, mais entre chacune de ces valeurs et l’annuité qui est l’élément constitutif de la loi de formation.
Uné autre différence, c’est que le problème de la valeur actuelle fournit à la fois la valeur de lescompte et celle du fonds générateur de # annuités ; que si, par conséquent, on voulait établir des tarifs pour cette loi de formation ils seraient réduits à deux, analogues aux tarifs I et IT de l'intérêt composé. Le tarif III n’aurait pas de similaire.
Nous avons quelques détails à donner sur le problème du montant qu’on a souvent appelé dans les écoles : problème de la Dot, parce qu’il s’agit d’un capital à former par opposition avec le problème du principal, dit problème de la Dette.
1° De la formule du montant
1+é— 1 M — 4 nina (9) on déduit que l’économie annuelle nécessaire pour former une dot ou un capital M en * ans, en la versant tous les ans à un banquier qui fournit un intérêt composé au taux £, est :
DM 11 (+ éÿ— 1 Formule qui se résout par tarif IIT << 4
On prend par exemple 3 pour cent du chiffre fourni par le tarif III, si emploi doit être fait à ce taux.
Application. — 1° Un père de famille veut économiser chaque année une certaine somme, et la placer à 5 0/0, pour établir un enfant qui vient de naître ; il se demande quelle économie lui est nécessaire pour former au bout de 20 ans la somme de 20,000 francs.
20000 >< 0,605 >< 0,05 — 605 fr.
à 3 0/0, l’économie nécessaire aurait été de 20000 >< 1,240 >< 0,03 — 744 fr.
Rien n’est plus simple que ce calcul puisqu'il suffit de prendre 5 ou 3 pour cent du capital générateur d’une rente périodique de 20,000 francs tous les 20 ans.
Le facteur ainsi formé :
5 0/0 de 0,605 — 0,0302 ou 3 0/0 de 1,204 — 0,0361 n’est autre que l’annuité formant un capital de 1 franc en un certain temps: en rapportant ce facteur à cent francs on a 3,02 et 3,61 pour cent. On l’appelle le powr cent du capital à former selon que le taux du placement est de 5 ou de 3 pour cent.
2° La comparaison de ce quise passe dans les forêts où la coupe se reproduit avec périodicité a fait penser qu'on pourrait par ce moyen représenter la pousse annuelle d’un hectare de bois et calculer ce qu’on a appelé Za feuille, c’est-à-dire, cette quantité constante qui s'ajoute à ellemême ense grossissant de ses intérêts pour constituer la coupe.
Voici, par exemple, un taillis dont la coupe vaut 725 fr. à 39 ans ; quelle est la valeur de la feuille ? On a d’abord pris un taux arbitraire d’accroissement, 5 0/0 (*) ce qui a donné 125 >< 0,2214 >< 0,05 — 8,02
(*) Tarif ou compte fait de la valeur progressive d’un hectare de taillis, par M, Chabanne, inspecteur des forêts, br. in-4°, Paris, 1831.
THÉORIE DE L'INTÉRÉET 1
Les valeurs successives ont reçu alors les prix suivants :
JP DRE RE PR RS EN 8 02 A A TRS CI ete une se lea ele à oi 16 44 UE ne lan a eo ans me 25 28 AMIE Anne RU, AE APE ANT, 34 56 Pam NES ire ans 44 30 SORA LA Ne ON à dim b4 53 ANR HORS PR Un 65 27 AN NP ATIS Ts 20 de MU MAS ESS 925 »
Les feuilles annuelles avaient les valeurs ci-après : MAN CPR HONNEUR à 8 02 ANS ce rs TRE lEt 8 42 AR AR RP LE an ra SO) ee 8 84 AVC. ES SR PTE D EE 9 28 PAS ae ne sein Se de 9 74 ADP ON ANR AN A Are ARE re "à 10 23 AFHARS SMOURTALR ESA, 10 74 ORALE ENS HAN >
Cette échelle de valeurs est en harmonie avec ce qui se passe dans la nature, mais si la végétation ajoute chaque année au bois des valeurs de plus en plus grandes, sa loi d’accroissement n’est certainement pas celle des annuités. Quant à choisir le taux arbitraire de 5 pour cent pour mesurer cette marche déjà fictive, c’est de la pure fantaisie.
On a cruse rapprocher davantage de la réalité en calculant le taux d’accroissement du bois d’après la valeur du terrain prise comme capital initial, en d’autres termes, d’après le taux réel du placement des fonds engagés dans lexploitation forestière.
D'après les ventes de terres faites dans la localité, le terrain vaut par exemple 400 fr. l’hectare, la valeur produite en 39 ans est de 1,125 (sol 400 — taillis 725) c’est un accroissement à 3 0/0 à intérêts composés ; ce calcul préliminaire effectué (n° 30, formule 7) on a déterminé la première feuille à 12 fr.
925 >< 0,551 — 400 fr. >< 0,03 = 12 fr.
Cette manière d’opérer est assurément plus légitime que celle qui se sert d’un taux arbitrairement choisi, mais elle repose toujours sur une inexactitude, c’est que la loi de la végétation n’est pas celle des annuités. Toutefois, il faut reconnaître que cette méthode, appliquée dans ces conditions, c’est-à-dire avec le taux même de formation du capital, est moins mauvaise pour représenter la feuille; on ne peut lui reprocher que de se fonder sur une hypothèse inexacte : celle qui consiste à dire que la valeur des peuplements croît suivant la loi des annuités ou suivant la loi des intérêts composés.
Il est digne de remarquer, en effet, que ces deux lois sont identiques du moment où on a pris pour mesure le taux qui à servi à passer, à intérêts composés, de la valeur du fonds (sol et matériel) à la valeur de la coupe.
Reportons-nous à l'exemple précédent: un terrain vendu 400 fr. produisant une coupe de 725 fr. à 35 ans, ce qui correspond à 3 0/0 de placement et à 3 0/0 de formation pendant
la période de 35 ans (n° 30). Les valeurs progressives de la propriété boisée du taillis et de la feuille seront :
Propriété. Taillis. Feuille.
AOÉATIMET A 412 » 12 » 125% AID ANSE ER aie 424 36 24 36 12 36 À. Sans 1 8070 437 08 37 08 12 72 À 4 ans, etc.... 450 20 50 20 13 12
C’est identiquement ce que donnerait le calcul par l’annuité, car dans ce calcul effectué pour un taux ainsi déterminé, l’annuité sera de 12 fr. et le fonds sera
12 >< 33,33 — 400 fr.
Cette observation est faite pour montrer :
a) Que les méthodes d’estimation fondées sur la loi des intérêts composés et sur celle des annuités sont identiques ;
b) Que si on emploie le taux du placement de la forêt, les valeurs initiale et finale sont seules exactes ;
c) Que même dans ce cas, les valeurs intermédiaires
sont inexactes, car la végétation suit une toute autre loi de formation ;
d) Que les valeurs intermédiaires ainsi calculées représentent exactement le prix que les choses ont pour leur propriétaire ;
e) Que toutes les valeurs sont inexactes quand on se sert du {aux moyen des immeubles ruraux ou même forestiers dans la localité ;
f) Que, enfin, ce calcul par annuités entraîne des complications qu’on doit chercher à éviter pour se garantir contre les erreurs, car les meilleurs esprits n’en ont pas toujours été affranchis (°).
3° La formule qui nous occupe et qui donne l’économie, Pannuité constitutive d’un capital futur à été considérée comme la éransformation en revenu annuel d'un revenu périodique. En d’autres termes, cette annuité à servir pendant % années serait le revenu annuel équivalent à un revenu intermittent et perpétuel qui se reproduit tous les ans. Or, ce n’est que la rente du fonds générateur, déduction faite des intérêts du capital engagé (n° 150).
On en a déduit () un moyen de comparer le revenu agricole qui est annuel au revenu forestier qui est périodique (voir Zstimations forestières, p. 92, n° 58).
Dans notre taillis acheté 400 fr. après la coupe et produi-
sant 925 fr. en 35 ans, l’annuité constitutive de 725 fr. à 3 0/0 a été appelée rente du sol ou rente foncière ; elle est : 0,03 125 >< (081 — 12 fr.
Si l’hectare de même valeur vénale, aux environs, rapporte 20 fr. cultivé ou 10 fr. en pâture, on dit que la propriété forestière est inférieure à la propriété agricole et supérieure à l'immeuble pastoral.
(*) Une circulaire de l'Administration des forêts du 25 mai 1831, n° 275, a transmis aux agents les comptes faits à 5 0/0 par M. Chabanne, pour l’estimation en fonds et superficie des forêts.
2) Gustave Hevyer, Anleitung zur Waldwerthrechnung, Leipzig, 1876. À, PZIS
Ce raisonnement n’est exact qu’à la double condition de calculer la feuille sur le taux de placement de la forêt et de considérer uniquement certaines forêts à exploitation périodique. Il est inexact quand on l’étend aux forêts aménagées et il demande, en outre, un soin tout particulier dans son application (n° 150).
Alors il faut bien reconnaitre qu’il est parfaitement inutile de recourir à cette complication : le taux du placement de l’exploitation agricole et celui de Pexploitation forestière suffisent à toutes les comparaisons.
Si, par exemple, partant de ce que les immeubles se vendent en moyenne à 4 0/0, on calculait l’annuité équivalente à 725 fr. sur cette base
0,04 125 < ba
725 >< 0,3394 >< 0,04 = 9 fr. 85 (tarif II > té) et si, en comparant aux champs qui se louent 20 fr. et aux pâturages qui produisent 10 fr., on concluait à une infériorité de la forêt, à la fois sur les champs et sur les pâturages, on commettrait une erreur : celle-ci provient de ce qu’en agissant ainsi on a assigné au fonds une valeur de 246 fr. (1,04)*— 1 725 >< 0,3394 — 246 fr. (tarif III)
tout à fait arbitraire et beaucoup trop faible puisqu'il a été acheté 400 fr.
Il faut donc toujours partir du prix du terrain tel qu’il a été acheté, ou de sa valeur vénale résultant des transactions locales, et en déduire le taux de placement.
Partir d’un taux arbitraire, même le mieux raisonné, c’est donner à la terre une valeur fictive qui échappe à toute argumentation. Mais alors, si, partant de la valeur vénale du terrain et lui comparant la valeur de la coupe, on en déduit le taux de formation du capital, qui est aussi le taux du placement (n° 30), il est bien. inutile de faire intervenir ici une formule d’annuités, grosse de complications et donnant prise à l’erreur: la forêt donnée rapporte
3 0/0 ; le terrain se vendrait 400 fr. ; son produit annuel est donc de 12 fr., c’est-à-dire inférieur ou supérieur aux loyers des cultures voisines qui sont de 20 ou de 10 fr. C’est aussi simple que cela, et la formule des intérêts composés suffit à toutes les exigences.
4° La formule de la feuille A TERRE 11 ( + é— 1 op a été généralisée, c’est-à-dire qu’on en a déduit une expression æ donnant la valeur d’un peuplement en croissance, ayant l’âge »” en fonction du produit M qu’on obtiendrait à âge d'exploitation x au taux du placement de la forêt.
] {| (ER æ = M ELA ste LE ee ( + é— 1 Cette formule s’explique d’elle-même, car le peuplement âgé de » ans n’est pas autre chose que l'intérêt
De M dans # ans [(1 +{)"— 1] du fonds générateur Tor C’est la généralisation de la formule (11).
On l’a appelée formule de la superficie, expression du peuplement en croissance. Cela repose toujours sur l’hypothèse que la valeur des peuplements s’accroît suivant la loi des intérêts composés au taux du placement de la forêt, ce qui n’est pas vrai d’une manière absolue (erga omnes) et n’est exact que pour l'acheteur de la forêt (erga dominuwm). Cela suppose aussi que le peuplement est exploité en entier à chaque coupe, comme dans les taillis ordinaires: lorsque, au contraire, la superficie n’est exploitée qu’en partie, comme dans les taillis sous futaie, la formule ne donne que la valeur de la partie de la superficie qui doit entrer dans le revenu (récolte pendante) et Jaisse en dehors la partie réservée pour former le matériel d'exploitation (souches et balivage).
On a été ainsi conduit à estimer la valeur des forêts, en fonds et superficie, par les deux formules suivantes :
D Le Léon, agen Le AREA (1 + #"—1
À l’égard desquelles il convient de remarquer :
a) Que S ne représente pas toute la superficie, mais seulement la partie de la superficie qui constitue la récolte en croissance ;
b) Que F ne représente pas le sol nu, mais ce sol garni de son matériel reproducteur (souches, semis, arbres de réserve) ;
c) Que la valeur ainsi fournie est relative à celui qui veut faire emploi de son argent à un taux déterminé.
5° On voit avec quelle circonspection ces formules d’intérêts doivent être employées. Aussi, on a souvent commis, pour évaluer les peuplements en croissance, une autre erreur que nous devons signaler: elle consiste à ramener à l’actualité, par la formule du tarif IL, la valeur du peuplement à la coupe.
Si le taillis vaut 725 fr. à 35 ans, le peuplement devra être escompté à 3 0/0; il sera :
à 34 ans, 725! escompté pour 1 an, soit 703 »
33 — — 2 ans, 684 »
era —— — 3 ans, 663 »
ds) — — 10 ans, 559% 15 — — 20 ans, 402 »
5 — — 30 ans, 399 »
1 —— — 39 ans, 2011 0P
Ce raisonnement est tout à fait erroné ; vainement dirait-on que le taillis de 1 an est un véritable billet de 725 francs à échéance de 35 ans, qu’il vaut réellement 257 francs pour celui qui veut employer son argent à
3 0/0 (n° 24) et que si ce taux de 3 0/0 est celui du placement de la forêt, on a, par ce moyen, la valeur des peuplements en croissance.
Tout cela repose sur une confusion : il ne faut pas confondre la manière dont le capital complet s’accroît avec la facon dont le peuplement seul s’augmente. Le capital passe de 400 francs à 1,125 en 35 ans ; en réunissant ces deux sommes pour la relation des intérêts composés, on a d’abord le taux de formation qui est aussi le taux de placement, et on a, ensuite, les valeurs capitales successives de l’imnmeuble à ses différents âges, de 412 à 1,125 francs. :
Il en résulte qu’en retranchant le capital (ce qui donne les valeurs 12 ; 24.36; 37.08 ; 50.20... à 725) on obtient une expression assez exacte de la valeur des peuplements. Ceux-ci sont, en effet, le produit d’un sol valant 400 fr. Mais escompter 725 francs pour 1, 2,3..... 39 ans, C’est supposer que laccroissement des peuplements se fait comme un capital de 257 francs placé à intérêts composés à 3 0/0, pour devenir 725 francs, tandis que ces peuplements proviennent d’un capital de 400 francs devenu 1,125 francs au bout de 35 ans. C’est admettre que l'accroissement du produit se fait suivant la même loi et au même taux que l'augmentation du capital et que la végétation progresse de la même manière que l’immeuble, ce qui est une conception de pure fantaisie (n° 30). Tout ce que l’on peut dire, c’est que les valeurs actuelles de 257... à 725 francs, représentent la récolte pendante au prix que celle-ci a pour un acheteur non propriétaire. Celui-ci a ses fonds engagés dans une exploitation qui lui rapporte 3 0/0 : le priver de la première coupe, par une expropriation, par exemple, c’est lui enlever un billet à échéance de 35 ans et qui vaut 257 francs pour l’acheteur de cette récolte.
On voit qu’il y a loin de cette valeur toute relative et
personnelle à la valeur vénale et courante des peuplements en croissance.
N° 38. — La formule du montant de # annuités fournit encore la solution de la question suivante :
Pendant combien d’années faut-il payer une annuité 4 pour former un capital futur M à un taux £.
pe log. (Mé + a) — log. a
log. (1 +6) Exemple. — Une commune a le projet de construire un jour une maison d'école de 50,000 fr. et ne veut pas faire d’emprunt ; la coupe de la forêt a été jusqu'alors délivrée aux habitants; le conseil municipal décide une taxe affouagère fde 4,000 fr. et ordonne que cette taxe sera chaque année versée au Trésor publie qui sert un intérêt de 3 0/0. Le conseil demande en combien d'années la somme de 50,000 fr. sera acquise et pendant combien d'années, par conséquent, la taxe
affouagère devra exister.
Mt 50000 >< 0,03 — 1500 RS PE As — 4000
log. 5500 — 3,7403627 log. 4000 — 3,6020600 0,1383027 log. (1,03) — 0,0128372
N° 39. — Enfin, cette même formule du montant permet d'arriver au taux suivant lequel l’argent a fonctionné quand on connaît l’annuité servie, la somme produite et le temps pendant lequel on à payé l’annuité.
De la formule fondamentale ; ( + é)— 1
on ne peut pas tirer (1 + é) ni directement, ni par logarithmes parce que £ est dans les deux membres, mais on déduit
Ne
AR d l M (1+#7—1 (3)
Cette formule donne £ par tâtonnement de la façon la plus facile avec le tarif III, si le taux ne dépasse pas 5 pour cent ; autrement il faudrait faire des essais directs.
Exemple. — Un père de famille a versé 1,000 fr. par an, pendant 20 ans, à une compagnie d'assurances, dans le but de constituer une dot à sa fille : à la majorité de celle-ci, la compagnie lui remet 30,000 fr. ; le père veut savoir à quel taux la compagnie l’a traité.
Il effectue d’abord le calcul très simple
30000 — 0,0333 prenant ensuite sur la ligne 20 les facteurs du tarif II 1,2405 1,0103° 0,8395 0,708 il les multiplie par les taux correspondants 3 0/0 3 1/2 0/0 40/0 4 1/2 0/0 ce qui donne 0,0361 0,0353 0,0335 0,0318
Il voit ainsi que le taux qu’on lui a servi tombe entre 4 et 4 1/2, beaucoup plus près de 4 que de 4 1/2. Il n’a pas lieu d’être très satisfait de la gestion de la compagnie qui ne l’a pas fait grandement profiter des chances de mortalité qui ont dù se produire chez les co-assurés de sa fille.
N° 40. — Le problème fondamental de la dette ou du principal de # annuités fournit à son tour trois problèmes dérivés qui répondent aux questions d'amortissement comme ceux qui dérivent du problème du montant ont donné les solutions relatives aux économies nécessaires pour constituer un capital.
De la formule
CLR etes
P 10 t(1+t) os on déduit, en effet, il L n 22 AUS RL (14) ( + 4— 1
formule qui répond à la question suivante : Quelle somme annuelle faut-il payer au créancier pour se libérer en n ans d’une dette P contractée au taux { ?
82 NOTIONS PRÉLIMINAIRES Elle se résout par les tarifs I et III.
(tarif 1) >< (tarif IL) >< (t)
Exemple. — Une commune, propriétaire de bois, a promis une subvention de 150,000 fr. à une compagnie de chemin de fer. Pour la payer, elle demande une coupe extraordinaire de pareille somme dont l'effet sera désastreux pour la forêt. L’agent forestier lui conseille d'emprunter 150,000 fr. au Crédit foncier à 4 1/2 0/0, amortissable en 30 ans. On lui demande quelle annuité il faudra payer pendant 30 ans pour être libéré.
3,1453 >< 0,3643 >< 0,045 — 0,0614 0,0614 >< 150000 — 9210 fr.
Au moyen de cette somme de 9,210 fr. que la forêt peut fournir pendant 30 ans, la commune sera libérée de sa dette et la forêt sera conservée, car les arbres sur pied continueront à s’accroitre en attendant chaque coupe extraordinaire.
On voit que le facteur calculé par les tarifs I et III est, en réalité, le pour cent d'amortissement de 1 franc en 30 ans. On dit alors que l’amortissement se fait à 6,14 0/0 pour un emprunt à 4 1/2 en 30 ans ().
L’annuité pour amortir 100 francs en 30 ans est toute différente de l’annuité pour former 100 francs; la première est plus considérable que la seconde et le public dit avec raison qu’il est plus facile d’économiser que de payer sa dette. La raison vient de ce que celle-ci n’est pas une simple somme à payer, mais cette somme grossie de ses intérêts, c’est le total, capital et intérêts, qu’il faut solder. Dans l’économie, au contraire, il ne faut que constituer la somme.
Ainsi, pour former 150,000 francs en 30 ans, à 4 1/2 0/0, il faudra économiser 2,460 francs ou......... 1,64 0/0
Pour se libérer de 150,000 francs en 30 ans, au même taux, il faudra payer tous les ans J210 TAC ON at CR ER ERRe 6,14 0/0
(*) Le Crédit foncier demande souvent une commission de 0,30, ce qui porterait le taux d'amortissement à 6,44; ce taux est toutefois un peu moindre, parce que le Crédit foncier compose les intérêts par semestre et non par année.
Il suffit de considérer la formule de l’économie (à M CRIER ET RL bn (+ t)— 1
et celle de l'amortissement
— \n a — Re en x (1 +6)
On voit que la première est en fonction du montant et Pautre du principal, qui ne sont jamais identiques, car la valeur actuelle d’une dette est toujours beaucoup plus faible que la dette elle-même. Si, comme nous l’avons fait dans l’exemple ci-dessus, on suppose la dette à amortir et le capital à former égaux entre eux, l’annuité d’amortissement sera naturellement plus forte que l’économie de création. Il faudra multiplier celle-ci par (1 + t)", en effet :
1,64 (1,045)°° ou 1,64 >< 3,745 — 6,14 Le créancier qui recevra 9,210 fr. pendant 30 ans et qui les placera à intérêts composés à 4 1/2 0/0, réaliserait en 30 ans la somme énorme de 561,750 fr.
M — 2,745 >< 22,22 >< 9210 — 561750 fr.
Effectivement la valeur de cette grosse somme, ramenée à l’actualité, serait 150,000 fr.
P = 2,745 >< 22,22 >< 0,266 >< 9210 — 150000 fr.
Il y a entre cette valeur actuelle de 30 annuités de 9,210 francs et le montant futur de 30 annuités de la même somme, la même différence qu’entre l’économie pour créer ou pour amortir des sommes égales.
Le principal doit être multiplié par (1 + {)" pour reproduire le montant :
M=P(I+ôr"
Pour s’en convaincre il suffit de transporter dans la formule du montant (9) la valeur de & en fonction du principal (13).
Ainsi, quelle que soit la manière dont un capital a été formé, par annuités ou par intérêts composés, la relation entre le capital futur et sa valeur actuelle est la même,
Cela démontre une fois de plus (n°37) que ceux qui ont cru trouver dans la loi des annuités une méthode d’estimation des forêts supérieure à celle des intérêts composés, n’ont fait que compliquer la question et les calculs pour arriver au même résultat.
Cela explique aussi que lorsque nous avons apprécié ces méthodes d'estimation (‘), nous n’avons pas parlé du procédé des annuités et n’avons examiné que la méthode des intérêts composés.
Une dernière observation : on est toujours conduit dans la théorie des annuités à distinguer l’économie pour créer la valeur future, de l’annuilé pour se libérer. Lorsque l'économie et l’annuité sont exprimées, l’une en fonction de la valeur future M, comme dans (9), l’autre en fonction de la valeur actuelle P, comme dans (13), les deux formules donnent bien le même résultat et la lettre & indique bien des sommes identiques.
U ae UE A+é—1 (+ér—1
Mais si on considère une somme quelconque C, soit à créer ou à amortir, l’économie et l’amortissement sont différents et il faut les distinguer par une notation spéciale.
e=C G + (Economie, feuille des forêts) ERA a= CG A+ (Amortissement)
C’est pour n’avoir pas fait cette distinction qu’on a souvent erré dans une théorie qui est, en réalité, assez simple.
N° 41.— La formule de la dette (10) fournit le moyen
(1) Estimations concernant la propriété forestière, chap. 1.
de connaître en combien d'années une dette contractée P au taux £, sera amortie par le paiement d’une annuité déterminée 4.
On en déduit, en effet :
. log. a — log. (a — P, 1ÿ log. (1 +6)
Exemple : La commune qui désire construire une maison d'école de 50,000 fr. au moyen d’une taxe affouagère de 4,000 fr. (n° 38), a reconnu qu'en versant cette taxe à la caisse du Trésor public à 3 0/0 elle aura ses 50,000 fr. en 10 ans 3/4. Elle se demande si elle ne-veut pas emprunter cette somme pour jouir tout de suite de l’école. Elle trouve un prêéteur qui lui offre 50,000 fr. à 5 0/0 et qui demande la garantie de la taxe affouagère pendant tout le temps qui sera nécessaire pour amortir la dette; quel est ce temps ?
log. 4000 — 3,60206 50000 >< 0,05 — 2500
log. 1500 — 3,17609 0,42597 los. 1,05 — 0,02119
La commune trouve que cette aliénation de l’affouage pendant 20 ans est bien longue. Si elle rencontrait un préteur à 4 0/0, l’annuité de 4,000 fr. mettrait 17 ans 1/2 à la couvrir. Enfin, un prêt à 3 0/0 serait remboursé par le service de cette annuité pendant 15 ans environ.
— 20 ans 1/10
Le problème est naturellement impossible quand a << Pt, car les nombres négatifs n’ont pas de logarithmes. Il est évident qu’on n’amortirait jamais en payant une annuité plus faible que l'intérêt de la dette et que loin de se libérer, on ne ferait que grossir son obligation.
N° 42. — Enfin le même problème fondamental de la dette permet de connaître à quel taux a été consenti un prêt déterminé P quand on connaît l’annuité 4 à servir et le nombre des années # pendant lesquelles on doit la payer.
Cette question de taux ne peut se résoudre en arithmétique que par tâtonnements.
q L(LCEN)E
P (+1 ce
On essaiera différentes valeurs pour £ et celle qui four- . LA + LL (4 Pd nira un résultat égal à P correspondra au taux cherché.
Les tarifs I et III permettent de faire rapidement ce tâtonnement.
Exemple : La commune citée au numéro précédent songe à la caisse des écoles qui lui demandera 2,000 fr. (4 0/0 de 50,000 fr.) pendant 30 ans et qui lui donne l'assurance que moyennant ce service de 2,000 fr. pendant 30 ans elle sera libérée. La commune se demande à quel taux est fait cet emprunt :
Cherchant ensuite sur la ligne 30 du tarif I pour les taux :
108 AC IOUTR RME U AU 1,947" 1,563 1 IST un les multipliant par ...... 0,01 0,015 0,02 0,025 éCqui donne. 0e .-2. 0,0134 0,0234 0,0362 0,0524 ensuite par tarif III..... 2874 1,449, 12820000 COQUI PrOUUIL. nee ee 0,0385 0,0415 0,0446 0,0447 On voit que le facteur S tombe entre 0,0385 et 0,0415 cor-
respondant au taux de 1 et 1 1/2 0/0, ce qui établit un taux de 1 1/4 0/0.
C’est ce que décide, au surplus, l'article 13 de la loi du 3 juillet 1880 disposant que les prêts seront faits aux communes à 1 1/4 pour cent par an, en vue de la construction des écoles publiques. Devant un sacrifice aussi considérable fait par l’État et avec des avantages pareils, les communes auraient bien tort de compromettre leurs forêts par des coupes extraordinaires.
N° 43. — Résumé des annuités :
Relation entre l’annuité & et le capital Relation entre l’annuité «a et le capital futur M. actuel P.
Montant (dot). . (dette).
(14 1)—1 3 1 CET 1 = ————— — — (9 — = M—a ; (tarifI—1) < ' (9) | P=a ———— LE Lor.r 4)(T. Il) > (10) Economie (feuille). Amortissement.
= M > — x Garif ID)><t ol) np PU 0 tn DPI) >< € (14) EE (1H i)—1
Durée de formation.
log. (Mi + a) — log. a
Durée de l’amortissement.
log. a — log. (a — Pt)
log. (1+t) ce) log. (1+) Taux du placement. Taux de la dette.
CREME (13) De ati M (l1+é}—1 E (1H) 1] Fonds générateur.
LT L t
Formule des estimations relatives.
De dures Récolte pendante — R Tip
Fonds générateur = R -— , (1+i}— n — àge d'exploitation.
m — âge du moment.
R — revenu.
Loi de formation par les annuités périodiques.
Nos 4%. —— Problème du montant d'un certain nombre x d'annuités périodiques.
