PARTIE, CHAP. VII. — CAS SIMPLES DE DISTRIBUTION

La même disposition de trois cvlindres peut servir à mesurer la capacité. On relie B et C : si le potentiel de A est nul, si celui de B et C est V, la quantité d'électricité sur A sera

Es = [gas 20/ ri] V.

Si donc on déplace GC vers la droite. jusqu’à ce que r devienne x + #, la capacité du cylindre GC s'accroit d'une quantité déterminée

où

) los — T4

a et b étant les rayons des surfaces cylindriques en regard.

ne ne ne ne ee me ns

CITAPITRE IX.

128. La théorie mathématique des sphériques harmoniques a fait le sujet de plusieurs Traités spéciaux. Le //andbuch der Kugelfunctionen du DFE. Heine, qui est le travail le plus complet sur la matière, a atteint maintenant (18-8) sa deuxième édition en deux Volumes; le Dr Neumann a publié ses Beiträge sur Theorie der Kugelfunctionen (Leipzig, Teubner, 1878). L'exposé de cette question, dans la Vatural Philosophy de Thomson et Tait, a été bien amélioré dans la seconde édition (1N-9). Enfin le Traité élémentaire des fonctions de Laplace. de Lamé et de Bessel. par M. Todhunter, et le Traité élémentaire des sphériques hirmoniques et des questions conneres. par M.Ferrers, me dispensent de m'étendre, dans un ouvrage d'électricité, sur les développements mathématiques de cette question.

J'ai conservé loutefois la détermination d'un harmonique sphérique en fonction de ses pôles (2).

Des points singuliers où le potentiel devient infini.

129 a. Si une charge À, d'électricité est uniformément répartie sur la surface d'une sphère, dont le centre a pour coordonnées (a, b, «}, le potentiel en un point quelconque (:r, y, 31. extérieur à la sphère, est, d'après le $ 125,

, ... À (1) V-- ”", J° où (9) ri(r-—a)--(y -- bDrL(s— c}.

Comme l'expression de V est indépendante du rayon de la sphère, celle expression reste la même, st nous supposons Île rayon infiniment peut. Cette expression s'interpréterait alors physiquement en disant

(') [Les Chapitres IX et X traitant du calcul des fonctions qui permettent de résondre analytiquement certains cas particuliers de distribution électrique peuvent ètre laissés de côté dans une première lecture de l'Ouvrage. (C.)]

(*) [Voir la Note a la fin du Chapitre. (P.)|

que la charge À, est répandue sur la surface d'une sphère infiniment petite qui se confond sensiblement avec un point mathématique. Or nous avons déjà montré ($ 55, 81) qu'il v a une limite de la densité superficielle de l'électricité : 1 est donc physiquement impossible de placer une charge finie d'électricité sur une sphère avant moins d'un cerlain rayon.

Toutefois, comme l'expression (1) représente une distribution possible du potentiel dans l'espace qui environne une sphère électrisée, nous pourrons, dans des études mathématiques, la considérer comme due à une charge A, concentrée en un point mathématique (a, b, c). que nous appellerons point tnfint d'ordre zéro.

I v a d'autres sortes de points singuliers que nous allons définir ; mais auparavant nous devons définir certaines expressions qui nous seront utiles lorsque nous aurons à considérer des directions dans l'espace, et les points qui leur correspondent sur une sphère.

129 d. On appelle are une direction quelconque déterminée dans l'espace. Nous pouvons la supposer définie au moyen d'une marque faite sur la surface d'une sphère, au point où cette surface est rencontrée par un rayon mené parallèlement à l'axe en partant du centre. Ce point est appelé le pôle de l'are: un axe n'a donc qu'un seul pôle, et non deux.

Si m est le cosinus de l'angle compris entre l'axe k et un vecteur quelconque r, et si

Pur.

p est la composante de r suivant la direction de 4.

On distingue les différents axes par des indices différents, et, #27 et n étant les indices qui désignent deux axes, le cosinus de l'angle de ces axes est désigné par Am:

La différentiation par rapport à un axe k, dont les cosinus directeurs sont L, Nf, N, se représente par

/ La LM Le 5 N d, dh dr dy d:

D'après ces définitions il est évident que dr Pm Un pa 7 fm dpn 5 dpm dl n RER d'a ?

dun mn Bmbn,

Si maintenant nous supposons que le potentiel au point (x, r, 3). dû à un point singulier d'ordre quelconque placé à l’origine, soit

Aftr, 7,3), le potentiel en xy3, dû à un pareil point placé au bout de l'axe b, sera Aff(r—Lh), (y — M), 03 -Nh)], et si un point semblable à tous égards, sauf en ce que le signe A est renversé, est placé à l’origine, le potentiel dû à ce couple de points sera V--Afl(z—Lh), (y —MAh), (3—Nk)]-- Af(xr, y, 3)

d : Ah PT Sir, v, 3) + des termes renfermant #?.

Si maintenant nous faisons décroître L et augmenter À indéfiniment, leur produit continuant de rester fini et égal à A’, la valeur limite du potentiel pour ce couple de points sera

mar d eu (h) V'- - À TITI 5).

Si f(r, y, 3) satisfait à l'équation de Laplace, l'équation étant linéaire, V', différence de deux fonctions dont chacune satisfait à l'équation, devra y satisfaire aussi.

129 c. Or le potentiel dû à un point infini d'ordre zéro

, I (0) Vo == \o=

satisfait à l'équation de Laplace : donc toute fonction, déduite de celle-ci par un nombre quelconque de différentiations successives par rapport à divers axes, devra aussi satisfaire à cette équation.

On peut former un point du premier ordre, en prenant deux points d'ordre zéro, avant des charges égales et contraires — A, et A,, dont la première serait placée à l'origine, et la seconde à l'extrémité de l'axe 2,. Faisant alors indéfiniment décroitre la valeur de k, et croître la valeur de À,, de telle facon que le produit À, A; reste toujours égal à A, le résultat final de l'opération, 4u moment où les deux points coïncident, est un point du premier ordre, dont le moment est A, et l'axe L,; un point du premier ordre est donc un point double : son

potentiel est d

dh Tr. d'Élect. et de Magn., \. 15

s Po ri fi (10) Vi=- h; Vo == A: FC

En plaçant à l'origine un point du premier ordre dont le moment soit — À,,et à l'extrémité de l'axe 2, un autre point du premier ordre dont le moment soit A,; puis, faisant diminuer #, et augmenter A,, de facon que

(11) Aile = 1 A,

nous obtenons un point du second ordre dont le potentiel est . … | d r I 3 ai be — As

(12) LL LR ns

Nous pouvons dire qu'un point du second ordre est un point quadruple, puisque nous l'obtenons en faisant s'approcher l'un de l’autre quatre points d'ordre zéro. Il a deux axes hi, et À, et un moment A, : la direction de ces axes et la grandeur du moment définissent complètement la nature du point.

En différentiant par rapport à n axes successivement, nous obtenons le potentiel dà à un point d'ordre n. C’est le produit de trois facteurs, une constante, une certaine combinaison de cosinus et r-(*+1), Pour des raisons qui deviendront évidentes à mesure que nous avancerons, il est commode de donner à la constante une valeur numérique telle que le cocfficient du moment soit r-(*+1) lorsque tous les axes coïncident avec le vecteur. Nous diviserons donc par », lorque nous différentierons par rapport à /,.

De la sorte, nous obtenons une valeur numérique déterminée, pour un potentiel particulier, à laquelle nous réservons le nom d’Aarmonique solide de degré — (n +1), à savoir

J d d do 2 Von ——@—— (3) n=(—1) 1.2.3...n dh dis dh, r Si cette quantité est multipliée par une constante, elle n'en reste pas moins le potentiel dù à un certain point d'ordre n.

129 d. Le résultat de l'opération (13) est de la forme (15) V= Yi),

où Ÿ, est une fonction des z cosinus lu, la, ..., u, des angles compris entre 7 et les n axes, et des {nn (7 —1) cosinus À;, des angles compris entre chaque couple d’axes.

Si nous considérons les directions de r et des n axes comme déterminés par des points pris sur une surface sphérique, nous pouvons regarder Ÿ, comme une quantité variant d’un point à l’autre de cette surface, et qui serait une fonction des 4 n(7 +1) distances comprises

entre les r pôles des axes et le pôle du vecteur. Nous appellerons donc Ÿ, l'harmonique de surface d'ordre n.

130 a. Il nous faut maintenant faire voir qu’à tout harmonique de surface d'ordre x correspond non seulement un harmonique solide d'ordre — (x +1), mais encore un autre de degré 7, en sorte que

(15) Il, —= Y, pu --- Va r?n+i,

satisfait à l'équation de Laplace.

En effet, OM (on -- 1)r2t—irV, —. pa+i On .

dr or O2, | De - (an --n[(an—i)rt-rt|rtasv, OV, JV, - 2(97 -- 1)r22-1r ———— p?n+i ——— ; or Ur?

d'où

= (an + i)(2n+oa)rie-iV,

dr? 0? 3?

OV OV 2] 0V, | ))- 27—1 nn me nr TE 5 116) +o(an+i)r (+ ra L 3 ) | lt p?n+i AVr Va ii CAT Va —— 0? Va ) , | \ Or? dyi 037,

Or, puisque V, est une fonction homogène de 7, y. 3, de degré nécall égal à (a + 1).

OV, | o\ n L NN,

(17) Fe Us 5 (2 0) 95

par suite, les deux premiers termes du second membre de l'équaion (16) se détruisent, et, puisque V, satisfait à l'équation de Laplace, le troisième terme est nul, de sorte que [l, satisfait aussi à Féquation de Laplace et, par suite, est un harmonique solide de degré .

C'est là un cas particulier du théorème plus général de l'inversion électrique, lequel affirme que, st F(:r, y, :) est une fonction de dr, Y, 3 saüsfaisant à l'équation de Laplace, il existe aussi une autre fonction

satisfaisant aussi à l'équation de Laplace (voir au 8162).

130 ». L'harmonique de surface Ÿ, contient 2n variables arbi-

228 j'e PARTIE, CHAP. IX. — SPHÉRIQUES HARMONIQUES.

traires, car il est défini par la position de ses x pôles sur la sphère, chacun de ces pôles étant lui-mème défini par deux coordonnées.

Donc les harmoniques solides IE, eUV, contiennent aussi 27 variables arbitraires, et chacune de ces quantités multipliées par une constante arbitraire satisfera encore à l'équation de Laplace.

Pour démontrer que AI, est la fonction rationnelle homogène de degré z la plus générale qui satisfasse à l'équation de Laplace, observons que K, la fonction rationnelle et homogène de degré 7 la plus wénérale, contient À (4 + 1)(a + 2) termes. Mais V'K est une fonction homogène de degré (7 — 2) et contient par suite (7 —1)n termes, et la condition V*K — o exige que chacun de ces termes s'annule. T1 x a donc, entre les coefficients des 1 (7 + 1)(2 + 2) termes de la foncetion K (72 —1),n conditions, ce qui laisse 272 + 1 constantes indépendantes dans la forme la plus générale de la fonction homogène de degré # qui satisfait à l'équation de Laplace. Or TT,, multiplié par une constante arbitraire, satisfait à la condition en question et renferme 2x +1 constantes arbitraires. Cette fonction est donc de la forme la plus générale.

431 a. Nous sommes maintenant en mesure de combiner une distribution de potentiel, telle que ni le potentiel lui-même ui ses dérivées premières ne deviennent infinis en aucun point.

La foncuon V,=Y,r-t7+1 satisfait à la condition de s'annuler à l'infini, mais devient infinie à l'origine.

La lonction I, = YŸ,7" est finie et continue à distance finie de l'origine, Mais ne s'annule pas à une distance infinie.

Mais, si nous prenons a"Y,77 ‘+1 pour potentiel de Lou; les points extérieurs à une sphère de rayon @, ayant pour centre l'origine, et a ter) Y,r" pour potentiel de tous Les points intérieurs à la sphère: et si, sur la sphère même, nous supposons l'électricité distribuée avee une densité superficielle 5, telle que

(1N) ITA (ON 2 LIN } l [TE

toutes les conditions serout satisfaites par le potentiel dû à une charge ainsi répartie en forme de couche,

Eu elfes, partout le potentielest fini eteontinu; il s'annulé à Pinfini: ses dérivées premières sont finies el continues, sauf sur la surface chargée, où elles satisfont à l'équation

[1 me = RTE: Où ( " ps’ L:

enfin, l'équation de Laplace est satisfaite en tous les points intérieurs ou extérieurs à la sphère. |

C’est donc là une distribution du potentiel qui satisfait aux conditions, el. d'après le & 100 &, c'est la seule distribution qui leur satisfasse.

131 #. Le potentiel dû à une sphère de rayon a dont da densité superficielle est donnée par l'équation

(20) rat3={(an--1)Y,

est, pour tous les points extérieurs à la sphère, identique à celui qui est dû au point singulier d'ordre x correspondant.

Supposons maintenant un système électrique que nous appelleronsE, extérieur à la sphère, soit W le potentiel dà à ce système, et cherchons la valeur de £(We) pour le point singulier. C'est la partie de l'énergie électrique qui dépend de l'action du système extérieur sur le point singulier.

Si À, est la charge d’un seul point d'ordre zéro, l'énergie potentielle en question est (9%1) Wo— AU.

S'il y à deux pareils points, l'un négatif à l'origine, l'autre positif, de même valeur numérique à l'extrémité de l'axe h,, Pénergie potenuelle sera TEL

el si À, augmente et si h, diminue indéfiniment, de facon que

À! de AU A (A "À OUR

Ah = A, la valeur de l'énergie potentielle, pour un point du premier ordre, sera

Oo (99) W,-- A !

oh De même, pour un point d'ordre #, Pénergie potentielle sera

du [50 \V s —... -—— À, — 2 1).

# 1.2...n dl... dh,y U E3l ec. Ni nous supposons le système extérieur formé de parties dont chacune est désignée par dE. et le point singulier formé de parties dont chacune est désignée par de. alors

. + Ù à 121: x dE):

€‘) Pour ce qui suit, nous trouverons plus commode de désigner par 7: le produit des # nombres enliers positifs 1.2.3... 7.

230 j'" PARTIE, CHAP. IX. — SPHÉRIQUES HARMONIQUES.

Mais, si V, est le potentiel dû au point singulier, ‘> ' - VI. ; (29) Vu - S{;. de).

el l'énergie potentielle due à Faction de E sur e est Le .v .

(20) NW Eed'de):. SE . dE de) : SV, dE,

la dernière expression étant celle de Fénergie potentielle due à Faction de e sur E.

De mème, =1 3 4s est un élément d'électricité de la couche. le potentiel de la couche sur le système extérieur E est V,, et l'on à

(27) W-ZSiV, dE. XX = dEsds).:2%s ds.

le dernier terme renfermant une sommation qui doit s'étendre à toute la surface de la sphère, En l'égalant à la première expression de W, Nous avons s s l dn y° CON) J | Ms ds - Lil des — À, ie —, —:

. 1. ‘ dh; .. dhh SI DOUS Hois SouVvenons que

JRTA on di,

et que À, 4". celle relation devient

pt 17 draw

Ca) | | APR 7 7

En vertu de cette équation, Fopération qui consiste à prendre Fintesrale de surface de WY 45 pour chacun des éléments de la surface de la sphère de ravon a se réduit à différentier W par rapport aux 7 axes de harmonique, et à preudre la valeur de ee coefficient différentiel pour le centre de la sphère, pourvu, toutefois, que W satisfasse à léqualion de Laplace pour tous les points intérieurs à la sphère, et que Ÿ, soit un harmonique de surface d'ordre n.

132. Supposous maintenant que W soit un harmonique solide de degré 2 positif, de la forme

(50) Us ce mr,

sur la surface sphérique, 2 a et: Y,,, en sorte que l'équation (29)

devient, dans ce cas,

OT dr(Y rm) (31) f En nd = nn 2" di... dir’

la valeur du coefficient différentiel étant prise pour le centre de la sphère.

Si r est plus petit que m, le résultat de la différentiation est une fonction homogène de x, y, 5, du degré m — n, dont la valeur au centre de la sphère est zéro. Si x est égal à m#, le résultat de la différentiation est une constante, dont nous déterminerons la valeur au $ 134 à. Si la différentiation est poussée plus loin, le résultat est zéro; donc

l'intégrale de surface ef. f Yu Y, ds s’annule toutes les fois que mr et x

sont différents.

Tous les intermédiaires par lesquels nous sommes arrivés à ce résultat sont purement mathématiques; nous avons bien employé des termes ayant une signification physique, tels que énergie électrique; mais chacun de ces termes visait non pas un phénomène physique à . étudier, mais une expression mathématique déterminée. Un mathématicien a le droit de se servir de ces fonctions aussi bien que de toutes autres qu’il peut trouver utiles; et le physicien, qui doit suivre un calcul mathématique, le comprendra d'autant mieux que tous les intermédiaires de ce calcul seront susceptibles d’une interprétation

physique.

133. Nous allons maintenant déterminer la forme de l’harmonique de surface Ÿ,, en fonction de la position d'un point P de la sphère, par rapport aux x pôles de Pharmonique.

Nous avons

Yi=1, Yo = Bts Ys = $builia — Fe

(32) | Y3 = ail — 2 (Lu ss + ba As: + Ha a).

Chaque terme de Ÿ, est donc formé de produits de cosinus, les uns de la forme u, à un seul indice, se rapportant aux angles compris entre le point P et les pôles et les autres de la forme À, à deux indices, étant les cosinus des angles compris entre les pôles.

Puisque chaque axe est introduit par une des nr différentiations, l'indice de chaque axe doit se présenter une fois, et une seule, parmi les indices des cosinus de chaque terme.

Si donc dans un terme il y a s cosinus à deux indices, il y aura dans ce terme n — 25 cosinus à un seul indice.

232 10 PARTIE, CHAP. IX. — SPHÉRIQUES HARMONIQUES. Écrivons, sous la forme abrégée Y ( 17 2s 2°),

la somme de tous les produits dans lesquels il y a s cosinus à d indice.

Dans chacun de ces produits apparaît chacun des indices, el a d'eux n'est répété.

Si nous voulons exprimer qu'un indice déterminé #4 ne parai dans les p ou que dans les }, nous le mettons en indice au u ou Ainsi l'équation (33) EÇun-tshs) == Lun 2SÀs) L(untiss,) exprime que tout l'ensemble des produits peut ètre partagé en groupes : dans l’un, l'indice » paraît parmi les cosinus qui dé sent le point variable P, et dans l'autre, parmi les cosinus des a

compris entre les pôles.

Supposons maintenant que, pour une valeur particulière de 7.

(31) Ya — An0 2 (127 ) —- An Suit) + 7 Ans E(un-tsÀs) +.

les À étant les coefficients numériques. Nous pouvons écrire série sous la forme abrégée

(35) Ya S[AusECur-2s25)],

où $ indique une sommation dans laquelle sont comprises tout: valeurs de s de zéro à n, ces deux valeurs comprises.

Pour obtenir l'harmonique solide de degré négatif (x —1r)etd'or qui lui correspond, nous multiplions par r7t7+1), et nous avons

(36) V,y z S [ Ans ps-2n-iX (ps Às )].

en posant ru — p, comme dans l'équation (3).

Si nous différentions V,, par rapport à un nouvel axe L,,, nous

— (nr +1)Vh,, et, par suite,

(37) C2 +1) Vus =: S[Ane(an cr —os)rts ins Spy ts las) = ST 4

2n— .2e—-135+1 — Après on 1X(p” 2s-1 A5 1]

Pour obtenir les termes renfermant s cosinus à double indice, n'avons qu'à diminuer $ d'une unité dans le dernier terme, et trouvons

Can) Vus = S'rtn-2s-3[ A, (on —os + 1) (pr °"1}s)

— À ns E(pr-2s+1À5,)]'

Or les deux groupes de produits ne se distinguent l’un de l’autre qu'en ce que les indices » ne se rencontrent que parmi les p dans un #ronpe, el parmi les À dan: l'autre. Leurs coefficients doivent donc être les mèmes; et puisque nous devons arriver au même résultat en meltant » +rau lieu de x dans l'expression de V,, et en multipliant par 2 +1, nous obtenons l'équation suivante :

(39) CN 1) Aus UN --0S TA ns == —- Ans te Si nous faisons $ — 0, nous avons (40) On 1)\yiy ion --1)An:

el, puisque À, =. 1.

Ut) Ayo — TITI

De là nous tirons l'expression générale du coefficient

(on — 95)!

7, — S— —————— — ——— — — UJ2: Ans 1 20 Sn'(n —s\ ’

el, finalement, l'expression trigonométrique de l'harmouique de surface

on. , (on --2s)! (13) Y, [en n <5; 29)" »

Sp'on-- 8) Sur ea.

Cette expression donne la valeur de l’harmonique de surface en un point P de la surface sphérique, en fonction des cosinus des distances de P'aux différents pôles et des distances des pôles entre eux.

I est aisé de voir que si Fun des pôles est transporté au point diamétralement opposé sur la surface sphérique, la valeur de harmonique change de signe; car tout cosinus où paraît l'indice de ce pôle change de signe, et, dans chaque terme de l'harmonique, l'indice du pôle parail une fois, el une seule.

Par suite, si deux ou un nombre pair quelconque de pôles sont transportés chacun au point diamétralement opposé, la valeur de lharmonique ne change pas.

Le professeur Sylvester à d'ailleurs démontré (Phil. Mag. vet. 1870) que, étant donné un harmonique, le problème qui consiste à trouver les 7 lignes coïncidant avec ses axes, à une et une seule solution, quoique lon puisse (ainsi que nous venons de le voir) inverser par groupe de deux Îles directions que lon considère comme posities sur les différents axes.

234 1" PARTIE, CHAP. IX. — SPHÉRIQUES HARMONIQUES. 134. Nous sommes maintenant en mesure de déterminer | de l'intégrale de surface [Pa Y ds, pour deux harmonique:

face de mème ordre, les directions des axes de ces harmoniqu en général différentes.

À cet effet, formons l'harmonique solide Y,,r" et différeï par rapport à chacun des x axes de Ÿ,.

Tous les termes de Y,,r", qui sont de la forme r'u"-ts)5, s'écrire

dJSnt 25,8 FT Pmn Emme

Différentiant ces termes z fois par rapport à chacun des x Y, successivement, nous trouvons qu'en différentiant r*, p port à s d’entre ces axes, nous introduisons s des facteurs que le facteur numérique

25(2$—2)...2 Où 2°s!.

Si l’on continue de différentier, par rapport aux s axes s les p, se transforment en },, sans introduction d'aucun facteu rique ; et si l'on continue de différentier, par rapport aux # — restants, les Pm Se transforment en ).,,,, en sorte que le résult:

1). 55 ° - 2 s'ÀS x lin nt mn n°.

Nous avons donc, par l'équation (31),

f T7 d(Y nr") 11 EL Y nm CU (14) [RAC n ds mont) dh;...dhh

el, par l'équation (43),

4 M - ps TT vs 'rèspn- $ (19) Yurm::S |[(—- 1}$ MES mm “' TP 25 Àn ] .

D'où nous tirons, en effectuant les difflérentiations et en no venant que 77 == 71,

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