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au-2S(n —5s)!
135 «. L'expression (46), qui donne l'intégrale de surface du de deux harmoniques de surface, prend une forme remarquabl suppose que tous les axes de l'un des harmoniques Y,, coïnci uns avec les autres, en sorte que \ ,, devienne ce que nous app
plus tard un harmonique sonal d'ordre m, désigné par le symbole P,,
Dans ce cas, tous les cosinus de la forme },,, peuvent s'écrire Un) u, désignant Îe cosinus de l'angle compris entre l’axe unique de P,, et l’un quelconque des axes de Ÿ,. Les cosinus de la forme },,,, deviendront tous égaux à l'unité, de sorte qu’à la place de Z‘1,, nous devons mettre le nombre des combinaisons de s symboles, pourvus chacun de deux indices différents de z, aucun des indices ne pouvant être répété ; d'où
hum = Le nombre des permutations des 7 — 25 indices qui restent sur ceux des m axes de P,, est (nr — 25s)!; d'où LOS) — (n —as)!ut-3s,
L'équation (36) devient donc, lorsque tous les axes de Ÿ,, coïncident,
Go) ff Val ds = ET s [(—1y CET 25)! 7 SG) |,
ou, d’après l'équation (43),
ira?
on +i
(30) n (nt) Yatm) représentant la valeur de Y, au pôle de P
On peut arriver au mème '‘résultat par la méthode suivante qui est plus rapide.
Prenons un système de coordonnées rectangulaires tel que l'axe des 3 coïncide avec l'axe de P,,; et développons Y,r" en fonction homogène de degré x des x, y, 3.
Au pôle de P,, æ==y—=o, et 3 — 7, de sorte que, si C3" est le terme qui ne contient ni y ni x, Cest la valeur de ŸY, au pôle de P.
Dans ce cas, l'équation (31) devient
ra? I [ Ya Po ds = EE LA (Yann).
Si m est égal à n, le résultat de la différentiation est 2!C pour Cz5#et zéro pour tous les autres termes; donc
f Y nPm ds = ET C 2/ —-1
C étant la valeur de Y, au pèle de P,..
135 4. Ce résultat e«t tres important dan: la théorie des sphériques harmonique-; car il nous montre comment on peut former une série de sphériques harmoniques qui représente une quantité avant une cerlaine valeur arbitrairement fixée. mais finie et continue en tous les points d'une surface sphérique.
En effet, soient F la valeur de la quantité et ds l'élément de surface en un point Q de la surface sphérique: si nous multiplions F ds par P,. l'harmonique zoual. dont le pôle est le point P de la mème surface, el -i nous prenons l'intégrale de ce produit pur toute la surface, le réullat, ne dépendant que de la position du point P, pourra ètre considéré comme une fonction de la position de ce point.
Mais, en P, la valeur de l'harmonique zonal dont le pôle est Q est éuale à la valeur en Q de l'harmouique zonal du mème ordre avant son pôle en P. Nous pouvons donc admettre que, pour chaque élément ds de la surface, on ait formé un harmonique zonal avant son pôle en Q, et ayant un coefficient F ds.
Nous aurons ainsi un système d'harmoniques zonaux superposés les uns aux autres. et avant leurs pôles en chacun des points de la sphère où F a une valeur. Et. puisque chacun d'eux est un multiple dun harmonique de surface d'ordre », leur somme sera un imnultiple d'un harmonique de surface, qui n'est pas forcément zonal, d'ordre #.
L'intégrale de surface J J FP, ds. considérée comme fonction du « e.
point P, est done un multiple d'un harmonique de surface Ÿ,: par suite,
est précisément l'harmonique de surface d'ordre x qui fait partie de la Série d'harmoniquesquiexprime F.siF peut être exprimé de cette façon. Car. si F peut ètre exprimé sous la forme
EF A V-. AY; et Vide
en le multipliant par P'ds et en prenant l'intégrale de surface pour toule la sphère, tous les termes qui renferment des produits d'harmoniques d'ordres différents S'annulent, et il reste > ,» | TE | | PP, «ds 7 LL — T dun.
7, JU Donc la seule forme sous laquelle le développement de en harmouiques sphériques Soil possible est
çous ee frs. ...— 127 +51) J fra à |
Harmoniques conjugués.
136. Nous avons vu que l'intégrale de surface du produit de deux harmoniques sphériques d'ordres différents est toujours nulle. Mais, lors même que les deux harmoniques sont de même ordre, l'intégrale de surface de leur produit peut être nulle. On dit alors que les deux harmoniques sont conjugués. La condition pour que deux harmoniques de mème ordre soient conjugués s'exprime au moyen de l'équa- Lion (46), en égalant ses deux membres à zéro.
Si l'un des harmoniques est zonal, la condition pour que l’autre harmonique lui soit conjugué est qu'il ait une valeur nulle au pôle de l'harmonique zonal.
Si nous commencons par nous donner un harmonique d'ordre #, il faudra, pour qu'un deuxième harmonique lui soit conjugué, que <es > n variables sati-fassent à une condilion.
Si un troisième harmonique doit être conjugué des deux premiers, les 2x variables doivent satisfaire à deux conditions. Si nous continuons de former des harmoniques dont chacun soit conjugué de tous ceux qui le précèdent, le nombre des conditions à satisfaire par chaeun d'eux sera égal au nombre des harmoniques déjà existants; de sorte que le (22 + Die harmonique devra satisfaire à 27 conditions au moyen de 22 variables, et par suite 1l sera complètement détermine.
Tout multiple AY, d'un harmonique de surface d'ordre x peut s'exprimer sous forme d'une somme de multiples d'une série quelconque de (2% +1) harmoniques conjugués du mème ordre. En eflet, les coefficients des (22 -+H1) harmoniques conjugués forment une série de quantités dont on peut disposer, et dont le nombre est égal à celui des 272 variables de Ÿ, et du coefficient A.
Pour trouver le coefficient d'un quelconque de ces harmoniques conjugués, Ÿ7 par exemple, supposons que
AY, \0Y7 sos” A5)2—....
Multiplions par Y%4s et prenons Fintégrale de surface pour toute l'étendue de la sphère. Tous les termes qui renferment les produits d'harmoniques conjugués s'annulent, laissant
(D2i À [". Yids— \; [ IRUHE ds,
équation qui détermine No.
Done, si nous supposons donnée une série de 27 +1 harmoniques
conjugués, tout autre harmonique d'ordre rx pourra s'exprimer en fonction de ceux-là, et cela d'une seule manière. Donc aucun autre harmonique ne pourra être conjugué de tous ceux-là à la fois.
137. Nous avons vu que. si l'on donne un système complet de 27 +1 harmoniques d'ordre x, tous conjugués les uns des autres, tout autre harmonique de mème ordre peut être exprimé en fonction de ceux-ci. Dans un pareil système de (272 +1) harmoniques, :àl x a 2n(an—+1) variables liées entre elles par #2(2n +1) équations : on peut donc considérer comme arbitraires #7(2n +1) d'entre les variables.
Nous pourrions, ainsi que l'ont proposé Thomson et Tait. choisir un svstème d’harmoniques conjugués dans lequel les » pôles seraient distribués de facon que / d'entre eux se confondent avec le pôle de l'axe des r, # avec le pôle de l'axe des y. et /(=— n — j — &) avec le pôle de l'axe des 5. Étant données les (x -- 11 distributions pour lesquelles / — 0 et les 7 distributions pour lesquelles 7 —1, tous les autres harmoniques peuvent ètre exprimés en fonction de ceux-ci.
Le système qui a été adopté jusqu'à présent par tous les mathématiciens, v compris Thomson et Tait. consiste à réunir (a — 3) pôles en un point que l'on appelle pôle positif de la sphère, et les 3 pôles restants à intervalles égaux le long de l'équateur si leur nombre est impair, et sur la moitié de l'équateur si leur nombre est pair.
Dans ce cas, 11,, 14. ...,1u,., sont tous égaux à cos6; nous les représenterons par 1. Side plus nous représentons sin0 parv. 1,921. Un gros ces in SON de la forme cos(& — 5), 3 étant l'azimut d'un des pôles équatoriaux.
De mème, la valeur de 2, est égale à l'unité si p et q sont tous deux plus petits que # — 5, égale à zéro si l'un des deux indices pou g estplus grand que #7 — 5, et l'autre plus petit; enfin égale à
eos
= 1 tous deux sont plus grands, 7 étant un nombre entier plus
petit que 3.
138. Si tous les pôles coïncident avec le pôle de la sphère, 5 —o, et Fharmonique est appelé harmonique sonal. Comme Fharmonique zonal a une grande importance, nous réserverons pour lui la notaüion l”,.
Nous pouvons tirer sa valeur, soit de l'expression trigonométrique (43), soit plus directement par différentiation de la manière
suivante :
+1 (52) Ph=(t—iye LT dn (2):
n! ds \r
. A(n—1)(n—2)(n—3) ,., 38) 24 G@r=nar=3 À +... |
pa?
— — D —__————___—— 1 n | 1), 2np'in—p'in—2p})!
pr | .
où il faut donner à p toutes les valeurs entières comprises entre zéro et le plus grand entier qui ne dépasse pas 1n.
Quelquefois il est commode d’exprimer P, sous la forme de fonclion homogène de cos 0 et de sinô, ou, suivant notre notation, de pet de v,
pe ge PORN nage A0 NC — 2)Cn — 3)
sl y 2 pn-tp ap |.
dr—tvs —...
On démontre dans les ouvrages mathématiques qui traitent de ce sujet que P,(u) est le coefficient de k” dans le développement de
(1—oph.r 3) *.
L'intégrale de surface du carré de l’harmonique zonal, ou
(55) f feras = ra f [P,tu)ft du = 42; «- + e. l
d'où + Î (56) f [Pacuf da = ——.
