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V,= —— à l'extérieur gd" ct - PORN \V,— —"— à l'intérieur a"!
est le potentiel dù à une distribution d'électricité à la surface de la sphère, dont
270 170 PARTIE, CHAP. IX. — SPHÉRIQUES HARMONIQUES. la densité en un point (0’=') est donnée par hrû — (— de … x) , | O, /«
si dv et dv, sont les normales extérieures et intérieures, en attribuant aux dérivées les valeurs qu'elles ont au point a, 6’, v’;or on a
a, OV, , av Vi Vi + Be on on Mage
sur la sphère r = a, et, si l’on désigne par Y, la valeur de Ÿ, au point 6'£', on aura
hr ô—=(2n+i)Yn, et réciproquement une distribution à la surface de la sphère, dans laquelle la den- - . (2n Y . , . . 1, Y,a" sité serait Gr+')le, produira à l'extérieur le potentiel —-— Ta rer Y, gp" a": l Toute fonction YŸ, satisfaisant à (2), entière en p, v, cos? et sin® est donc une fonction U,.
» à l’intérieur le po-
tentiel
3. Considérons maintenant une distribution arbitraire f(8',2') à la surface de la sphère du rayon &, elle produit un potentiel qui pourra ètre développé à l’extérieur suivant la séric
. Y,a, Y, a" " + TT +... + rex
Ye. Yi, Y,r" ... a" °
Connaissant les potentiels intérieurs ct extérieurs, un raisonnement calqué sur le précédent donne
(3) re f(b'e)= Yo +IYi+... (an Hi) Yan He
Donc une fonction quelconque (uniforme cet finie) des coordonnées géographiques sur la sphère pourra toujours ètre développée en une somme d’harmoniques.
Ce développement de f n’est possible que d’une seule manière; car, si l’on avait
Era f=Yo+iYi+... 5 (2n+I)Yn+...,
Y’,Y1,... étant d'autres fonctions harmoniques, il faudrait que le potentiel dù à / fùt, en un point quelconque,
qui ne peut ètre identique à V que si Y,= Yi, Y,=Y4,....
4. Ayant ainsi montré l'intérêt qui s'attache à l'étude des fonctions Ÿ, il faut examiner comment elles sont constituées. Soit toujours / la densité en un point 8", &" de la surface de la sphère, le potentiel dù à la charge / 4S d’un élément
de cette surface, au point r, 8, 2. est
Suds | P où p= + a— rar[cos8 cos0"+ sin6 sin6’cos(+'— z)]. On a donc a 2 | “1 pari fit SE qan + cos(?'—#)]; ;
# . e a" en développant cette série, Laplace montre que le coefficient de anni CS de la
forme N,:: A9 + AZ Cos(g'— &)+...-1 An cosn(2' — %
ct que le cuefficient A7 de cose(g’— $) est lui-mème de la forme CR 0,(H)07 (Cu).
C'est le produit d’une constante numérique par une fonction de u, et la mème fonction de u’. On le démontrera plus bas quand on aura montré l’usage de ces fonctions. °
Le potentiel de l'élément est donc
n= G=n f ads = -- D ui D Ce n)05(u')coss(z — 3) |, n==! g=0
et le potentiel dù à la distribution / sur toute la sphère sera, au point (r,u,9),
=: ffrass Ye à Scsos (u)
= ne ff rases (u') coss2" +sinse f [re8 (x ) sin se’ as |
Y Y 1 Y,ar" c'est cette cxpression qu'on a représentée par — -- —— -r ...-:- ru r r° rit La fonction Y, est donc nécessairement, en représentant par M, M,, N, N, des
constantes,
M,85(u)- M,6%(u)cose =- M, 8% (u)cos25 +...-:- M,6% (nu) cosn® — N8T(u)-ins +... - N,89(u) sinne.
L'expression générale comprend 27 +1 constantes arbitraires, et l'on à en mème temps la valeur de /, en vertu de F'équalion (3),
HT a’ f = ffrsS en+0Ÿ CG [A f asreuta'icusss
x 86 o(u)cusss,
(4) n= O=n + (an+1 ŸCs | 95 fÿ (a )sins'] n=1 Jai
x 65(u)sinss.
Ainsi / a été développé en une série, dant le terme général est MOS cossz -+ NO sinsz);
le cocfficient de chaque terme s'obtient en intégrant dans toute l'étendue de Ja sphère de rayon a le produit de faSC56%(u’) par coss> ou sins», proposition analogue à celle qui conduit à la célèbre séric de Fourier.
Les fonctions Q, sont par définition des harmoniques sphériques d'ordre 7 et satisfont à l'équation (2); il en est de mème des fonctions 6% coss» ct 87 sinsz, individuellement ; il suffit, pour s’en assurer, de remplacer Q par son développement dans l’équation (2) et d'exprimer qu'elle est vérifiée, quelle que soit la valeur de 2.
On cest donc arrivé à trouver (27 +1) harmoniques, d'ordre 7, indépendantes, telles que toute harmonique de mème ordre en est une combinaison linéaire, et l’on a réalisé Ie développement d'une fonction arbitraire, en séries d’harmoniques d'ordre n croissant.
Maxwell nomme 5 le type des harmoniques 67 coss9, 69 sin o%. On remarquera que a? disparait en réalité dans le développement ci-dessus; car l'élément dS : a’ du df. On peut donc diviser les deux membres par a?, à condition de remplacer l'intégration sur la surface de la sphère par
f ds ( du.
c'0 ce —!
>. Le développement de / met en évidence unc propriété des fonctions 6. Puisque f est arbitraire, on peut prendre / = Y,,; et, puisque lc développement de f en harmoniques n’est possible que d'une seule manière, tous les termes du sccond membre, qui ne sont pas des harmoniques d'ordre #, doivent s’annuler; on
a donc a+l 27 / du ds: Y,85 coss3z (ou sin 33) .-0, ce —1{ <° 0
dès que » ct x sont différents, ou comme un Ÿ,, quelconque cst une fonction linéaire des 6”,
+1 27 (5) f du f diY,Y,, -0,
relation que Laplace déduit de l'équation différentielle (2); on voit, en effet, que, si l’on écrit successivement que Ÿ,,, Ÿ, satisfont à cette équation, il vicudra
n° Li)
[an(ni)—m(m.-rs)]\,,\,
d à ( 0, Le . 0 ( NN, Nu)
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