V= AG + EE( A D'7G
Mais, à l’intérieur de la sphère, le potentiel est constant, c'est-à-dire
que
À rt (7 (7) W — + LE E ago | — const.
a ati ni
Effectuons sur cette expression l'opération D", où les différentiations doivent être faites par rapport à æ, y, 3, et où les valeurs de n, et s, sont indépendantes de celles de 7x et s. Tous les termes de (7) disparaissent, sauf celui qui fait partie de Y®", et nous trouvons
Cni— Tri — mt 1 ww
— oo en OU
TN! atiti (8) | = AD" G SE ( A7 T5 DD" 7 G } Nous obtenons ainsi une série d'équations : le premier membre de chacune d'elles renferme un des coefficients que nous voulons déterminer. Le premier terme du second membre renferme À, la charge de la sphère, et nous pouvons le considérer comme le terme principal. Négligeant provisoirement les autres termes, nous avons, comme première approximation,
(9) Ag . Aoañiti Dy1G.
Et, si l’on désigne par b la plus courte distance du centre de la
sphère au plus voisin des conducteurs environnants, n,+1
amtiD9r"G £( 5)
Si donc b est grand relativement au rayon a de la sphère, les coefficients des autres harmoniques sphériques sont très petits relativement à À,. Donc, les termes qui suivent le premier dans le second membre
e . , dans niti de l'équation (8) seront du même ordre de grandeur que (5)
On peut donc les négliger dans une première approximation; puis, à la seconde approximation, introduire dans ces termes les valeurs des coefficients obtenues à la première approximation, el ainsi de suite jusqu’à ce que l’on ait atteint le degré d'approximation voulu.
Distribution de l'électricité sur un conducteur à peu près sphérique. 145 a. Soit (1) r- a(i-:F)
l'équation de la surface du conducteur, F étant fonction de la direction de r, c'est-à-dire de 0 et de +; et nous supposerons dans cette étude que son carré puisse être négligé.
Développons F en une série d’harmoniques de surface (2) F = fo+ fiYi+ faYo+ fa Yn:
De ces termes, le premier dépend de l'excès du rayon moyen sur a. Si done nous admettons que a soit le rayon moven, c’est-à-dire que a soit à peu près le rayon d'une sphère dont le volume est égal à celui du conducteur donné, le coefficient f, disparaît.
Le second terme, en /,, dépend de la distance de l’origine au centre de masse du conducteur que l'on suppose de densité umforme. Si donc nous prenons ce centre pour origine, ce deuxième terme disparaît également.
Nous supposerons d’abord que le conducteur a une charge À,, sans qu'aucune force électrique extérieure agisse sur lui. Le potentiel à Pextérieur du conducteur doit donc être de la forme
(3 V= A0 AY ee An Ye on ne suppose pas, d’ailleurs, que dans ce développement les harmoniques de surface appartiennent au même type que dans le développement de F.
À la surface du conducteur, le potentiel est celui du conducteur, c'est-à-dire la quantité constante *.
Donc, si l’on développe les puissances de 7 en fonction de a et de F, et si l’on néglige le carré et les puissances supérieures de F, on à
| = A0 (G—F)+ A Yi —aF a a?
(4) | An vs Yuli--(a- DFE].
Puisque les coefficients A,, ... sont évidemment très petits en comparaison de À,, on peut an début négliger les produits de ces coefficients par F.
Si maintenant dans le premier terme on remplace F par son développement en harmoniques sphériques, et si l'on égale à zéro les termes qui renferment des harmoniques de même ordre, on trouve
= I (51 4 — Ao =:
(6) AY; = AoafiY,=0,
(3) AnYn= AottfnYn-
IHARMONIQUES CONJUGUÉS. 257
De ces équations il résulte que les Y’ doivent être du mème type que les Ÿ, et par suite leur être identiques; et que
A=O et An Aoa" fr.
Pour déterminer la densité en un point de la surface, nous avons l'équation , DV OV (8) AT — 5, COSE, où » est la normale, et = l’angle de la normale avec le rayon. Puisque, dans cette étude, on suppose très petits F et ses dérivées premières
par rapport à 6 et à ©, on peut prendre cos: — 1, de sorte que
. Lt r 1 (Q) ATT — — - -- 12= \e = + (n+i1)A,;Y, nr
EE
Développant les puissances de r en fonction de a et de F, et négligeant les produits de À, par F, on trouve
(10) “ 7 — Pr (1 — 2F)-- .. (nr -t- 1)Ax anrs Ye Développant F en harmoniques sphériques et donnant à A, sa va-
leur précédemment trouvée, on obtient
(11) {75 = A Li faYa fast + (n-- D fnYal
Donc, si la surface donnée diffère de la surface d’une sphère par une couche mince dont l'épaisseur varie comme les valeurs d’un harmonique sphérique d'ordre n, le rapport de la différence des densités superficielles en deux points à leur somme sera égal à (#7 —1) fois le rapport de la différence à la somme des rayons en ces deux points.
145 b. Soit un conducteur à peu près sphérique et soumis à l’action de forces extérieures, dont le potentiel est U : développons ce potentiel en une série d'harmoniques sphériques de degré positif, ayant leur origine au centre du volume du conducteur :
(12) U—=B,--Bir\—B;r°Y,+...+ Brr'Y,
an?
l'accent de l'Y signifiant que ces harmoniques ne sont pas nécessairement de mème type que ceux qui figurent dans le développement de F.
Si le conducteur était exactement sphérique, le potentiel dù à sa Tr. d'Élect. et de Magn., 1. 17
298 1 PARTIE, CHAP. IX. — SPHÉRIQUES HARMONIQUES. charge superficielle sur un point extérieur serait
I ai .., (13) V=ios—Bis Vi. --Bi Représentons par V + VW le potentiel dù à la charge superficielle actuelle, où
Yu...
| 1 (14) W — Co Yi. + On —— pm+i les harmoniques affectés d’un double accent étant différents de ceux qui se rencontrent soit dans F, soit dans U, et les coefficients C étant petits, puisque F est lui-même petit.
La condition à remplir est que, pour r —a(1+#F), U+V+W = const. = A9 =: + Bo,
potentiel du conducteur.
Développons les puissances de r en fonction deaet F, en conservant la première puissance de F lorsqu'elle est multipliée par A ou B, et la négligeant quand elle est multipliée par la petite quantité C; nous trouvons
F |- A0 = + 3 BiaïY,+ 5BeasY, +. . .+(2n + 1)B,atr+1 v | (15) «
, I +Gs+G Yi +... + On Yn = 0.
rt
Pour déterminer les coefficients C, il faut effectuer la multiplication indiquée dans le premier terme, et exprimer le résultat par une série d’harmoniques sphériques. Cette série, avec ses signes changés, représentera W à la surface du conducteur.
Le produit de deux harmoniques sphériques d'ordres x et m est une
. . , T CT « fonction rationnelle de degré m + n de =) 2 et; il peut donc être
ètre développé en une série d'harmoniques sphériques d'ordre ne dépassant pas » + n. Si donc F peut être développé en une série d’harmoniques sphériques dont l’ordre ne dépasse pas »2, et si le potentiel dà aux forces extérieures peut être développé en harmoniques sphériques dont l’ordre ne dépasse pas 2, le potentiel dà à la charge superficielle ne comprendra pas d’harmoniques sphériques d'ordre supérieur am+n.
Cette densité superficielle peut être déduite du potentiel par l'équa-
HARMONIQUES CONJUGUÉS. 259 tion
145 c. Conducteur à peu près sphérique renfermé dans un vase à peu près sphérique et à peu près concentrique.
Soit (17) r=a(i+F)
l'équation de la surface du conducteur, où
(18) F= fiYi+ faYat + JRIYU, Soit (19) | r=db(i1+G)
l'équation de la surface intérieure du vase où (20) G= giYi+ geYot... + gi YU,
les f et les g étant petits en comparaison de l'unité, et Y#1) étant l'harmonique de surface d'ordre 7 et de type o.
Soient 2 le potentiel du potentiel du conducteur, 8 celui du vase; et développons en série d’harmoniques sphériques le potentiel d’un point quelconque compris entre le conducteur et le vase
= ho+/Yir + hoYer+.. + AY pa (21) L
rn+1 ?
| , I + ho + ii es + AY
il faut déterminer les constantes de la forme k et de la forme £, de telle sorte que, pour
r=a(i-F}), VW soit égal à 2x, el que, pour
r = b(i+ G), Ÿ soit égal à 5.
Il est clair, d’après notre étude précédente, que tous les L et tous les £, sauf A, et K,, sont de très petites quantités, dont les produits par F peuvent ètre négliges. Nous pouvons donc poser
(22) 2 = ho+ he Q—F)+ + (RP an + KP ! )ve,
H anri
(23) 3 = ho+ bo Z (1 — G)+...+ (a br + 49) pe ) VE:
nous avons donc
(24) 2 = ho+ ko =) (25) 8= ho op»
(26 ko PP = RP an + RP (2) ko gg = MD OM + AT us
d’où nous irons, pour la charge du conducteur intérieur, (28) ko=(2—$) 7 —
et, pour les coefficients des harmoniques d'ordre »,
. On pa — a" fn (29) ha = ho pri quai?
(30: ko poanpn "Tin at &n ) nn T0 bdin+1 qrn+t ?
où il faut bien se rappeler que f,, g,, h, et À, sont les coefficients des termes de même type et de même ordre.
La densité superficielle sur le conducteur intérieur est donnée par l'équation
4rsa = kil... AY), où falna?t+i- (ne 1)bir4iT — g,oon + nattibt b2+1 = au+l T°
146. Comme exemple de l'emploi des harmoniques zonaux, recherchons les conditions de l'équilibre électrique sur deux conducteurs sphériques. |
Soient a et b les rayons des sphères; c la distance des centres. Pour abréger, nous poserons a — cx, b — cy, en sorte que x et y sont des quantités numériques plus petites que l’unité.
Prenons, pour axe des harmoniques zonaux, la ligne qui joint les centres des sphères ; pour pôle de ces harmoniques sur chaque sphère, le point de cette sphère le plus proche de l’autre sphère.
Soit r la distance d’un point quelconque au centre de la première
sphère et soit s la distance du même point au centre de la seconde sphère.
Supposons que la densité superficielle o, de la première sphère soit donnée par l'équation
(1) Ar = A = AP, RAA Ps... = (om+i)Amlmns
en sorte que À est la charge totale de la sphère, et que A;, As, ... sont les coefficients des harmoniques zonaux P;, P;,,....
Le potentiel, dà à une telle distribution de la charge, peut être représenté :
Pour les points intérieurs à la sphère, par
., ! r r? pm 2 LS = -- ( A — A P — —— A P > —— .…. — A P n (2) a\ ti 27292 LT
et, pour les points extérieurs, par
n - Y ( , ) «a a? | ) a!" () CL = > À HA Pi AP ++ nl m Fm .
De mème, si la densité superficielle de la seconde sphère est donnée par l'équation
(5) 1770 BB Pi+...+(an+i1)BaP,
le potentiel à l’intérieur et à l’extérieur de la sphère peut être représenté par des équations de la forme
S 2 ç"t (5) Ve r(u+ Bi Pig Bi Pa eee + BaPa a)” , . l'; b b2 ba\ (6) \ = (B+ BP BP ++ BaPa si)?
les harmoniques généraux étant ici relatifs à la seconde sphère.
Les charges respectives des sphères sont A et B.
Le potentiel en tout point intérieur à la première sphère est constant, et égal à x, potentiel de cette sphère, de sorte que pour tout point intérieur à la première sphère (7) U'+ V = 2.
De même, si $ est le potentiel de la seconde sphère, pour des points intérieurs à cette sphère,
Pour les points extérieurs aux deux sphères, le potentiel est Y et l'on a
Sur l’axe, entre les centres des sphères, (10) r+Ss=cC;
d’où, en différentiant par rapport à r et faisant 7 — o après la diflérentiation, et nous souvenant que chacun des harmoniques zonaux devient égal à l'unité à son pôle, nous trouvons |
1 OV A 3 ds ?
A 2° LV 0 (11) 1m Ts ns ses...) m! omV m ami CT Gone ©
où l’on doit faire s — c après la différentiation. Si nous effectuons les différentiations, et si nous posons
y, Le, C À ces équations deviennent o=A+Bzt+2B;rty+3B;rtyt+...<(n—+1)B,rtp", 0—As+Bzi+3Biriy+6Biriy?+...+l(n-+i)(n+2)B;:ryr,
' +i(m+i)(m+a)Bsrmtipit +" B,zrm+riyr,
Les mêmes opérations effectuées pour la seconde sphère donnent 0O=B;+Ay'+2A127?+3Asrtyt+...+(m+i)Anryt, 0= Bs+Ay3+3Airy+GAsrtys + à, + (me iIXm+2)Anrmys,
CEE RE EE EEE REEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEREES ,
0=B;+AyriL(n+i)Airyt+t
+ in +i1)(n +2)Aazt yet. + ): Amæmynti,
Pour déterminer les potentiels de deux sphères, nous avons les équa-
tions (-) et (8) que, maintenant, nous pouvons écrire
(14) cx=A— + B + Bi << Br2t + ...+B,7",
(15) c5=B . +A+HAIT—+ Asri+...+AmTM.
Si donc nous bornons notre attention aux coefficients de A, à À,, et de B, à B,, nous avons m + rR équations pour déterminer ces quantités en fonction des charges A et B des deux sphères; en introduisant ensuite dans (14) et (15) les valeurs de ces coefficients, nous pouvons exprimer les potentiels des sphères en fonction de leurs charges.
Ces opérations peuvent être exprimées sous forme de détermi- “nants; mais, pour le calcul, il est plus commode de procéder comme il suit :
Substituant, dans les équations (12), les valeurs de B,, ...,B, tirées des équations (13), nous trouvons
Ay=— Bat A rtysfo.r 2 3.1ÿt +. 19% 5196-26. 198] | + A,23ÿ3[2.9 —3.37? +4. 47° +5.576] ce A3r533[%.i-—3.107?] )
Aa —Bu.- A 23y3{3.1 2 G.13*+ 10.17% +15.176] . | ct Airty3{3.0 +-6.332+ 10.47] (7) | - A225373[3.3 +6.6y?] 2 A3r63 33.41,
A,=—Bai- À 75735 15y?]
En substituant dans les seconds membres de ces équations les valeurs approchées de A,,... et répétant cette opération pour obtenir de plus grandes approximations, nous pouvons pousser l’approximation du coefficient jusqu'où nous voudrons dans les puissances ascendantes et les produits de x et y.
Si nous posons
An — Pan À — n PB, B, -—-r,\ —s,1B:
nous trouvons Pi= Yi 2— 3ÿy—+— jy 5y6— Gys—+szyt0 — Ryl2—gyit+]..
+ xS Y6T 8+ 3o7+ 75715475 28078 — ...] -- ZT ÿ6[ 18-+ 907? 288yt--735y6— ...] 2% y6[ 32—2007?---807t-- ...| (20) —21196[ 50--355y+ ...] --Li8y6T 32 ...] + rt y°[ 32-1927] — r\0y9[144-— ...]
TS DAT + gp? 16ÿt+ 2576+ 3678—+ 19719—-64y12+...] 2 NT 6— 187?— {opt 75y76+126y78—+196719+...] — 2% v3 8— 3oy?-+- 80y7--155y6-1-33678— ...] —211y3[ 102 45y%+.1407+35076—+—...] 21333] 12— G3y?—224yt--...] +rl533[ 144 84y1--.,.] (21) rl 33 16-—-...] +x8 ÿ6[ 16-— 7271 2097+48875——...] -.-210ÿ6[ Go— 342y?--122274--...] --dly6[15010507?-+...] --r1576[308-...] | —xH39[ 64+...] | Pour les opérations ultérieures, il sera plus commode d'écrire ces coefficients en fonction de a, b et c, et d'ordonner les termes suivant les puissances de c. On rend ainsi plus facile la différentiation par rapport à c. Nous trouvons ainsi : p= 2 bc -. Jatbic-t-- farbies— (5atb— 8asb$)c-11
— (Ga?bti+ 3oasb-8 18aï05)c-13
-(7a?b18 95a5bi0 gout DS -- 32a° L6)c: 15 (22) 4 ... (8a?b15-.154a$b13 288 a DI9-:- 32 a8 db —- 200€ 08 — 5oat1b6)c-11
— (gatb17+ 280a$b1t+ 535a7 bi? 19248 bi1--780a? b1° — 144at009 --3-5attb8 — -aat3b6)c-19,
HARMONIQUES CONJUGLÉS. 265
qi= atc"?-- jasb3c-8— (Gaïb3-- gasbi)c-10
+( 8a° b3=- 18a7 b5—+ 16aSb1)c-11 -:- (Gioat1b3+ 3oa% Di 1648 b5+ 4oa7 DT-- 25aÿb3)c-1* -.-(12a 1303 45al1b5. Goat0b6+ 8oa% bT— 72a8b8
+- 75a1 b9—— 3Gaïbll)c-1s - (14a1503-—. G3a1305-—. 180a12b6- 140a11b1— 342a1005 - 17549 09-- 2n9a8b19— 1a6atbi1+ 4gasbl3)c-18 — (16a!b3-- 84a15b5— 308 a1$b5-+ 224 a13b7— 10504a12b5 -, ji attb9--1222 410010 336 a b11-- 488 as bi? … 196a7b13- Gasbi5)c-20,
pa= 3añb3c-6 - Gañbic-8-. 1oab0c-10L (12a6b8+15asb9)c-11 (2548 D6-: 54ai D8+ orañbli)c-tt (24) ° — (48a1006— 16248 b8-158a$b10 + 2Ba3b13)c—16 -i (55al106- YGoai0b8+ 48a309 - GoG as b19
——352a6bl3i+ 36a3b15)c-18,
qg2= ic Gasbie 2-+-(ga8b3+ 18a605)c-11 — (124a10b3-- 3648 b5=+ foa$ bi )c-ts — (15at2b3-. Goal005- 24 a% b5—-10048 Dia bs)c-15 (25) + (118a1+03-- gnal?b5— goat1b6--200a10b7 126€ d5 92548 b9--126a$bt1)c-17 (2141603 — 196 at 05 —225a1306- 35oa!2b7- 59; attbs
: 5a5al0b9 jiBat bio + fin at bii-196añbi3)c-19,
‘pa jatbic-T--roatb5c-9-2oa bte H--(16atb6+35atbs)c"1s (26 ) : (364 06-- 8fab8- 5Gasbii)c-ts
l - 164a11 06-259 «4908 — 289 at DI0--8{atbt3)c-17,
qa= act —-Raïbie 10 (12493 Soa*bS)c-t1?
— (1641103 Goas b5-- Boat b'jc-ts (2): —- (204 1303- 1ooa11D5-—. Grat0b6 5004 bT--155aT b3)c-16 --.(24@1503— 15041805 — 1204a12D6— jooat107-- 192410 D8 -- 5254 b9—336atbii)c-18, pp; = oaibice-8--15añbsc 101 35asbtc 11-.(20a8b6+-oaib®)c-1+ — (421006 1208 b8 = 126 aSbi1)c-16, | qg,;= a$c-3-=-1o0a8bic-11—(15a10b3— j5a8b5)c-13
(29) : - -f20at?b3-- goat0b5—ijoa8 bi)c-ts ( -—125alb3-.15o0a?b5-. 4oa!1b5-350a0b1+350a8b®)c-11,
Ps =6afb3c-9 = arafb5c-11+56afbic-13 (30) —+ (24 a9 b5+ 126a5b9)c-15,
gs = aSc-$i+iaabic-11L(i8attb3+6G3atbs)c-1:
(0 | — (24al3b3 + 126a1105 +924 a b1)c--16,
(32) p;=Taîbic-10r1o8aïibsc-1?-+84aîbte-it, (33) gs=atct+r4albic-13+(2rat2b3+84at0b5)c-15, (34) p:=8atbc 11+36asb5c-13, (35) g:=aîcs+16atib3c-tt, (36) ps=ga°bsc"t?, (37) gs= ac".
Les valeurs de 7° et de s peuvent se déduire en échangeant a et D dans les p et les q.
Si, maintenant, nous calculons le potentiel des deux sphères en fonction de ces coefficients sous la forme
(38) = LA mb,
(39) s=mAa np,
l, m, n sont les coefficients de potentiel (voir $ 87) et l’on a (40) m=cl+pac + piatc-s.t....
(41) n =b'l—qiac ?—qratc3--....
ou bien, en développant en fonction de a, bet c,
m=ct+oabic-T-3asb3(at+b1)c-s
| + a b3(£at.r Ga? b?= £b')c-t1 | —@b3(5ai -— ion b'— Sa b3-:- 1oab+506)c-13 — a3b3(6as + 15a$ b?-- 3oa5 D3.= ooab* -- Joai b5 15a?b5+6b8)c-15 +a3bt(alte o1a8s bt— 95a1 L3= 35aîñb:
+ 146 bi 35at bi J5a3b1 (42) + ra? DB nbDi0)c-17 Laibi(8alt- 28al0h?+ 15$a L3= 56asb:
+ 446a* b5-- 1o2af D5-- {iGaïbi
+ S6a* b5— 154a? b5— 28a?b10+8bt?)c—19 --dibi(gatt+ 36Gat?b3+ 28oa!1b3+ 8jat0bt
+ 318af$ bi+irrios as + 84a*b10
+ 28o0abt1— 3Ga?bii+ gbit)c-2,1,
HARMONIQUES CONJUGUÉS. 267 n=dbti-mce—acs—ac8s—(at+4b3)asc-i —(as -- 12a?b3= gb5)añc-1?
(at — 254 b3+ 3Gatbi — 160T)añc-t:
— (a — 44añ Li+ g6a' b5— 16a3b6 -t- RoatDT-+25 09) a6 c-16
(al 58a8 bi 21oa6 bi-:- 8{asbé (43 + 26oat D = saas bi 15o0a7b1+36bt1)añc-18 19) \ --(al" 104at007 :- 406a8 bi :- 252 a bi
+ 68046 b'— 468aë DS. 555 at 0 + 2094a1b10-- 252a?b11+49 D13) «6 c-20 —(ai5+ 147at20— r2oa1005— 693 a°bi +158 8 L'Li1836a7 bd. +181 a6b" +16{oa$bl9+1ri3atbiie 488a3bti — Jo2atb13+64b15)afc-2?,
La valeur de / peut se déduire de celle de z en échangeant entre
eux a et b.
L'énergie potentielle du système est, d’après le $ 87,
(45) W={/A?-mAB:-{inbD?,
et la répulsion qui s'exerce entre les deux sphères est, d'après le S 93 7,
(45) — —- = + A? - -+ AB Ce TT à La densité superficielle, en un point quelconque de chacune de:
deux sphères, est donnée par les équations (1) et (4) en fonction des coefficients À, et B,.
