Il y a donc licu d'étudier le développement de

’ ‘ + -1 sr is — + cose , Ln * r qui donne I O,« a" Go - ie =! = +0, nr?

FR 1" pur

où Q, cest un polynôme entier en cose: substituant ensuite à Cose sa valeur uu'+ vw cos(z" —%),1l est aisé de voir que le terme en coss(z"— +) dans ce polynôme ne peut provenir que des termes de Q, qui renferment cose à la puissance 3 ou à une puissance plus élevée, et comme vv’ accompagne toujours cos (z’—6& ), le coefticient -— A7 contient en facteur le produit (vw'}°; on peut donc poser

AT = (y R, R étant un polynôme entier en u de degré (7 — 3); on posera donc AT = yT(u "Te Dur! ....),

et l'on exprimera que cette expression satisfait à lPéquation différentielle (2); on en déduit, pour le polynôme entre parenthèses,

| nm. — 5 —— 67 7 " rs C 3 AUX ? I } Jos 2

LR SIN SL UNS —I)(n 5 $) 2.4.(2H —1)(21 — 5) ‘ ‘

D'ailleurs À, est symétrique en n et u’; il est donc nécessairement "TaT( 8 (1!

en désignant par C7 une constante numérique.

Pour déterminer cette constante, il faut faire 4 =p=0,v=v=t; A? doit se réduire alors au coefficient de cos3(z: — z£") dans le terme de a"r"-1 du dévelop-

1 «a° 2 « , 2 , pement de 5 '2rtli+ rs COS(z — 2) ; or la parcnthèse est le pro-

Tr. d'Elect. et de Magn., 1. 18

duit des deux factcurs

L 0. — 4e a AN ? 1 ad 2 4 2 L ‘A AU I — —@ (2-3)6 — 1— = —- C LS nt 2 LES ee (3-7 os r 2r 1.2.3... no !

a \ 2 1a . 1 5 à 2/ —1,n \J 1— Let) ie 2 Serie, ue 22, de (—et-ri).s...; r / 2r 2 3 2 j Fr

en multipliant ces deux séries entre elles et par 7", on trouve, pour le cocffcient de ar-tm+#1), 1.9.9...2 7 —1 I 1.3.9... 7 -— 3

— ne CON (ES) + = ——°’ 50 ——— cos (n — 2) (5 — 3) +. 2n,1.2.3... 1 (& 5) +] 2n-1,1.2.3...1 A — 1) ( )(s =) ,

ct pour le coefficient de coss(>"— ©), quand n — © est pair,

.3.5...(n+0—:1) 1.3.5... ul 2.4.0...(2+c) 2.4.0...(n—5)

ct zéro quand il est impair; on a donc

13.5...(n+g—s) 1.35...(n—S3—1) ras , Ktm re) 2.4.6. (us) — Calon(o)l] et, comme £ n— 3!

.4...(n—g)(2n —1)(27 —3) .. (ne —:i) 5...(n—0—1).1.3.5...(R--0—1)- 1.3.5...(27n2 —:) |

aussi, quand (7 — ©) est pair, il vient

CT: 1.3.5...(R—1)l n(n—1)...(n— 3-1) F7 n! (n1)(n-- 2) tn 3)

(1.3.5...an- 1}

cependant, si s — o, il ne faut prendre que la moitié de ce cocfficient

ce [er ?

L . . 0 Dans le cas où (n — os) est impair, cette méthode donne, pour C, 5; Mais on

lèvera l’indétermination ainsi : on prend, dans le produit 8(u)8(u'), le coefficient de uu', qui, dans ce cas, est

, .[1.3.5...(n—c3)(1.3.5...(n + co)?

CID EE nn E

et, après l'avoir multiplié par C,, on légale au coefficient de pp’ coss (> — +")

dans le développement de p-', coefficient qu’on obtient en remarquant qu'il est le d(o-! | coefficient de a" r-{("+1) coso(z'— >) dans le développement de er pour pu’: 0 & 24 1? , ou dans ar? |:-:- Tr cos(g —z=")| . Ce développement cest obtenu,

. ot a , 2 a ni comme ci-dessus, en multipliant [r— A et "| par |: Re-(r+] ct l’on

retombe sur la mème valeur pour C5 et C£.

On a, en effet,

| i \ 2 3 y 3.9.5 2 cit a ‘ (: © cil?-7") CS CS "g—'3)

a Po non? 3r 3.b.s...oJert fe LAN

I—-eTr #) ie ce — GRO) 57 —— |(— erits 5) ).

Multipliant ces deux séries entre clles ct par ar-°, on trouve pour le cocfficient de a"r-("#1i dans le produit, ou pour cocfficient de a"-!r:{"-1) dans le prouit des séries,

2x7 cos(n —1)(2—%')-2 X

Te .(2R —2) 2.4.0

= COS(n —3)(5 — 5) +..

et pour le cocfficient de cose(z"— =) pour (7 — &) impair

3.5." LS 5.7 — 5 rer en RE à GAL" Co) l'où, pour C7, la valeur Croix 1.3.9 | 43... (n-bs)xr.3... (ne) # 1.3.0 RETENUE (na+T)] 2.4...(2+3—1)xX 2.4... (n—3—:1) , 11.3 3. “zu,

ne 23! n—3!

“comme plus haut.

Il est bon de remarquer que si l'on faitu = 4" 1, v = v"—o,le développement de 9-1 se réduit à SAfa"r-trtti, ou à SCL [89 (1)]?; or, dans ce cas,

l «l a 27! = (Tr —«) = > = ce),

C£ [ei (1)]* — Î;

on à donc

d'où

Le développement de g !=—{[7*-- «— 2ar(uu'-- vv" cos9 — 5")! 3 est donc cn-

tiérement connu, et, par suite, tous les éléments de la formule (4) sont déter- Imincs.

7. Depuis Laplace, d'autres procédés ont été indiqués pour parvenir plus rapidcment aux harmoniques d'ordre »; le produit Y,r-t"-!) est le quotient d'une fonction homogène des coordonnées x, 3’, 3 par r°*f!, et satisfait à l'équation V?=- 0:

. ] oo + . . . . or la fonction r. CL toutes ses dérivées y satisfont aussi; ct il est clair que