a+ 3--vi.n UxSOyFot r TT

2-6 17 PARTIE, CHAP. IX. — SPHÉRIQCES HABMONIQUES. et Lisa le quotient d'une fonctusa Lomsz-ne de d-cr: n zur r°—: rar suite

4°, D DISOvE AE r

est uns fonction harmonique d'ordre n. et il en «st de mme d'un: combinais-n linéaire quelcoaque de ces derivé:<. En particulier

sot ds harmoniques du type zero. des divers ordres: car. si. apres les diffcrec- Uatious, on remplace = par 27, on aura des fonctions de 1 seul. Ou préfere prendre pour valeur de la fonction tvpe

= 43 —1* . #3 — 7 =. —— 17 — - =}, sur l ñn. or pour la raison suivante : si l'on développe 27 = r—v-—.2 —a °.qui re-

présente l'inverse de la distance au point r. y. = du point situc sur l'axe des = à la distance a. au moven de la série de Taylor. on a

. ! ss —5 * «! î D —dl— -— À — 0 À —....

d' HT, AH. ‘KO TT ,

«) ci M4 y: et, en général, y ET — Zi)" — sjl 0

de sorte que l’on peut toujours écrire

dd 1 1 4" 1 1 a a° Cr TT + € Te ur: — — ee — (| L — P, 7 TT pus P, le r oz r nn. Jr Fr LS

quand a est < r..

Les fonctions P,. ainsi obtenues, sont donc identiques à C8, (1,8£{4).ce qu'il cst aisé de vérifier; ce sont Îles harmoniques zonaux. Voici les valeurs des pre- Inicrs

—1.2P,= 3u—r. —+1.2.3.41, — 10 — qou-— 4.

et,.en général, nin—1)

nn—i(n—a2)tn 3), 7

(—i"r.2.3...nP,=1.3.9...(2n [x -

Ces harmoniques zonaux sont de beaucoup les plus utiles dans les applications.

#. Pour représenter par des symboles analogues les autres harmoniques en cos 3% et sin 3%, On remarquera que toute combinaison linéaire, réclle ou imagi-

naire, des différentielles telles que (6) est une harmonique de mème ordre ; par suite, si Z est unc harmonique,

07, ; 07 OZ ; OZ, (12 4 dy vx dy

sont des harmoniques aussi; ou bien, si l’on exprime Z au moyen des coordonnées imaginaires 5 = z +yi, n = x — yi, les dérivées