I - D (13) Q= fude- HT ES TA X1+ const
Or, puisque dans ce cas X, est toujours fini, fx doit être in-
appréciable lorsque £ est très petit; par suite, la valeur initiale de X, étant nulle, l'effet instantané sera
(15) Ai ir A1Q; d'où, d'après l'équation (10), (15) E— {r(kiai+ Kia—+...)Q,
et si C est la capacité électrique du système mesurée par cette méthode instantanée, Q I (16) C=i- AT + Kai ...) Ce résultat est le même que l’on aurait obtenu, si l’on avait négligé la
conductibilité des couches.
Supposons maintenant que la force électromotrice uniforme E con-
e 9212 2° PARTIE, CHAP. X. — CONDUCTION DANS LES DIÉLECTRIQUES. tinue d’agir pendant un temps infiniment long, ou, du moins, jusqu’à ce qu'il se soit établi à travers le système un courant uniforme p. Nous avons alors X, TT TP: ..
et, par suite, d'après (10), (17) E -:(r;@i-+ ra@s + ...)p:
et si R est la résistance totale du système,
E (18) RES SIG EH Pia...
Dans cet état, nous avons par (2)
__ "mi fi= 1T ki P:
de sorte que LE (9) Ha (EE Er.
Si maintenant nous relions subitement les couches extrêmes par un conducteur de faible résistancé, E passe brusquement de la valeur initiale E, à la valeur zéro, et une quantité d'électricité Q traverse le conducteur.
Pour déterminer Q, nous observons que la nouvelle valeur de X, sera, d'après (13),
(20) X°-- \: -4rA1Q;
d'où, en faisant E -— o dans l'équation (ro),
(21) o = di —...+ 4r(aik + ashs+...)Q ou encore (22) o-: Er & Qi d'où | Q Te —— CE,
où C est la capacité donnée par l'équation (16). La décharge instantanée est donc égale à la charge instantanée.
Supposons qu'aussilôt après cette décharge on rompe la communication; nous aurons alors w == o, et, d’après l'équation (8),
: TA: t,
(23) X,-== X'e rs
X' étant la valeur initiale après la décharge.
Donc, au bout d’un temps { quelconque,
Xi: E( —irkC)e nr".
La valeur de E à un moment quelconque est donc
! , [/an Th, | EE, [ (4% -—ira ac) rs (21) |
et la décharge instantanée, après un temps quelconque #, est EC : c'est là ce que l’on appelle la décharse résiduelle.
Si le rapport de r à 4 est le mème pour toutes les couches, la valeur de E se réduit à zéro. Si ce rapport n’est pas le même pour toutes les couches, ordonnons les termes suivant les valeurs décroissantes de ce rapport.
La somme de tous les coefficients est évidemment nulle, de sorte que E --- 0 quand t — 0. L'ordre est aussi celui des grandeurs décroissantes pour les coefficients et pour les termes exponentiels où # est positif; donc, si £ est positif, E est toujours positif, c'est-à-dire que la décharge résiduelle est de même signe que la décharge primaire.
Si test infiniment grand, tous les termes disparaissent, à moins que l’une des couches ne constitue un isolant parfait; alors r, est infini pour cette couche, R est infini pour le système entier, et la valeur finale de E n’est pas zéro, mais
(25) E — Eo(i— fra).
S1 donc certaines couches, mais non toutes, sont des isolants parfaits, le système peut conserver une charge résiduelle permanente.
330. Nous allons maintenant déterminer la décharge totale qui se produit à travers un fil de résistance R,, mis en communication permanente avec les couches extrêmes, dans l'hypothèse que le système a d'abord été chargé par l'application prolongée d'une force électromotrice E.
À chaque instant, nous avons
(26) E = aripi+ Girapa+... + Rou—0o
et aussi, d’après (3), ds.
dt?
Tr. d'Élect. et de Magn., 1. 33
(27) uU —=pPi+
donc
d d (28) CR Ro)u — arr D + avr, D +.
En intégrant, par rapport à f, pour obtenir Q, nous trouvons (29) (RRQ aritfi— fi) riffs — fa) +...
où f, est la valeur initiale, et f”, la valeur finale de /,. Or, dans le cas présent, f' — o et, d’après (2) et (20),
— ri __ ° Az of R c);
d'où ‘ «2 2 (30) (R+R)Q=- 2 (UN, CT .. )+ ECR, AT La Ke LL CE k . ri ns l'a 2 (31) 2 — TR DD uckik (7 ' FR) l
la sommation étant étendue à toutes les quantités de cette forme correspondant aux différents couples de couches qu’on peut former.
On voit que Q est toujours négatif, c’est-à-dire en sens inverse du courant qui a servi à charger le système.
L'étude qui vient d'être faite montre qu’un diélectrique formé de couches de diverses natures peut donner lieu aux phénomènes connus sous le nom d'absorption électrique et de décharge résiduelle, lors mème qu'aucune des substances dont sont formées ces couches ne donnerait lieu à ces phénomènes, lorsqu'elle est prise isolément. L'étude des cas où les substances sont disposées autrement qu'en couches conduirait à des résultats analogues, mais les calculs seraient plus compliqués. Notre conclusion doit donc être qu'il faut s’attendre à des phénomènes d'absorption électrique dans le cas de substance: faites d'éléments de natures diverses, quand mème ces éléments seraient de dimensions microscopiques.
Il ne s’ensuit pas le moins du monde que toute substance qui présente ces phénomènes soit ainsi composée; car ces phénomènes peuvent être l'indice d'une nouvelle espèce de* polarisation électrique, dont seraient susceptibles les substances homogènes, et qui, dans certains cas, pourrait ressembler bien plus à une polarisation électrochimique qu'à une polarisation diélectrique.
L'objet de cette étude est seulement d'indiquer le caractère mathématique véritable de ce qu'on appelle l'absorption électrique, et de montrer quelle différence fondamentale la distingue de phénomènes calorifiques qui paraissent analogues à première vue.
331. Prenons une plaque épaisse d’une substance quelconque, et chauffons-la d'un côté, de manière à produire un flux de chaleur à travers sa masse; puis, refroidissons brusquement le côté chauffé à la température du côté froid, et abandonnons la plaque à elle-même. Le côté chauffé redeviendra plus chaud que l’autre par conduction, à partir de l’intérieur.
Or on peut produire un phénomène électrique exactement analogue, et, de fait, il se produit sur les câbles télégraphiques; mais ses lois mathématiques, exactement semblables à celles de la chaleur, sont entièrement différentes de celles du condensateur stratifié,
Dans le cas de la chaleur, il y a une véritable absorption de chaleur par la substance, dont l'effet est d'échauffer cette substance. IL est impossible de produire en électricité un phénomène véritablement analogue, mais on peut l'imiter de la manière suivante et lui donner la forme d'une expérience de cours.
Soient A;, A;, ... les armatures intérieures d’une série de condensateurs dont B;, B;, ... sont les armatures extérieures.
Relions A, A;, ... en série par des fils de communication, de résistance R, et faisons passer un courant dans cette série, de gauche à droite.
Supposons d’abord les armatures B isolées et non électrisées. La quantité totale d'électricité sur chacune des plaques B doit rester nulle, et, puisque dans tous les cas la charge des plaques À doit être égale et opposée à celle des surfaces opposées, ces plaques ne se chargent pas et l’on n'observe pas de changement dans le courant.
Mais mettons à la terre les plaques B individuellement ou réunies ensemble. Alors, le potentiel de A; étant positif, tandis que celui des plaques B est zéro, A, prendra une charge positive et B, (fig. 26)
Fig. 26.
eu9” Ka y 5 une charge négative.
Si P;, P;, ... sont les potentiels des plaques A4, As, ..., C la capa-
cité de chacune d'elles, et si Q, est la quantité d'électricité qui passe dans le fil de gauche, Q, celle qui passe dans le fil R,, ..., la quantité qui est sur la plaque A, est Q— Q,, et nous avons
Qo— Q1 = C1P1e Qi — Q2= Ca Pa,
De même
et ainsi de suite.
Mais, par la loi de Ohm, nous avons
d Pi Pie R PE
d Pa— Pre Rs D
Si nous supposons que la valeur de C soit la même pour toutes les plaques, et celle de R pour tous les fils, nous aurons une série d’équations de la forme
Qo— 2Q1 + Q: = RC —- 2,
Q—2Q+ Q= RC do
Et, s’il y a n quantités d'électricité à déterminer et que l’on donne la force électromotrice totale ou quelque autre condition quelconque, l'équation différentielle qui détermine chacune d'elles est linéaire d'ordre n.
Dans un appareil disposé de cette manière, M. Varley a réussi à imiter les effets électriques d’un câble de 1200 milles de longueur.
Lorsqu'on fait agir une force électromotrice sur la gauche du fil, l'électricité qui s'écoule d’abord dans le système sert surtout à charger les différents condensateurs en commençant par À,, et une fraction très faible du courant n'apparaît à l'extrémité de droite qu’au bout d’un temps considérable. Si l’on place des galvanomètres dans le circuit en R;, R:,...,1ls ne seront influencés par le courant que l’un après l’autre, et l'intervalle entre les instants où ils donnent des indications égales augmente à mesure que l’on s’avance vers la droite.
332. Dans un câble télégraphique, le fil conducteur est séparé des conducteurs extérieurs par une enveloppe cylindrique de gutta-percha ou de quelque autre matière isolante. Chaque partie du câble devient donc un condensateur dont l’armature extérieure est toujours au potentiel zéro. Donc, dans une partie déterminée d’un câble, la quantité d'électricité qui est libre à la surface du fil conducteur est égale au
produit du potentiel par la capacité de cette partie de cäble considérée comme un condensateur.
Si a, et a, sont les rayons intérieurs et extérieurs de la couche isolante et si K est son pouvoir inducteur spécifique, la capacité de l'unité de longueur du câble est, d’après le $ 126,
K (1) C = mr 2 log 2
Soit » le potentiel en un point quelconque du fil, auquel nous pouvons supposer la même section en tous les points.
Soit Q la quantité totale d'électricité qui a traversé dans cette section depuis que le courant a commencé de passer. La quantité d'électricité qui existe au temps £, entre les sections x et æ + ôx, est
ou
ce qui est égal, ainsi que nous l'avons dit, à cvôx. Donc (2) co—=— =.
. . dv Dans une section quelconque, la force électromotrice est — 55” €b
d’après la loi de Ohm,
dv . 0Q (3) — ke k étant la résistance de l'unité de longueur du conducteur et 2 l'in-
tensité du courant. Éliminant Q entre (2) et (3), nous trouvons
(4) kE=
Telle est l'équation aux différences partielles qu'il faut résoudre pour obtenir à chaque instant le potentiel aux différents points du câble. Elle est identique à l'équation donnée par Fourier pour déterminer la température en un point d’une couche à travers laquelle la chaleur se propage dans une direction normale à la couche. Dans le cas de la chaleur, c représente la capacité de l'unité de volume ou ce que Fourier désigne par CD, et £ représente l'inverse de la conductibilité.
Si l'enveloppe n’est pas un isolant parfait, et qu’on représente par 4,
la résistance que l’unité de longueur de cette enveloppe oppose à la conduction dans la direction du rayon, et par p, la résistance spécifique de la matière isolante, il est aisé de faire voir que 1 a:
= — ] ——— 0 (5) ki an 71 0e & L'équation (2) n’est plus vraie, car l'électricité n’est plus dépensée seulement à donner au fil la charge cv, mais aussi à fournir un écou-
lement dont le débit est représenté par L La dépense d'électricité
est donc
92Q de I (6) xt ü H°
ce qui, par comparaison avec (3), nous donne
(7) AT KR"
ce qui est l'équation donnée par Fourier pour la propagation de la chaleur dans une tige ou dans un anneau (!).
333. Si nous avions supposé qu'un corps porté à un potentiel élevé est électrisé dans toute sa masse, comme si l’on y avait comprimé de l'électricité, nous serions arrivés à une équation de cette même forme. Il est remarquable que Ohm lui-même, trompé par l’analogie de l’électricité et de la chaleur, se faisait une idée de ce genre; et c’est ainsi que, par une conception erronée, il fut conduit à employer les équations de Fourier pour représenter les vraies lois de la conduction de l'électricité dans un long fil, bien avant que l’on pût soupçonner la raison véritable pour laquelle ces équations se prêtent à cet usage.
Exemple mécanique pour faire comprendre les propriétes des diélectriques.
334. Cinq tubes, de même section, À, B, C, D et P, sont disposés bout à bout, comme le montre la fig. 27; A, B, C et D sont égaux et verticaux, P est horizontal.
Les parties inférieures de À, B, C et D sont remplies de mercure; les parties supérieures, ainsi que P, sont remplies d’eau.
Un tube à robinet Q réunit la partie inférieure de A et B à celle
(‘) Théorie de la chaleur, S 105.
