CONDUCTION A TRAYERS UN CONDENSATEUR

et l’on trouve

AV AV AV 2,0 G) dt on on TK "w d'où

IT; (4) p—Ce

. Kr | ou, Si nous posons T — =” !

(5) p=Ce T.

Ce résultat nous montre que, sous l’action de forces électriques extérieures quelconques, un milieu homogène dont l’intérieur était chargé d'électricité d'une manière quelconque voit ces charges intérieures se dissiper suivant une loi qui ne dépend pas des forces extérieures; par suite, il finira par ne plus y avoir de charge électrique dans le milieu, et alors aucune force extérieure ne pourra n1 produire, ni maintenir une charge en un point intérieur du milieu, aussi longtemps du moins que les relations entre [a force électromotrice, la polarisation électrique et la conduction resteront les mêmes. S'il se produit une décharge disruptive, ces relations cessent d'être vraies, et il peut se produire une charge intérieure.

Conduction à travers un condensateur.

326. Soient C Ia force de capacité d’un condensateur, R sa rés:stance, E la force électromotrice qui agit sur lui, c’est-à-dire la difference de potentiels qui existe entre ses électrodes métalliques.

La quantité d'électricité répandue sur l’armature du côté d’où agit la force électromotrice est CE, et le courant qui se produit à travers la masse du condensateur, dans la direction de la force électromo- R

Si l’on admet que l’électrisation est produite par une force électromotrice E agissant dans un circuit dont fait partie le condensateur,

dQ

et si — représente l'intensité dans ce circuit,

dt dQ E dE at RT "à

trice, est

Introduisons dans ce circuit une pile de force électromotrice E, et de résistance 7',, alors

(7) dd n “RC

donc, à une époque quelconque 4,,

8 EC: E)-- Eo = — ( — +) ( ) ( — 1) = 0 R r I € 1} où … CRr:

LeRir

Coupons le circuit 7, pendant un temps 44,

(9) E(:- E)— Ee %,

où T, — CR.

Enfin, pendant un temps #,, relions les armatures du condensateur par un fil de résistance r';,

WE] (to) E(=: Es) - Le D, où CRre LE n R + ra

Si Q, est la décharge totale qui se produit à travers ce fil pendant un temps 63, t t, CA GG ER Ge) (ie À).

On peut ainsi calculer la décharge qui se produit à travers un fil au moyen duquel on relie les armatures d’un condensateur chargé pendant un temps £,, puis isolé pendant un temps #4. Si, comme il arrive d'ordinaire, la durée de charge est suffisante pour que l'on obtienne la charge totale, et la durée de décharge assez longue pour que la décharge puisse être complète, l'expression se réduit à CR? +

(12) Q3=- Eo R+nR= rs) e CR.

327. Dans un pareil condensateur, chargé d'abord d’une manière quelconque, déchargé ensuite à travers un fil de faible résistance, puis isolé, il n'apparait point de nouvelle charge. Mais, dans la plupart des condensateurs dont nous disposons effectivement, nous voyons se développer peu à peu, après la décharge et l'isolement, une nouvelle charge de même nature que la première, mais d'intensité moindre : c'est ce qu'on appelle la charge résiduelle. Pour nous expliquer son

existence, nous sommes donc obligés d'admettre que la constitution du milieu diélectrique n'est point telle que nous venons de l’admettre. Mais nous allons trouver que cette propriété existe pour un milieu formé de l'assemblage de petites parties constituées elles-mêmes par différents diélectriques simples.

Théorie des diélectriques composés.

328. Supposons, pour plus de simplicité, que le diélectrique consiste en une série de couches planes formées de diverses substances, de surface égale à l'unité, et que les forces électriques agissent suivant une direction normale aux couches.

Soient

&i, A, ... les épaisseurs des différentes couches ;

X1, X2,... les forces électriques résultantes qui agissent dans l’intérieur des différentes couches entre des points pris à l’unité de distance sur la direction normale aux couches;

Pis Ps, -.. les intensités des courants dus à la conduction à travers les couches ;

fis fr, ... les déplacements électriques;

U, Us, ... les intensités totales, dues en partie à la conduction, en partie à la variation du déplacement;

li, l'a... les résistances spécifiques par unité de volume;

K;, K:,... les pouvoirs inducteurs spécifiques;

Ki, ks, ... les inverses des pouvoirs inducteurs spécifiques;

E la force électromotrice due à une pile voltaïque placée dans la partie du circuit qui va de la dernière couche à la première, couches que l'on suppose formées de substances conductrices;

Q la quantité totale d'électricité qui a passé dans cette partie du circuit jusqu’à l'instant !;

R, la résistance de la pile et de ses fils de communication;

3, la densité superficielle de l'électricité à la surface de séparation de la première et de la seconde couche.

Dans la première couche nous avons : par la loi de Ohm, (1) X1= r1p1; par la théorie du déplacement électrique,

(2) X,= 47 ki fi;

par la définition de l'intensité totale, e 7 + ———0 (3) ul) P1 dt

On a des équations semblables pour les autres couches, les différentes quantités étant affectées de l'indice correspondant à la couche considérée.

Pour déterminer la densité superficielle sur une couche, nous avons une équation de la forme

(4) is —- fa — fi

et, pour déterminer sa variation,

(5) RE pipe.

En différentiant (4) par rapport à 4 et égalant le résultat à (5), nous avons

(6) Pi À ds = Pr + ds = U, par exemple,

ou, en tenant compte de (3), (7) Uj=:Ua—... = U,

c'est-à-dire que, dans toutes les couches, l'intensité totale est la mème et égale à l'intensité dans la pile et dans ses fils de communication.

Nous avons aussi, en vertu des équations (1) et (2),

TL % 1 d\;, (8) ES ET PTE

d'où nous pouvons tirer X,, en effectuant sur « l'opération inverse

I d \-1 Xi=(t+ "© nu.

(9) | (+ T 4T hi 7) U La force tlectromotrice totale E est (10) E = aiXi+ a%:2+...

ou bien

) E=!|a D, td l'a +res) qi LV 47h dt re 47ks dt +],

équation entre la force électromotrice extérieure E, et l'intensité exterieure &.

THÉORIE DES DIÉLECTRIQUES COMPOSÉS. 5ri

Si le rapport de r à # est le mème dans toutes les couches, l’équa- . tion se réduit à

r dE ‘airi+ + ) — -— ar Asls +...) 3rk dt «ar: 272 ,

(12) E + ce qui est le cas que nous avons déjà examiné et dans lequel nous avons trouvé qu'il ne peut se produire aucun phénomène de décharge résiduelle.

S'il y a 2 substances, pour lesquelles le rapport de 7 à 4 est différent l'équation générale (11), une fois débarrassée des opérations inverses qui y sont figurées, sera une équation différentielle linéaire d'ordre x» en E et d'ordre (n — 1) en u, { étant la variable indépendante.

De la forme de cette équation, il ressort clairement que l’ordre des couches est indifférent, et que, s’il y a plusieurs couches formées d'une mème substance, on peut les supposer réunies en une seule, sans changer en rien les phénomènes.

329. Supposons d’abord que /;, f:, ... soient tous nuls et que l’on fasse agir subitement une force électromotrice E et soit à en trouver l'effet instantané.

Intégrant (8) par rapport à {, nous trouvons