VARIATION DU POTENTIEL SUR UNE SURFACE CHARGÉE
où l'intégrale triple est étendue à tout le volume compris dans la surface fermée, et l'intégrale double à la seule surface de discontinuité. |
En substituant aux termes de cette équation leurs valeurs tirées des
équations (7), (8) et (9),
dV dVs (11) ire = ff fire ar dy as [ff +).
Mais, d'après les définitions de la densité du volume »p et de la densité superficielle 5,
(12) ire ir ff sdr dy ds+is [ [ods;
d'où, en comparant les derniers termes de ces deux équations, on lire dV. dVo (13 -,— + gp ci 4 RS = 0.
ds, dYs L
Cette équation est appelée l'équation caractéristique de V sur une surface électrisée où la densité superficielle est 5.
78 c. Si, dans toute l'étendue d'une région continue de l'espace, V est une fonction de x, y, 3 satisfaisant à l'équation de Laplace
NV 0? V AMV De prie 0
etsi, dans une portion finie de cette région, V est constant et égal à C, V doit être constant et égal à C daus toute la région pour laquelle l'équation de Laplace est satisfaite.
limite Ja portion finie dans laquelle V — C.
Sur Ja surface S, V=C.
SOit y une normale mente extérieurement à la surface S. Puisque S est la linite de la région continue dans laquelle V::: C, la valeur de V C0MMence à différer de C à l'instant où nous franchissons la surface S
1 Vn'est pas constant dans toute la région, soit S la surface qui
en Cheminant sur la normale v. Donc, immédiatement en dehors de S, dv
& Peut être positif où négatif, mais ne peut être nul, sauf pour les nofMales menées le long de la ligne qui sépare une aire positive d'une airé névative.
Mais, si v’ est la normale mence vers l'intérieur de la surface $, V':= C \'
et — dé 9:
Tr. d'Élect. et de Magn.. \.
LS
Donc, en chaque point de la surface, excepté sur certaines lign
formant limite, d\ d\W!
dati)
est une quantité finie, positive ou négative; et, par suite, sur la su face S, il y a une distribution d'électricité qui est continue en tous È points, excepté sur certaines lignes qui séparent les aires chargées ps sitivement des aires chargées négativement.
L'équation de Laplace n'est satisfaite sur la surface que pour |: points situés sur certaines lignes de la surface. Par suite, la surface { à l’intérieur de laquelle C est constant, doit comprendre toute l’éte due de la région dans laquelle l'équation de Laplace est satisfaite.
Force agissant sur une surface électrisée.
19. L'expression générale des composantes de la force qui agit su un corps électrisé, parallèlement aux trois axes, est de la forme
(4) A = [ [ fox dr dy ds;
on a des expressions analogues pour les composantes B et C parallèle à Oyet Os.
Mais, sur une surface électrisée, p est infini, et X est discontinu nous ne pouvons donc calculer la force directement au moyen d'e» pressions de cette forme.
Mais nous avons fait voir que la discontinuité ne porte que Sur composante de l'intensité qui est normale à la surface électrisée et qu les deux autres composantes sont continues.
Supposons donc que l'on prenne l’axe des æ normal à la surface « un point donné; supposons aussi, au moins pour la première par! de cette étude, que X ne soit pas véritablement discontinu, mais qu varie continuellement de X, à X,; quand x varie de x, à æ2. Si le rés! tat de notre calcul conduit à une valeur déterminée de la force com1 limite lorsque 7, — +, décroit indéfiniment, nous pourrons considé: ce résultat comme exact pour à, = 4, el pour une surface électris sans épaisseur.
Substituant à p sa valeur trouvée au $ 77, nous avons
| r OX 0Y 0Z\ | (15) À — SJ (CG 7 + )* dr dy ds.
Intégrant cette expression par rapport à x depuis à = x, jusqu
