CHAPITRE IV C

95 a. Dans le Chapitre El, nous avons calculé la fonction potentielle el étudié quelques-unes de ses propriétés, en partant de lhypothèse, qu'il existe entre les corps électrisés une action directe à distance, résultante des actions directes qui s’exercent entre les différentes pares électrisées des corps.

Si l’on appelle méthode de recherche directe une étude ainsi faite, la méthode inverse consistera à admettre que le potentiel est une fonclion caractérisée par ces mèmes propriétés que nous avons déjà établies, et à rechercher la forme de cette fonction.

Dans la méthode directe, le potentiel se calcule par intégration, connaissant la distribution de l'électricité; et l’on trouve qu'il satisfait à certaines équations aux différences partielles. Dans la méthode inverse, on suppose données les équations aux différences partielles, el l'on doit trouver le potentiel et la distribution de l'électricité.

C'est seulement dans les problèmes où la distribution est donnée, que l'on peut faire usage de la méthode directe. Quand il s'agit de lrouver la distribution sur un conducteur, on est forcé de recourir à la méthode inverse.

Nous allons montrer que, dans tous les cas, la méthode inverse conduit à un résultat déterminé, et nous établirons certains théorèmes Sénéraux déduits de l'équation aux différences partielles de Poisson :

DV | V | JV 9 me pot imee

Les idées mathématiques, exprimées par cette équation, sont d'une llure toute différente de celles qu’exprime l'intégrale définie

+ h+< +o V == f Î dx' dy’ dx.

A ) [Le lecteur peut sans inconvénient dans une première lecture passer les

“bites IV et V, qui ne renferment que des développements purement mathémaliques, | (C.)

Tr. d'Élect. et de Magn., 1. U

Dans l'équation différentielle, nous exprimons que la somn dérivées secondes de V, dans le voisinage d’un point, est liée certaine manière à la densité en ce point; mais nous n'exprimo de relation entre la valeur de V en ce point et la valeur de p point de distance finie du premier.

Au contraire, dans l'intégrale définie, la distance du point (x’, pour lequel on a », au point (r, 7,5), pour lequel on a V, est gnée par 7 et intervient explicitement dans l'expression à intég

L'intégrale est donc la forme mathématique qui convient p théorie d’une action s’exerçant à distance entre les molécules, que l’équation différentielle est l'expression qui convient pour ki rie d’une action s’exerçant entre les parties contiguës d'un mili

Nous avons vu que le résultat de l'intégration satisfait à l’éq différentielle; nous avons maintenant à montrer que c'est la se lution de cette équation qui satisfasse à certaines conditions.

De la sorte, non seulement nous établirons l’équivalence mat tique des deux expressions, mais encore nous préparerons notre à passer de la théorie d’une action directe à distance, à celle action entre les parties contiguës d’un milieu.

95 b. Les théorèmes considérés dans ce Chapitre sont relati propriétés de certaines intégrales de volume prises dans l’ét d’une région finie de l'espace que nous désignerons sous le n champ électrique.

L'élément de ces intégrales, c'est-à-dire la quantité sous le si,

est Lantôt le carré d’un certain vecteur dont la grandeur et la du varient d'un point à l'autre du champ; tantôt le produit d’un v par la composante d'un autre vecteur suivant la direction du pr

Des différentes manières dont une quantité vectorielle pet distribuée dans l'espace, deux sont d’une importance particulié

Le premier cas est celui où le vecteur peut ètre représenté pa riation dans l’espace ($ 17) d'une quantité scalaire appelée le pot

Une telle distribution peut ètre appelée trrotationnelle. T: la distribution de la force résultante due à la combinaison d'un nombre de centres de force, dont la loi d'attraction ou de ré] est une fonction donnée de la distance.

Le second mode de distribution est celui où la convergence ($ nulle en tous les points. Cette distribution peut ètre appelée solén la vitesse d'un fluide incompressible a une distribution solénoï

Si les forces centrales, lesquelles, avons-nous dit, donnent lie

distribution irrotationnelle de la force résultante, varient en raison inverse du carré de la distance, et si les centres sont extérieurs au champ, la distribution dans le champ est solénoïdale en même temps qu'irrotationnelle.

Si le mouvement d'un fluide incompressible, qui est solénoïdal, ainsi que nous l’avons dit, est produit par des forces centrales dépendant de la distance, ou par des pressions superficielles s'exerçant sur un fluide sans frottement et primitivement en repos, la distribution de la vitesse est irrotationnelle aussi bien que solénoïdale.

Quand nous aurons à désigner une distribution à la fois irrotationnelle et solénoïdale, nous la désignerons sous le nom de distribution de Laplace, Laplace ayant signalé quelques-unes des propriétés les plus importantes d’une telle distribution.

Les intégrales de volume discutées dans ce Chapitre sont, ainsi que nous le verrons, des expressions de l'énergie du champ électrique. Dans le premier groupe de théorèmes, qui commence au théorème de Green, l'énergie est exprimée en fonction de l'intensité électromonice, vecteur dont la distribution est irrotationnelle dans les cas d'équilibre électrique. Et l'on fait voir que, le potentiel à la surface étant donné, de toutes les distributions irrotationnelles, celle qui est aussi solénoïdale a une énergie minimum : d'où il suit qu'il ne peut v avoir qu'une seule distribution de Laplace compatible avec un syslême de potentiels à la surface donné.

Dans le second groupe de théorèmes, qui comprend le théorème de Thomson, l'énergie est exprimée en fonction du déplacement éleclrique, vecteur dont la distribution est solénoïdale. Et l'on fait voir fe, si les charges des surfaces sont données, de toutes les distribulions solénoïdales, celle qui a l'énergie minimum est aussi irrotalonnelle; donc, là encore, il ne peut exister qu’une seule distribution € Laplace compatible avec le système de charges donné.

à démonstration de tous ces théorèmes est conduite de la même Ron. Pour éviter des redites, chaque fois que l’on devra passer par Me intégration de surface faite en coordonnées rectangulaires, nous Ons usage du résultat du théorème IN, 8 21 (!}, où a été étudiée ‘LA plétement la relation d'une intégrale de volume et de l'intégrale * Surface correspondante. Tout ce que nous aurons à faire sera done

7 Ce théorème parait avoir été donné, pour la première fois, par Ostrogradskw. RS un Mémoire lu en 1828 et inséré en 1831 dans les em. de l'Acad. de Saint- ‘lershourg, t. {, p. 3); mais on peut le regarder comme une forme de l'équation de Continuité.

1,2 17" PARTIE. «HAP. IV. — JHÉDRÈMES GÉNÉRAUS.

Je sufetttuer dans set remis, s NY. Z. les composantes du vecta duquel rent fe there particulier que lon considère.

Lars la preui-r- its de «e livre. l'enancé de chaque théorèn riait nr harse ire moitie dd sonditiens alternatives: on ava penis but den ire La cetermit- du thesreme et la varieté des c: 2UNqueis pe iv <'apgse tiers en fait. elles avaient plutôt pour ef he conter fre, aus fesses du fccteur, ce qui etait l'hypothèse et qui était 4 cirln «LiCer.

Meteo olaque tl-creme ét d'aberd énoncé sous une forn Eur. mots tie IN lcüitie, et c'est ensuite que lon mont Le quete she Lencralite 1 est susceptible.

Jassqpriisi poats avens emiple En ssmbole \ pour le potentiel,

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nets centituelens dns, LALt que nous ne ferons que de l'électros tique. Mais ans ce CE titre et eus les parties du second Volume

be potestieleleetrinme screeeutte fisles recherches electromags Lques. nons eimpltetens le sviibols W peur desisner spécialement

pretenitie -lctrique,

Théorème de Green.

967. L'important thécrème qui suit à èté donné par Gevrzses Gre dans son Æssee d'application des Mathematiques à lélectricite= LU INA RELINSME.

Ce théorème est relatif à l'espace limité par une surface fermée espace que nous appellerons le chzmp. Soit y la normale menée dE surface s vers l'interieur du champ. et soient {0 n les cosinus dif ours de cette normale: alors

if af PAT L l — m — NN — = --,or CLE 3 15 du

era le taux de variation de la fonction 4°. lorsqu'on s'avance su!

di ; normale ». 1l est entendu que l'on prendra la valeur de FH sur la =

face mème, où » == 0. Posons, comme aux $ 26 et T7,

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