ÉNONCÉ DU THÉORÈME DE GREEN

étant simplement des abréviations conventionnelles pour les expressions auxquelles on vient de les égaler; et, comme on n’emploiera dans ce qui suit que les méthodes cartésiennes ordinaires, il n’est pas nécessaire de se rappeler l'interprétation de ces expressions dans la théorie des quaternions. La raison pour laquelle nous emplayons comme abréviati ons ces expressions, de préférence à de simples lettres arbitrairement choisies, est que dans le langage des quaternions elles représentent complètement les quantités auxquelles elles sont égalées. Le sym- Lbole d'opération V appliqué à la fonction scalaire Y donne la variation de celte fonction dans l’espace, et l'expression — S.Vw.Vb est la partic Claire du produit de deux variations dans l'espace, ou le produit d'une de &es variations par la composante de l’autre suivant sa direction.

“ 0] dx CE e e . 0 eo. =

L'ex pression 7, S écrit ordinairement dans les quaternions S.Uv.Vw, Ù Us étant un vecteur unité dans la direction de la normale. Il ne paraît Pas vavoir grand avantage à employer cette notation ici; mais nous trourerons cet avantage quand nous en viendrons à parler des milieux non isotropes.

Énoncé du théorème de Green.

Soient W et + deux fonctions de r, y et 3, qui sont, ainsi que leurs dE rivées premières, finies et continues dans une certaine région acy- € Li cque s limitée par une surface fermée s. Alors

| ff" ds -- ff Fr. de 4, Ye le | — ff fs-5v.5.4: - [f* co ds [ff > Vide,

®2a les intésrales doubles doivent ètre étendues sur toute la surfaces, ET Les intégrales triples dans tout le champ $ limité par cette surface. Pour établir cette proposition, posons, comine au $ 21, théorème HI,

[5 , b j (5, car, vont, zur.

A Lors :

»- \ ) (G) R cose = Y LE mono cy?, or y 03 (7)

après (1), et

oX AY 0Z 103 DER D 02 D" JE 0 — + — + - — u — lo - — Or dy 4 ( ) d£ 02

En Jr? oyi TT y3t

| XP JT up

in — un — —— — —\ Vi — ; UND | To HE D PV? — SV VA

Mais, d’après le théorème III,

(5) ff R cos: ds =-[[fC- +5) dc

ou, d’après (6) et (7),

(8) FF Ra-ff v.so.ds— [ [ [s.vu var,

et puisque, dans le second membre de cette équation, nous pouvo échanger W et D, nous pouvons le faire aussi dans le premier membr el nous obtenons ainsi l'énoncé complet du théorème de Green don: dans l'équation (4).

96 a. Nous avons maintenant à montrer que le théorème de Grec est encore vrai, si l'une des fonctions, W par exemple, est multiform pourvu que ses dérivées premières soient uniformes et finies à l'int rieur de la région acvclique ç.

Puisque VY et Vb sont uniformes, le second membre de l'équ tion (4) est uniforme; et puisque VW est multiforme, un élément que conque du premier membre, tel que Y V'®, est multiforme. Mais, pour un point À compris dans la région 4 nous choisissons une € différentes valeurs de W, soit W',. la valeur de V° sera définie en t< autre point P. Car la valeur choisie de VW étant continue dans la gion, la valeur de Y au point P devra être celle que l'on obtient par ‘ variation continue le long d’un contour quelconque allant de A en en partant en À de la valeur de W',. Si les valeurs en P étaient ds rentes pour deux contours allant de À en P, ces contours devra 3 comprendre entre eux une courbe fermée le long de laquelle les d« vées premières de W deviennent infinies. Or c'est contraire à lhy thèse, car puisque les dérivées premières ne deviennent pas infis dans la région 6, la courbe fermée est tout entière en dehors de région; et, puisque la région est acyclique, deux contours comp dans la région, ne peuvent enfermer rien qui soit extérieur à région.

Donc, si lon donne VW, comme valeur de Y au point À, la vale en P est déterminée.

Si l'on avait choisi pour valeur en À une autre valeur de Y, s ÿ',=— nK, la valeur en P aurait été W-2 2K. Mais la valeur premier membre de l'équation (4) serait restée la même que pr cédemment. car le changement revient à augmenter le premi