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V étant une fonction de .r, y, 3 qui est Loujours finie et continue, qui s’annule à l'infini, et qui prend une valeur constante à la surface de chaque conducteur.
En général, les méthodes mathématiques connues ne permettent pas de résoudre cette équation, de facon à satisfaire à des conditions arbitrairement données; mais il est aisé de trouver un nombre quelconque de fonctions V satisfaisant à l'équation, et de déterminer dans chaque cas la forme des surfaces conductrices, de façon que ces fonctions V soient de véritables solutions.
On voit donc que ce que l'on pourrait appeler naturellement le problème inverse, à savoir, déterminer la forme des conducteurs, étant donnée l'expression du potentiel, est bien plus abordable que le problème direct : déterminer le potentiel, étant donnée la forme des conducteurs. |
En fait, tous les problèmes électriques dont nous connaissons la salution ont été combinés par la méthode inverse. Il est donc de la plus grande importance pour l'électricien de connaître les résultats obtenus dans cette voie, puisque la seule méthode qui nous promette la solution de nouveaux problèmes consiste à réduire ces problèmes aux cas de problèmes analogues combinés à l'aide de la méthode inverse.
On peut tirer parti de deux manières de la connaissance historique de ces résultats : si l'on nous demande de combiner un appareil en vue de faire des mesures électriques de la plus grande exactitude possible, nous pouvons choisir pour les surfaces électrisées des formes
correspondant aux cas pour lesquels nous connaissons la solution exacte. Si, d'autre part, on nous demande d'évaluer la charge répandue sur des corps de forme donnée, nous pouvons partir d'un cas où une des surfaces équipotentielles prend une forme se rapprochant de la forme donnée; puis, par une méthode de tâtonnements, nous pourrons modifier le problème, jusqu'à ce qu'il réponde plus exactement aux données. Considérée au point de vue mathématique, cette méthode est évidemment très imparfaile; mais c'est la seule que nous ayons, et si nous ne sommes pas maîtres de choisir nos données, nous ne pouvons faire qu'un calcul approché de la distribution. Ce qu'il nous faut, c'est donc évidemment de connaître la forme des surfaces équipotentielles et des lignes d'induction dans autant de cas différents que nous en pourrons réunir, et de nous en souvenir. Pour certaines classes de cas, ceux qui se rapportent aux sphères, par exemple, 1] v a des méthodes mathématiques connues, dont nous pouvons nous servir. Dans les autres cas, nous n'avons d'autre ressource que la méthode plus terre à terre de dessiner par tâtonnement des figures, et de choisir parmi elles celles qui s'écartent le moins des figures dont nous avons besoin.
Cette dernière méthode peut, je crois, être de quelque utilité, même dans les cas où l’on a obtenu la solution exacte, car je trouve que, quand l'œil connaît la forme des surfaces équipotentielles, on est souvent conduit à bien choisir la méthode pour la solution mathématique.
J'ai donc tracé les diagrammes de plusieurs systèmes de surfaces équipotentielles et de lignes d'induction, de facon que le lecteur puisse se familiariser avec la forme de ces lignes. Les méthodes au moyen desquelles on peut tracer de pareils diagrammes sont exposées
au & 123.
118. La première de ces Planches représente les sections des surfaces équipotentielles qui entourent deux points ayant des charges d’électricité de même nature, et dans le rapport de 20 à 5.
Chaque point est entouré d'un système de surfaces équipotentielles, d'autant plus voisines d'être des sphères qu’elles sont plus petites, quoique aucune d'elles ne soit rigoureusement une sphère. Si l’on prend pour surfaces de deux corps conducteurs deux de ces surfaces, une autour de chaque point, presque sphériques, mais ne l'étant pas complètement, el si ces corps sont chargés d'électricité de mème espèce, le rapport des charges étant de 4 à 1, le diagramme représentera les surfaces équipotentielles, pourvu que l’on efface les courbes
intérieures aux deux corps. On voit par ce diagramme que faction entre les corps est la mème qu'entre deux points ayant les mêmes charges, qui ne seraient pas exactement au milieu de l'axe de chaque corps, mais un peu plus écartés l’un de Fautre que ne sont ces points milieux.
Le même diagramme nous permet de voir ce que sera la distribution sur une des surfaces ovales, plus larges d’un bout que de l’autre, qui entourent les deux centres. Un pareil corps, chargé de 25 unités d'électricité et n'étant soumis à aucune influence extérieure, aura une densité superficielle maximum à l'extrémité effilée, moindre à l'autre extrémité, et minimum sur un cercle un peu plus voisin du bout effilé que de l'autre.
[ v a une surface équipotentielle représentée par une ligne pointillée, qui est formée de deux nappes se rencontrant au point conique P. Ce point est un point d'équilibre, et la densité superficielle pour un corps ayant la forme de cette surface serait zéro en ce poinL.
Les lignes de force forment dans ce cas deux systèmes distincts, séparés l’un de l’autre par une surface du sixième degré, indiquée par une ligne pointillée passant par le point d'équilibre et présentant quelque ressemblance avec l’une des nappes d'un hyperboloïde à deux nappes.
Le diagramme peut aussi servir à représenter les surfaces équipotenticlles et les lignes de force, dans le cas de deux sphères de malière soumise à Ja gravitation, dont les masses sont entre elles comme 4 et 1.
119. Sur la seconde Planche, nous avons encore deux points dont les charges sont comme 20 est à 5; mais l’une est positive et l'autre est négative. Dans ce cas, une des surfaces équipotentielles, celle qui correspond au potentiel zéro, est une sphère : elle est représentée sur le diagramme par le cercle Q. On verra l'importance de cette surface électrique quand nous en viendrons à la théorie des images électriques.
On voit par ce diagramme que deux corps ronds, chargés d’électricités contraires, s'allirent comme deux points ayant les mêmes charges, mais un peu plus rapprochés l'un de l'autre que ne sont les points milieux des corps ronds.
Ici encore, une des surfaces équipotentielles est formée de deux nappes, l’une intérieure qui entoure le point dont la charge est 5, l’autre extérieure qui comprend les deux corps, ces deux nappes se rencontrant en un point conique P, qui est un point d'équilibre.
Si la surface d’un conducteur a la forme de la nappe extérieure, celle d’un corps arrondi comme une pomme et présentant un creux
Lignes de force et surfaces équipotentielles. e, AP
M, point où la force est maximum suivant l'axe. Q surface sphérique de potentiel zéro; La ligne ——.—— est la ligne de force W = 0,1.
o, B——5, P, point d'équilil AB.
conique à un des bouts de son axe, nous saurons déterminer la densité superficielle en chacun de ses points. La densité superficielle au fond du creux sera nulle.
Autour de cette surface, nous en avons d'autres qui ont un creux arrondi, s'eflacant de plus en plus et finissant par disparaître sur la surface équipotentielle qui passe par le point marqué M.
Les lignes de force de ce diagramme forment deux systèmes séparés par une surface qui passe par le point d'équilibre.
Si nous considérons les points situés sur l'axe au delà du point B, nous trouvons que la force résultante va en diminuant jusqu’au point double P, où elle s'annule. Elle change alors de signe, atteint un maximum en M, après quoi elle décroît d'une manière continue.
Mais ce maximum n'est qu'un maximum relativement aux autres points de l'axe; car, si nous considérons une surface passant par M et perpendiculaire à l'axe, M est le point où la force est minimum relativement aux points voisins sur cette surface.
120. La 27. III représeute les surfaces équipotentielles et les lignes d'induction dues à un point dont la charge est ro, placé en À et entouré par un champ de force qui, avant l'introduction du point chargé, était partout uniforme, en direction comme en grandeur.
Les surfaces équipotentielles ont chacune un plan asy mptotique. L'une d'elles, indiquée par uu trait pointillé, présente un point conique et une nappe qui entoure le point À. Au-dessous de celle-là, les surfaces équipotentielles n'ont qu’une nappe préseutant une dépression près de l’axe. Au-dessus, elles ont une partie fermée qui entoure À, et une autre nappe séparée présentant une légère dépression près de l'axe.
Si nous prenons pour surface d'un conducteur une des surfaces audessous de À, et une autre fort éloignée au-dessus de À pour surface d’un second conducteur à un potentiel différent, le système des lignes et des surfaces comprises entre les deux conducteurs figurera la distribution de la force électrique. Si le conducteur inférieur est très éloigné de À, sa surface est presque plane, et nous avons là la solution du problème de la distribution électrique sur deux surfaces, qui toutes deux sont à très peu près planes et parallèles, sauf que la surface supérieure présente vers son milieu une protubérance qui est plus ou moins accentuée, suivant la surface équipotentielle particulière que l'on a choisie (1).
(') [our la Note complémentaire à la fin du Chapitre. (C.)]
