CHAPITRE VL

112. Si en un point du champ électrique la force résultante est nulle, ce point est appelé un pornt d'équilibre. Si tous les points d'une ligne sont des points d'équilibre, la ligne est appelée lisne d'équilibre.

Les conditions pour qu’un point soit un point d'équilibre sont que l'on ait en ce point OV OV. 0V

dE

En un tel point, la valeur de V est donc maximum ou minimum, ou stationnaire, par rapport aux variations des coordonnées. Mais le potentiel ne peut avoir de valeur maximum ou minimum, qu’en un point chargé d'électricité positive ou négative, ou dans un espace fini limité par une surface chargée positivement ou négativement. Si donc on rencontre un point d'équilibre dans une partie du champ qui n’a pas de charge, ce ne peut être qu’un point stationnaire, mais non un Maximum niun minimum.

En effet, la première condition pour que l'on ait un maximum ou un minimum est que

PV AV JV

de? 0 05?

soient tous positifs où Lous négatifs, s'ils ont des valeurs finies. Or, d'après l'équation de Laplace, la somme de ces trois quantités est nulle en un point où il n° a pas de charge : cette condition ne peut donc ètre satisfaite.

Au lieu de rechercher les conditions analytiques des cas où les trois composantes de la force s'annulent simultanément, nous allons faire une étude générale au moyen des surfaces équipotentielles.

Si, en un point P, V passe par un maximum véritable, la valeur de V est plus grande en P qu'en tous les autres points du voisinage immédiat; donc P est entouré par une série de surfaces équipotentielles fermées, chacune extérieure à la précédente, et en tous les points de chacune de ces surfaces la force électrique est dirigée vers le dehors. Or nous avons démontré au $ 76 que l'intégrale de l'intensité électro-

Tr. d'Élect. et de Magn., 1. 12

motrice, prise sur une surface fermée quelconque, est égale à la charge totale comprise à l'intérieur de cette surface, multipliée par 47. Dans le cas actuel, la force est dirigée vers le dehors en tous les points, et par suite l'intégrale de surface est nécessairement posive : il y a donc une charge positive à l'intérieur de la surface; et, comme celte surface peut être prise aussi voisine de l qu'on le veut, il y a une charge posilive en P.

On démontrerait de même que, si V est minimum en P, P a une charge négative.

Enfin, soit P un point d'équilibre dans une région qui n'a point de charge : décrivons autour de P une sphère de très petit rayon. Ainsi que nous l'avons vu, le potentiel sur cette surface ne peut ètre partout plus grand qu’en P, ni partout plus petit. I doit donc être plus grand sur certaines parties de cette surface, plus petit sur d'autres. Ces portions de surfaces sont limitées par des lignes le long desquelles le potentiel est le mème qu'en P. Le long des lignes menées de P aux points où le potentiel est plus petit qu'en P, la force électrique est dirigée de P vers le dehors; le long des lignes menées de P aux points à un potentiel plus élevé, la force électrique est dirigée du dehors vers P : donc le point P est un point d'équilibre stable pour certains déplacements, et d'équilibre instable pour les autres déplacements.

113. Pour déterminer le nombre des points et des lignes d’équilibre, considérons la ou les surfaces pour lesquelles le potentiel a une valeur donnée C. Appelons régions négatives les régions où le potentiel a une valeur inférieure à C, régions positives les régions où il à une valeur plus grande que C. Soient V, le plus bas et V, le plus haut potentiel du champ électrique. Si nous faisons C = V,, la région névative ne renfermera que le point ou le conducteur au potentiel le plus bas, et celui-là a forcément une charge négative. La région posilive comprend le reste de l’espace, et, puisqu'elle entoure la région négative, elle est périphractique (voir $ 18).

Si nous augmentons la valeur de C, la région négative va s'étendre, et de nouvelles régions négatives vont se former autour des corps chargés négativement ; à chaque région négative qui se forme ainsi, la région positive environnante acquiert un degré de plus de périphraxie. Lorsque les régions négatives s'étendent, deux ou plusieurs d’entre elles peuvent se rencontrer suivant un point ou suivant uneligne. Si n +1 régions négatives se rencontrent, la région positive perd n degrés de périphraxie, et le point ou la ligne suivant laquelle elles se rencontrent est un point ou une ligne d'équilibre du degré n.

Lorsque C devient égal (1) à V,, la région positive se réduit au point ou au conducteur dont le potentiel est le plus élevé, et par suite elle a perdu toute périphraxie; donc, si chaque point ou chaque ligne d’équilibre compte pour un, deux ou »#, suivant son degré, le nombre total formé par les points et les lignes considérées esL inférieur d’une unité au nombre des corps chargés négativement.

IH ya d’autres points et d’autres lignes d'équilibre que l'on rencontre, lorsque les régions positives sout séparées les unes des autres et que la région négative acquiert de la périphraxie. Leur nombre, compté d’après leur degré, est inférieur d'une unité au nombre des corps chargés positivement.

Si nous appelons posttifs les points ou les lignes d'équilibre formés par l'intersection de deux ou plusieurs régions positives; négatifs veux qui sont formés par la rencontre de régions négalives; et s'il y a p corps chargés positivement, z# corps chargés négativement, la somme des degrés des points et des lignes d'équilibre positifs est p —1, et la somme des degrés des points el des lignes d'équilibre négatifs est n — 1. La surface qui entoure le système électrisé à une distance infinie doit ètre comptée comme un corps ayant une charge égale et contraire à la somme des charges du système.

Mais, en outre de ces points et de ces lignes d'équilibre en nombre défini, qui sont formés par l’intersection des différentes régions, il peut en exister d’autres, dont nous pouvons dire seulement qu'ils sont en nombre pair. En effet, si, en s'étendant, une des régions négatives se recoupe elle-même, elle devient cyclique, et, en se rencontrant ellcmème à diverses reprises, elle peut acquérir un nombre quelconque de degrés de eyclose, chacun de ces degrés correspondant au point ou à la ligne d'équilibre qui a donné lieu à la cyclose. Si la région négative continue de s'étendre jusqu'à remplir tout l'espace, elle perd tous les degrés de cyclose qu'elle avait acquis et finit par devenir acyclique. Il ÿ a donc une série de points où de lignes d'équilibre, sur lesquels se perd la cyclose, et 1ls sont égaux quant au nombre et au degré aux points et aux lignes sur lesquels s'était produite la cyclose.

Si la forme des corps chargés ou des conducteurs est arbitraire, nous pouvons seulement dire que le nombre de ces points additionnels est pair; mais, si l’on a des points chargés, ou des conducteurs sphériques, le nombre des points additionnels ne peut être supérieur à (a —1)(n — 2}, » étant le nombre des corps.

(*) [Plus exactement, lorsque C ne diffère plus de V, que d'une quantité infiniment petite. (P.)]

11%. Le potentiel au voisinage d'un point P peut ètre développé

suivant la série 1 — Vo+ H, — 1, -:- .…..)

où Il,, EL, ... sont des fonctions homogènes de +, y, 3, dont les degrés sont respectivement 1, 2, ....

Puisque les dérivées premières de V s’annulent en un point d’équilibre, en un tel point H, — o.

Soit H, la première fonction qui ne s'annule pas : dans le voisinage du point P, nous pouvons négliger devant H, toutes les fonctions de degré supérieur.

Or

est l'équation d'un cône de degré 7, qui est le cône avant le contact le plus intime avec la surface équipotentielle au point P.

On voit donc que la surface ‘quipotentielle passant par P a en ce point un point conique auquel est Langent un cône du deuxième degré ou d’un degré supérieur. L’intersection de ce cône avec une sphère avant son sommet pour centre est appelée Ugne nodale.

Si le point P n'est pas sur une ligne d'équilibre, la ligne nodale n’a pas de points doubles, mais se compose de courbes fermées dont le nombre est x ou plus petit.

Si Ja ligne nodale a des points doubles, le point P est sur une ligne d'équilibre, et Ja surface équipotentielle passant par P se coupe ellemème suivant cette ligne.

S'il y a des points doubles de la ligne nodale qui ne soient pas diamétralement opposés sur la sphère, le point P est à l'intersection de trois ou de plusieurs lignes d'équilibre; car la surface équipotentielle passant par P doit se couper elle-mème suivant chacune des lignes d'équilibre. ;

115. Si deux nappes d'une surface équipotentielle se coupent, re ne peut ètre qu'à angle droit (!).

Car, la tangente à la ligne d'intersection étant prise pour ave des 3, on a

Prenant aussi l'axe des .r suivant la tangente à l’une des nappes, on à

(!) ['Enoncé inexact, puisque Fon démontre qu'elles se coupeut sous un angle

=. I faudrait dire : Si la surface à deux nappes seulement. (P.)]

aussi mV —— — O0.

dr

Il résulte alors de cela et de l'équation de Laplace que

DV

ou que l'axe des y est tangent à l’autre nappe. Ce raisonnement suppose FH, fini. Si II, est nul, prenons encore pour axe des 3 la tangente à la ligne d'intersection, et posons & — rcosô, y = rsin8 (). Alors, puisque

JV : PV AV 05 9 Ori F dy T0 ou encore HV 1 OV 1 DV et > —— = O,

à r or r? 00!

équation dont la solution ordonnée suivant les puissances ascendantes de r est

V= Vo+ Asrcos(0 + 2) + Ar? cos(20 + %3)+.,..+ A,rt cos(nÔ + 2,).

En un point d'équilibre A, — 0, et si le premier coefficient qui ne s'annule pas est celui de 7”,

V— Vo= Aurr cos(n0 + 2,)

plus des termes renfermant des puissances plus élevées de 7. Cette équation montre que les x nappes de la surface équipoten-

e Là Ad - . Q T tielle V — V, se coupent sous des angles qui sont tous égaux à -: Ce n

théorème a été établi par Rankine (?) (3).

(') [Inexact. (P.)]

(*) Aicsumé des proprietés de certaines lignes d'écoulement (Phil. Mag. oct. 1864). Voir aussi Tuousox ct Tair, Natural Philosophy, $ RQ; et Raxkixe et Srokes, dans les Proc. R. S., p. 168, 1863: et W. R. Suira, Proc. À. S. Edinb., p. 79, 1869-50.

() [La démonstration originale du théorème de Rankine est irréprochable. Le polynôme H, ($ 114) peut s'écrire À,57-P+A,,,3"P-t4.,,. + A,, en l’ordonnant suivant les puissances décroissantes de 2: l’axe des 3 est alors une arète singulière d'ordre p, les À étant des polyÿnômes homogènes en x et y dont l'indice exprime le degré. Ce polynôme doit satisfaire à l'équation de Laplace, ce qui entraine la condition

te 2? —0 ou A, IP cos( p8 + 2),

en posant x ::/7 Ccosô, 3° == r sint.

Mais l'équation À, = 0 est l'équation des plans tangents au cône H,= 0, le long

Ce n'est que sous certaines condilions qu'il peut exister une ligne d'équilibre dans l'espace hbre: mais 1l v a toujours une ligne d'équilibre sur la surface d'un conducteur, lorsque la densité superficielle est positive dans une partie et négative dans une autre.

Pour qu'un conducteur puisse avoir des charges contraires en différents points de sa surface, il faut qu'il x ait dans le champ des points où le potentiel est plus élevé que celui du corps, et d'autres points où le potentiel est plus bas.

Prenons d'abord deux corps électrisés positivement au même poten- Liel, il v aura entre les deux un point d'équilibre. Faisons diminuer sraduellement le potentiel du preinier corps : le point d'équilibre s'en rapproche et, à une certaine époque de notre opération, vient coïneider avec un point de la surface. Si nous continuons l'opération, la surface équipotentielle qui entoure le second corps, et qui est au mème potentiel que le premier, coupe à angle droit la surface de ce second corps, suivant une courbe fermée qui est une ligne d'équilibre. Cette courbe fermée, après avoir décrit toute la surface du conducteur, va de nouveau se réduire à un seul point; puis le point d'équilibre s'éloignera de l’autre côté du premier corps, et il sera à une distance infinie lorsque les deux corps auront des charges égales et contraires.

Théorème d'Earnshaw.

116. Un corps électrisé, placé dans un champ de force électrique, ne peut être en équilibre stable.

Supposons d'abord que l'électricité du corps mobile (A) et cslle du système de corps environnants (B) sortent fixes sur ces corps.

Soit V le potentiel en un point du corps mobile dû à l'action des corps environnants (B), et soit e l'électricité répandue sur une petite partie du corps mobile À autour du point considéré. L'énergie potentielle de A par rapport à B sera

M - XVe),

la sommation s'étendant à chacun des éléments électrisés de A. Sotent «a, b, e les coordonnées d'un point électrisé de À, par

de la génératrice singulière, ou des plans tangents aux diverses nappes de la sur-

, face : celles-ci se coupent donc sous des angles égaux à el

dV Maxwell écrit à tort que la condition Pr == 0 doit étre satisfaile en tous les 95°

points de l'espace pour que l'axe des 3 soit arète singulière. (P.1]

THÉORÈME D'EARNSINAW. 183

rapport à trois axes fixes dans À, et parallèles aux axes des x, y, 3. Soient &, r,, & les coordonnées absolues de l'origine de ce système d'axes.

Supposons pour l'instant que le corps A soit astreint à se mouvoir parallèlement à lui-même; les coordonnées absolues du point à, b, deviennent

r=t a, pJ=r--b, 3—%--c.

Le potentiel du corps À par rapport à 3 peut s'exprimer par la somme d'un certain nombre de termes, dans chacun desquels V est exprimé en fonction de a, b,cet£, r,, &. La somme de ces termes est une fonction de a, b, © qui sont constants pour chaque point du corps, et de Ë, r,, & qui varient lorsque le corps se meut.

Puisque l'équation de Laplace est satisfaite par chacun de ces termes, elle l'est par leur somme, ou

DM M 92M

ED pt ‘ 2 — (ES br, J?

Donnons maintenant à À un petit déplacement, tel que dé = lldr, di —-mdr, di =n dr:

et soit GM l'accroissement du potentiel de À par rapport au système environnant B.

Si cet accroissement est positif, 1] faudra dépenser du travail pour augmenter r', el il ÿ aura une force

dr qui tendra à diminuer 7 et à ramener À à sa première posilion; pour ce déplacement, l'équilibre sera donc stable. Si au contraire cet accroissement est négatif, la force tendra à augmenter r, et l'équilibre sera instable.

Considérons maintenant une sphère avant son centre à l'origine, el un rayon 7 assez petil pour que, si le point fixe du corps est compris dans la sphère, aucune partie du corps mobile À ne puisse coïncider avec aucune partie du système extérieur B. Alors, puisque dans

l'intérieur de la sphère V?2M -0o,

[Sas J.) dr

prise sur la surface de la sphère, sera nulle.

l'intégrale

. . . dM pe « Donc si, sur une partie de la surface de la sphère, Te est positif, il doit ÿ avoir une autre partie de la surface où il est négatif; et si le

, , . . « dM n . . « corps À est déplacé dans une direction où “7 Cst négatif, il tendra à

s'éloigner de sa position initiale, et, par suite, l’équilibre est forcément instable.

Ainsi l'équilibre est instable, lors même que le corps est astreint à ne se mouvoir que parallèlement à lui-même : à fortiori est-il instable, si le corps est entièrement libre.

Supposons maintenant que le corps À soit un conducteur. Nous pouvons traiter ce cas comme celui de l'équilibre d’un système de corps, l'électricité mobile étant considérée comme une partie de ce système; et nous pourrions conclure que, si le système est instable lorsqu'on lui a enlevé un certain nombre de degrés de liberté en fixant l'électricité, il l’est a fortiort lorsque cette liberté lui est rendue.

Mais nous pouvons traiter ce cas d’une façon plus particulière, de la manière suivante :

En premier lieu, supposons que l'électricité soit fixe sur À et que À se déplace de la petite distance dr. On a déjà considéré l’accroissement du potentiel de À dù à ce déplacement.

En second lieu, laissons l'électricité se mouvoir dans A et prendre sa distribution d'équilibre, qui est toujours stable. Pendant ce mouvement, le potentiel décroit nécessairement d'une quantité que l’on peut appeler Cdr (voir $ 100).

Donc l'accroissement Lotal du potentiel sera, lorsque l'électricité est

libre de se mouvoir, dM (F — c) dr,

et la force tendant à ramener À à sa position initiale sera

où C est toujours positif, : dM one . . .

Or nous avons montré que est négatif dans certaines directions ;

donc, lorsque l'électricité est libre de se mouvoir, l'instabilité dans ces directions est accrue.

Re = | RE CS