PI. IV

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Lignes de force et surfaces équipotentielles.

Tr. d'Elect. et de Magn.,

force agissant sur ce corps, et elle a pour mesure la quantité de mouvement que le corps reçoit par l'unité de temps.

L'action mécanique qui s'exerce entre deux corps électrisés est une tension, celle qui ne s'exerce que sur l’un d'eux est une force La force exercée sur un petit corps électrisé est proportionnelle à sa charge, et la force par l'unité de charge est appelée intensité de la force.

- Le mot d'énduction a été employé par Faraday pour désigner la façon dont les charges des corps dépendent les unes des autres, chaque unité de charge positive étant reliée à une unité de charge négative par une ligne qui, sur tout son parcours dans un diélectrique fluide, a la même direction que l'intensité électrique. Une pareille ligne est souvent appelée une ligne de force: mais 1l est plus correct de l’appeler une ligne d'induction.

Or, suivant les idées de Faradayv, la quantité d'électricité d'un corps a pour mesure le z7ombre des lignes de force ou plutôt d'induction qui émanent de ce corps. Ces lignes doivent toutes se terminer quelque part, sur des corps voisins, sur les murs et le plafond de la chambre, sur la Terre ou sur les corps célestes; et là où elles se terminent se trouve une quantité d'électricité précisément égale et contraire à celle qui se trouve sur la partie du corps d'où elles sont parties. En examinant les diagrammes, on voit qu'il en est bien ainsi. Il n’y a donc pas contradiction entre les vues de Faraday et les résultats mathématiques de l'ancienne théorie; au contraire, l’idée des lignes de force jette une grande lumière sur ces résultats : elle semble nous fournir le moyen de nous élever par un enchainement continu de raisonnements, depuis les conceptions quelque peu dépourvues de souplesse de l’ancienne théorie, jusqu’à des notions susceptibles de plus d’ampleur; elle pa-

raît ainsi nous ouvrir un champ étendu pour accroître nos connaissances par de nouvelles recherches.

123. Voici de quelle manière sont construits ces diagrammes : Pre-

nons d’abord le cas d’un seul centre de force, un petit corps électrisé

avec une charge e. Le potentiel à la distance r est V — PL d'où, si

e nous faisons 7 — y’ nous Lirerons r, rayon de la sphère pour laquelle

le potentiel est V. Si maintenant nous donnons à V les valeurs 1, 2, 3, ..., et si nous traçons les sphères correspondantes, nous obtiendrons une série de surfaces équipotentielles, dont les potentiels sont ceux qui sont mesurés par les nombres naturels. Les sections de ces sphères par un plan passant par leur centre commun sont des cercles

qui peuvent être marqués chacun du nombre qui représente son potentiel. Ces sections sont représentées par les demi-cercles pointillés sur la partie droite de la fig. 6.

S'il y a un autre centre de force, nous pouvons de mème tracer les

Fig: 6.

surfaces équipotentielles qui lui correspondent; si maintenant nous voulons trouver la forme des lignes équipotentielles dues à ces deux centres simultanément, nous devons nous souvenir que si V, est le potentiel dà à un point et V, celui qui est dù à l’autre, le potentiel dû aux deux sera V— V,+ V,. Donc, puisqu'à chaque intersection des surfaces équipotentielles nous connaissons V, et V,, nous connaissons aussi la valeur de V. Si donc nous menons une surface qui passe par toutes les intersections pour lesquelles la valeur de V est la même, cetle surface coïncidera avec la véritable surface équipotentielle en

toutes ces intersections ; et si, dans les systèmes primitifs, on a tracé les surfaces suffisamment rapprochées, la Rouvelle surface pourra être tracée avec tel degré de précision que l’on voudra. Les lignes équipotentielles dues à deux points dont les charges sont égales et contraires sont figurées à droite sur la és. 6.

Cette méthode peut être appliquée au tracé d'un système quelconque de surfaces équipotentielles, lorsque le potentiel est la somme de deux autres pour lesquels on a déjà tracé les surfaces équipotentielles.

Les lignes de force dues à un seul centre de force sont des lignes droites rayonnant autour de ce centre. Si nous voulons représenter par ces lignes l'intensité aussi bien que la direction de la force en un point, nous devons les tracer de facon qu’elles interceptent sur les surfaces équipotentielles des parties sur lesquelles l'intégrale de surface de l'induction a une valeur déterminée (1). La meilleure manière de le faire est de supposer que notre figure plane soit la section d’une figure de l’espace engendrée par la rotation de la figure plane autour d'un axe passant par le centre de force. Toute ligne droite rayonnant à partir de ce point et faisant avec l'axe un angle 6 décrira un cône, et l'intégrale de surface de l'induction qui s'exerce à travers la partie interceptée par ce cône sur une surface quelconque, du côté de la direction positive

de l'axe, est 27re(1— Cos6).

Si nous supposons, en outre, que la surface est limitée à son intersection avec deux plans passant par l'axe et inclinés l'un sur l'autre d’un angle dont l'arc est égal à la moitié du rayon, l'induction à travers la surface ainsi limitée est

e(1 — cosû).

Nous poserons e(i1— cos0) — 2%, d'où 0 — are cos(i—2©).

Si maintenant nous donnons à D une série de valeurs 1, 2, 3,...,e, nous trouverons une série correspondante de valeurs de 0, et si e est un nombre entier, le nombre des lignes de force correspondantes, y

compris l’axe, sera égal à e.

Nous avons ainsi une méthode pour tracer les lignes de force, de

(1) [Voir le commentaire relatif à la construction des lignes de force dans la Note Il, à la fin du Chapitre. (C.)]

façon que la charge d'un centre soit indiquée par le nombre des lignes qui rayonnent de ce centre, et que l'induction à travers une surface limitée de la façon qui a été décrite ait pour mesure le nombre des lignes de force qui traversent cette surface. Les lignes droites pointillées, à gauche de la fig. 6, représentent les lignes de force dues à chacun des deux points électrisés dont les charges sont + 10 et — 10.

S'il y a deux centres de force sur l'axe de la figure, nous pouvons tracer les lignes de force pour chacun des axes correspondant aux valeurs +, et #,; et, en menant des courbes par celles des intersections de ces lignes pour lesquelles la valeur de +, + +, est la même, nous pouvons trouver les lignes de force dues aux deux centres, et de même nous pouvons combiner deux systèmes quelconques de lignes de force, symétriquement situés de part et d’autre d’un mème axe. Les courbes en trait plein, sur la gauche de la fig. 6, représentent les lignes de force dues à l’action simultanée des deux points électrisés.

Après que l’on a construit par cette méthode les surfaces équipotentielles et les lignes de force, on peut vérifier l'exactitude du dessin, eu observant si les deux systèmes de lignes sont toujours orthogonaux et si la distance des surfaces équipotentielles consécutives est à la distance des lignes de force consécutives comme la demi-distance à l’axe est à l'unité de longueur adoptée dans le tracé.

Dans le cas d’un pareil système, de dimensions finies, la ligne de force, dont f'indice est +, a une asÿmptote qui passe par le centre électrique ($ 89 d) du système, et qui est inclinée sur l’axe d'un angle dont

. p , « le cosinus est 1— 2—> e étant la charge totale du système, pourvu que

+ soit plus petit que e. Les lignes de force dont l'indice est plus grantl que e sont des courbes fermées; si e est nul, toutes les lignes de force sont fermées.

Les lignes de force correspondant à un champ de force uniforme parallèle à l'axe sont des parallèles à l'axe, dont les distances à l’axe sont les racines carrées d'une progression arithmétique.

La théorie des surfaces équipotentielles et des lignes de force dans le plan sera donnée quand nous en viendrons à la théorie des fonctions conjuguées (!).

(") Voir un Mémoire Sur le mouvement de l'électricité dans les surfaces conductrices, par le professeur W.-U. Suiru (Proc. Roy. Soc. Edinb., 1869-30, p. 79 )-

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