CHAPITRE DEUXIÈME
RIV^ est ]a chaleur développée dans le circuit en vertu de la loi
de Joule.
En vertu du principe de la conservation de Ténergie, l'expression
représente donc le travail que nous avons désigné plus haut par le
symbole -^ LI* (499) et nous permet par conséquent de déterminer
la valeur de L. Il vient en effet, en identifiant les deux expressions
47tS
^ = nr
ou, en appliquant l'équation finale du n"" 500,
L = 4itSyn?
dans laquelle S représente la surface embrassée par la spire moyenne^ y la hauteur de la bobine et ni le nombre de spires contenues dans l'unité de longueur de la bobine.
§ 3. - CALCUL DE LA VALEUR DES COEFFICIENTS D'INDUCTION DANS PLUSIEURS CAS USUELS.
503. — Influence de la grandeur et du nombre de spires d'un système électro-magnétique sur la valeur des coefficients d'induction. — Etant données deux bobines  et Â', sup* posons que Ton multiplie toutes leurs dimensions ainsi que le diamètre du fil enroulé sur elles, par le nombre A, en ayant soin de multiplier également par k la distance de leurs centres de figures. Désignons par Mi le coefficient d'induction mutuelle des deux bobines et par M* le coefficient d'induction des bobines amplifiées. Le coefficient d'induction mutuelle étant précisément égal au travail Ç, développé lorsque les deux bobines, traversées par Tunité de courant, se rapprochent de l'infini jusqu'à leur distance actuelle, il nous suffira de savoir comment varie Ci en fonction des dimensions et des distances finales des deux bobines, pour résoudre la question proposée.
,680 INDUCTION ÉtECTBO-M^GNÉTIOUB
: jOr, noi;^ avoQs vu (450) que le travail développé pendant le déplacement relatif des deux bobines d un système électro-dynamique, est proportionnel à la cinquième puissance desdiçiensions des deux bobine^, à là condition que ces dimensions linéaires ainsi que les distances initiale et finale des bobines, soient multipliées par le même nombre et qujB la densité du courant qui les traverse reste cônstaiite. '
Voyons maintenant quelle est Tinfluence du nombre de spires, les dimensions du système restant* constantes. Supposons que Ton coupe chaque bobine par un plan diamétral (fig. 268) et que Ton représente par la partie couverte de hachures l'épaisseur / du fil enroulé ; divisons cette partie hachurée en carrés de 1*°" de côté et désignons par Wi et n't le nombre de fils contenus dans l'"* de la section de chacune des bobines du système ; et par I et V les intensités des
Fig. 268
courants, qui les traversent. Les densités respectives des deux courants pourront être représentées par les produits nj, n[l\ puisque nous appelons densité de courant l'intensité totale du courant qui passe dans Tunité de section.
. Le travail produit par le déplacement relatif des deux bobines, étant proportionnel au produit ii' des densités de courant dans chacune d'elles, est donc proportionnel au produit niInîF et le travail 6i correspondant à 1 = 1 I' = 1, sera proportionnel à ninl.
Ainsi^ en résumé, le travail d est proportionnel ; d'une part à la S°* puissance des dimensions homologues des deux systèmes que l'on compare entre eux et d'autre part au produit ninj, ,. Il est donc en définitive proportionnel au produit nin[k^, k repré? .sentant le rapport des dimensions homologues des deux systènies.
Il en est donc de même des deux coefficients d'induction M et L*
(ftlAPITRB DEUXIÈMB 681
Nous allons montrer comment on peut, dans-plusieurs ca^. simples, trouver à l'aide du calcul, la valeur des coefficients d*induction de systèmes électro-naagnétiques qui ne contiennent pas de fer;
504. — Induction odutuello dé deux bobines concentriques de très grande longueur pat* rapport à leur diamètre. — La bobine inductrice, contenant ùri nombre de spires wt par unité dé' longueur, et étant parcourue par un courant I, donne naissance à un champ maghétique intérieur égal h iwnil (403)^*). Le flux total de force qui en résulte à rîntérieùr de l'a bobine, est égal à S96, S désignant la surface embrassée par la spire moyenne ; on a donc, en le désignant par 9
9 = 4itn,IS.
D'autre part, la /. e. m. développée dans une spîre de la. ^bobine induite, supposée concentrique à la bobine inductrice et de même longueur qu'elle, a pour expression
<B dï
Si on désigne par / là longueur commune aux deux bobines,- et par n[ le nombre de spires contenues dans r unité de longueur dô la bobine induite, le nombre total des spires qu'elle contient, a évidemment poui^ valeur nj. Chacune des spires induites étant le siège de la même f, e. m., on a, pour la valeur de la f. e, m.
totale E|,
d\ El = 4icnin|/S — j— • dt
Mais, le coefficient d'induction mutuelle M étant égal au quotient
on a, dans le cas de deux bobines concentriques/ .. ; .:...-.- ■ . M = 4irîîin',iS.
(1) On a, en effet (408, p. 545), en désignant par F Peffort exercé par le solénoïde de longueur indéfinie sur une masse magnétique pi placée dans son intérieur, F = iicniln-. Si on fait |a = i, F devient ce qu'on appelle' l'intensité du champ magnétique.
68â INDUCTION ÉLBCTRO-MAGNÊTIQUB
ExBMPLE NUMÉRIQUE, — Supposous quc Ton ait
ni = 100, n; = 100, / = 20^*», S = 50«»«.
Ces dimensions correspondent à deux bobines concentriques ayant un diamètre moyen d'environ 8 c. m. et dont les fils auraient chacun un peu moins de l"" de diamètre, la couche de fil ayant sur chacune d'elles une épaisseur d'environ 1 c. m.
On trouve en appliquant la formule,
M = 4x3,i4xi00x 100X20X50 = 125600000.
Ce nombre étant exprimé en unités C. G, S., doit être divisé par 10' pour être exprimé en quadrants ; il en résulte
M = 0,1256 quadrant. .
Cela signifie que si Tintensité du courant inducteur augmentait ou diminuait régulièrement d'un ampère dans une seconde^ la f, e, m. développée dans rinduit aurait une valeur négative ou positive égale à 0,1256 volt.
Si oa voulait calculer le coefficient de self-induction L, de la bobine inductrice, on serait conduit à trouver le même nombre que pour le coefficient d'induction mutuelle des deux bobines parce que le flux de force total aurait la même valeur dans les deux cas ainsi que le nombre de spires par unité de longueur.
