PROBLÈMES SUR LES COURANTS ALTERNATIFS
545. — Limite de Tintensité d'un courant sinusoïdal dont la f . e. m. maxima est proportionnelle à la fréquence. — Nous allons chercher la limite de l'intensité d'un courant alternatif dont la /". e, m. maxima est proportionnelle au nombre d'alternances, comme cela a lieu avec les machines industrielles. Pour cela, reprenons l'équation
I = ' — sin(27tn(-4- «) ;
on voit immédiatement que si on pose
et si on augmente indéfiniment le nombre n de périodes par seconde, le courant I tendra vers 0.
Mais si nous supposons que E^ soit proportionnel à n, c'est-à-dire
que Ton ait
Eo = neo,
€q étant la f, e, m, maxima développée pour n = 1 ; on aura
que Ton peut écrire
I = /' sin(27rnf + <?).
Si on fait alors tendre n vers Tinfini, le courant I tendra vers la limite
^ sin(2icn/-f-(p), c'est-à-dire quHl deviendra indépendant de la résistance ohmique.
546. — Limite du travail produit dans l'unité de temps par un courant sinusoïdal dont la f. e. m. maxima est proportionnelle à la fréquence. — Dans l'expression du travail produit par un courant alternatif pendant une période
remplaçons E et 1 par leur valeur en fonction de Eo; le courant étant supposé sinusoïdal nous aurons, pour la valeur du travail pendant une période
El
WJ = r . "\ ,^, sinâTOf sin (2irn<- ^)dt ;
en faisant l'intégration et en tenant compte de la relation
il vient
2«(R»H-4irWL«) '
GflAPITRE TROISIÈME
ce travail étant répété n fois dans Tunité de temps, on a ^, ^__RES__
Si on pose, comme dans le numéro précédent,
Eq = we^.
on aura
Wl
en faisant tendre n vers l'infini, la limite de cette expression sera Mais le couraut limite a été trouvé égal à
SttL
sin (Sttw^ — <p);
le travail est donc bien encore égal à la moitié du produit de la résistance du circuit, par le carré de l'intensité maxima pendant une période, résultat que nous avons déjà trouvé.
547. — Analogie qui existe entre les équations qui régissent les courants sinusoïdaux et celles qui représentent certains phénomènes mécaniques. — Considérons une masse M assujettie à se mouvoir suivant la droite OM (fig. 281) ,et animée
Fig. 181
d un mouvement alternatif à l'aide d'une bielle très longue MA et d'une manivelle OA accomplissant n révolutions dans l'unité de temps.
En désignant par 6 Tangle que fait la manivelle à un instant
quelconque avecla droite OM ; par a la longueur de la manivelle; par X Tabscisse du point A, on a
X = a cos 6 = a cos 2irn/ ;
d'un autre côté, la vitesse V de M est égale à la projection horizontale de la vitesse de A, c'est-à-dire que Ton a
dx V = --7— = — 2i:na siii 2itwf ,
et en désignant par Vi le produit 2icna,
V = — Vi sin 21cw^ d'où
rfV
—7— = — 2i:nVi cos Sitn/.
at
Supposons maintenant que la masse M soit soumise à un efiort résistant proportionnel à la vitesse, on aura pour la valeur de l'effort à appliquer à M, en désignant par fi la résistance correspondant à l'unité de vitesse,
• rfV *
ou, en remplaçant V et -t— par leurs valeurs données plus haut,
F = —fiWi sin2tcw« — 2irwMVi cos2itwi.
Le travail à fournir pendant le temps dt a pour expression F\di = /"iV; sin* 27cni-f-27cnMVî sin 2'icnf.cos 2«wi et, pendant une seconde, ce travail aura pour valeur
£FWdt = jf,W\.
Le travail dépensé par seconde ne dépend donc que de Vi et nullement du nombre de périodes.
En posant
na = 0^
on trouve que la vitesse Vt est constante, de sorte que le travail dépensé par seconde est constant quelque soit n; mais il n'en est pas de même de l'effort appliqué au bouton de la manivelle par Tin-
