CHAPITRE TROISIÈME
Pour résoudre cette question, nous allons nous servir du théorème de Green que nous avons démontré en supposant que la force mise en jeu était la gravitation.
Il lious sera facile de l'appliquer aux forces électriques en procédant comme nous Tavons fait jusqu'à présent, c'est-à-dire en remplaçant le coefficient /, des forces gravifiques, par Tunité.
Soit a un élément de surface très petit appartenant à l'une des armatures d'un condensateur, BB' la seconde armature (fig. 47). Du point a comme sommet, décrivons un cône d'ouverture très petite, dont Taxe ac passe par le centre du petit élément elliptique c, intercepté par le cône sur l'armature BB'.
L'attraction mutuelle exercée entre les deux éléments de surface a et €, dirigée suivant la droite ac qui les joint, a pour expression :
ac
en appelant q et q' les quantités d'électricité dont sont chargés les éléments c et a.
En supposant que les armatures du condensateur soient chargées de l'unité de quantité électrique par unité de surface, et en désignant Télément c de l'armature BB' par ds et l'élément a par ds\ les quantités q et q' seront remplacées dans l'expression de la force, par ds et — ds\ De sorte que l'équation deviendra
ds.ds!
La force appliquée à l'élément «, peut être décomposée en deux autres perpendiculaires entre elles : l'une, al dirigée dans le plan même de la première armature ; nous n'avons pas à nous en occuper. La seconde ak perpendiculaire à l'armature, est précisément celle
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dont nous cherchons la valeur ; elle est égale à /cos «, en désignant par a Tangle fak. Désignons cette force ak par /n, et remplaçons / par sa valeur, nous avons :
fn — r-COSa.
Elevons maintenant au point c une perpendiculaire c/, qui représente en grandeur et en direction la composante normale à BB' de la force /. Cette composante a pour expression /cos dcj ; mais Tangle dcj est égal à Tangle «, donc la composante cj est égale à ;
ds . ds'
— T— cos a, x^
c'est-à-dire à la force /«.
Il est facile de voir, en se reportant au théorème de Green (36}, que cette expression n'est autre que celle du flux de force qui est :
M.rf^.cos.a
/•^ = /-COSa =
à la condition de remplacer M par ds'.
La force totale appliquée en a est donc égale à (a somme de tous les flux de force émanant de Tarmature BB'. Or, le théorème de Green nous apprend que, lorsque la masse agissante M (ici l'élément a) est située sur la surface même d'où émanent les flux de force, le flux total a pour valeur
c'est-à-dire la moitié de ce qu'il serait s'il était complètement enveloppé par la surface. C'est le cas présent, puisque l'armature BB' est un plan indéfini et que le cône décrit du point a comme sommet, intercepte une surface égale à 2Tt sur la sphère de rayon 1 .
La force totale F,, a donc pour expression :
F„ = 2rrf.ç'.
Mais nous avons supposé que les deux armatures étaient chargées de Tunité de quantité électrique par unité de surface ; s'il en était autrement, il serait facile de trouver la valeur de F„. L'attraction mutuelle de deux éléments de surface ds et ds', au lieu d*étre représentée par le produit
di^M
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deviendrait égalé à
désignant la quantité d'électricité par unité de surface.
On aurait donc ainsi :
F^ = 2ir8* ds'.
124. — Valeur de la densité électrique. — Cherchons maintenant la valeur de 8 lorsqu'on connaît la différence de potentiel V des deux armatures du condensateur.
L'équation
Q = cV
donne, en remplaçant la capacité c par sa valeur, dans un condensateur plan de surface S, dont les armatures sont à une distance x :
d'où
Mais la charge 8
par unité de surface est égale à
donc
4irj?
Remplaçant 8 par
sa valeur dans l'équation de F„,
il vient
Si Télément ds', au lieu d'être infiniment petit, avait une valeur assez petite pour que l'on pût toujours admettre que le cône décrit d'un de ses points comme centre eût une ouverture peu différente de 2i:, la formule serait encore applicable. Nous adopterons donc pour la valeur de Fn, lorsque l'élément de surface attiré est représenté par a, l'expression
de laquelle on tire
V = 2av
L'électromètre absolu de William Thomson (Lord Kelvin) est basé sur l'emploi de cette formule. Nous le décrirons en parlant des instruments de mesure.
Il est à peine nécessaire de rappeler que dans toutes les formules que nous venons d'établir, les forces sont exprimées en dynes, les longueurs en centimètres, les surfaces en centimètres carrés, et que les potentiels, pour être traduits en volts, doivent être multipliés par le nombre 300.
