CHAPITRE TROISIÈME i

127. — Calculons maintenant la valeur de la force dont nous venons de constater Texistence nécessaire. Nous n'avons pour cela qu'à appliquer Téquation générale qui nous a permis de calculer la force attractive mutuelle des deux armatures d'un condensateur plan (121)

^ ^ dx

Cette équation est toujours vraie pourvu que la variation infiniment petite de capacité rfC soit due au mouvement d'un corps dont un des points, en se déplaçant de la quantité dx^ exigera l'application en ce point de la force F mesurée dans la direction du déplacement dx. Elle s'applique donc à tous les cas où la variation de capacité du condensateur est due : soit au déplacement relatif des armatures (problème que nous avons déjà traité) ; soit à l'introduction d'un diélectrique dans l'intervalle qui les sépare. C'est ce dernier probli'^me que nous allons étudier.

Soit A/V et BB' (flg. 48) les deux armatures d'un condensateur à lame d'air dont nous représenterons l'écartement par a\ DD' la lame diélectrique d'épaisseur a et dont le pouvoir inducteur spécifique est k.

^^^^^^^ÎD'Td

v/////////////7/Avyy//^^^

Fig. 48

Désignons par / la largeur des armatures et de la lame DD' dans le sens perpendiculaire au plan de la figure.

Si on fait avancer horizontalement la lame DD' dans le sens de la flèche d'une quantité .r, la capacité de l'ensemble augmentera d'une quantité c égale à la différence entre la capacité d'un condensateur à lame d'air d'épaisseur a, de longueur x^ de largeur /, et celle d'un second condensateur également à lame d'air de longueur j*.

de largeur /, et dont Tëcart entre les armatures serait égal à Tépaisseur totale des couches d'air comprises entre les armatures et le diélQctrique, augmentée d'une épaisseur d'air équivalente à celle du diélectrique.

Or, l'épaisseur d'air totale comprise entre les armatures et la lame est égale à a — d\ l'épaisseur d'air équivalente k celle du diélec-

trique a pour valeur t-; donc l'épaisseur de la couche d'air de ce second condensateur serait

et l'accroissement de capacité aurait pour expression, en appliquant la formule générale des condensateurs plans

Ix Ix

On trouve en différentiant par rapport à x

dC l r k Jl^l

dx 4ti \ka — {k — i)d a j

La valeur de la force F est donc

2 dx

- 81: LA-a — (A — i)d a j

Si l'épaisseur de la lame DD' était égale à a, c£st-à-dire si elle remplissait complètement l'intervalle des deux armatures, on aurait

{k-i)l^ STza

On voit que cet effort est constant, en raison inverse de a, et proportionnel à l'excès du pouvoir inducteur de la lame sur celui de l'air.

128. — Si au lieu d'une seule lame diélectrique DD', on suppose qu'il en existe deux collées bout à bout de façon que l'arête D' constitue leur ligne de séparation et si, pour plus de généralité, on admet

CUAPITRE TROISIÈME 137

qu'elles soient plongées dans un milieu autre que Tair, on arrive à la formule suivante ^^^

Sr \{a - rf)A, -f- rfi-' (a — d)Ai 4- dk]

dans laquelle kijki,k\ désignent respectivement le pouvoir inducteur de la lame DD', le pouvoii^inducteur de la seconde lame (non représentée sur la figure) située dans son prolongement, et le pouvoir inducteur du milieu gazeux ou liquide dans lequel l'appareil est plongé.

11 est facile de voir d'ailleurs, que Tensemble des lames diélectriques n'est soumis à aucun effort dans le sens perpendiculaire au plan des armatures, parce qu'un déplacement des lames dans ce sens n amènerait aucune variation de capacité et que par conséquent rfC

fie étant nul pour une valeur quelconque de dx, -7- est également nul

ainsi que la force F qui lui est proportionnelle.

Il serait toutefois plus exact de dire que la résultante des forces normales au plan des lames diélectriques est nulle, que de dire que ces lames ne sont soumises à aucune force, et ce n'est pas simplement le désir d'employer des expressions absolument correctes qui nous fait faire cette remarque; car une force normale au plan de la lame diélectrique, ne pouvant émaner que des armatures, aurait pour conséquence nécessaire l'existence d'une force égale et contraire appliquée aux armatures, et aurait ainsi pour effet de modifier leur force attractive mutuelle sans que la lame diélectrique parût soumise à aucune force normale. Or, nous verrons bientôt que Tintroduction d'une lame diélectrique entre les armatures d'un condensateur, modifie beaucoup leur attraction apparente.

Pour terminer ce qui est relatif à Teffort longitudinal dont nous venons de donner l'expression, nous ajouterons que si dans la formule générale on suppose que l'épaisseur d des lames diélectriques est

(1) Pellat. Force agissant à la surface de séparation de deux diélectriques. — Comptes rendtts de l'Académie de$ Sciences, Tome 419, page 675.

égale à Fécartement a des armatures, la valeur de F devient

et que mise sous cette forme, elle a été, de la part de M. Pellat, lobjet de vérifications expérimentales qui en ont démontré l'exactitude»

129. — Influence d'un diélectrique sur Tattraction mutuelle des armatures d'un condensateur. — L'introduction d'une lame diélectrique modifie profondément l'attraction mutuelle des armatures d'un condensateur à lame d'air ainsi que nous allons le voir en appliquant encore la formule

2 da

dans laquelle nous supposons maintenant que le déplacement infiniment petit da, est imprimé à Tune des armatures perpendiculairement à son plan. Lorsque l'intervalle compris entre les deux armatures ne contient que de l'air dont le pouvoir inducteur spécifique est considéré comme égal à 1, cette formule donne, en conservant les mêmes notations que dans le problème précédent

G = d'où

4ita

dC S da ~ 4ita*

SV*' i'>

Sira»

formule déjà établie précédemment (124).

Introduisons maintenant entre les armatures une lame diélectrique d'une étendue au moins égale, de façon à les séparer entièrement, la

(1) La formule du n© 124 à laquelle nous renvoyons le lecteur, est la suivante :

aV«

dans laquelle a et j; représentent respectivement les quantités désignées par S et par a dans la formule actuelle.