CHAPITRE TROISIÈME

une méthode basée sur le même principe, réalisé d'une manière différente, que M. Pellat a mesuré le pouvoir inducteur des solides et des liquides.

130. — Valeur du Flux total de Force qui traverse le diélectrique d'un Condensateur. — La connaissance de la force attractive qui existe entre les deux armatures, permet de trouver facilement le flux total de force qui traverserait un plan situé dans leur intervalle, puisque le flux total est égal à la force totale qui solliciterait ce plan perpendiculairement à sa direction, sHl était chargé de l'unité de quantité par unité de surface. Or, cette force est indépendante de la distance du plan aux armatures, comme nous l'avons vu en cherchant l'expression de l'attraction mutuelle de deux armatures chargées d'une quantité constante d'électricité {I2i), et elle est proportionnelle à la densité électrique de la chai'ge du plan, celle des armatures restant inaltérée. Il suffit donc, pour trouver la valeur du flux total de force, de diviser la force totale due à l'attraction mutuelle des deux armatures, par la densité électrique de la charge de Tune d'elles; on a ainsi, en désignant le flux total de force par 5 ; l'attraction mutuelle des deux armatures par F ; leur surface par S et la charge totale de chacune d'elles par Q

F SF

tr =

Mais la force F a pour valeur, lorsque le diélectrique remplit presqu'exactement rintervalle compris entre les armatures

Mais on a

Q = CV C = T--J. (Capacité d'un condensateur plan)

4ixrf

Donc

Mais on n'obtient ainsi que la moitié du flux total qui traverse le plan, car ^ représente ici l'attraction ou la répulsion exercée par une des armatures seulement, sur le plan chargé d'une unité électrique (de signe quelconque mais invariable une fois choisie) par unité de surface ; il faut y ajouter la répulsion ou l'attraction numériquement égale à 3», exercée par la seconde armature. On a donc finalement, en désignant le flux total par 29*

d id\

équation importante que nous retrouverons dans les phénomènes magnétiques.

131. — Transmission du travail au moyen de deux condensateurs à capacité variable. — Revenons maintenant à la question traitée au n** 116 et cherchons la valeur du travail mécanique, positif ou négatif, développé par chacune des armatures mobiles des deux condensateurs. Supposons d abord que les deux condensateurs AB, A'B' aient leur capacité maxima et qu'on mette les deux conducteurs qui les réunissent en rapport avec une source d'électricité qui fournit aux armatures A et B du premier, A' et B' du second, une charge n-Q — Q, -+-Q' — Q'. Nous admettons que les condensatours sont identiques, de sorte que leur capacité maxima C a la même valeur ainsi que leur capacité minima c, il en est de même par conséquent de la quantité d'électricité Q = Q' que chacun d'eux reçoit de la source dans la position du maximum de capacité.

La quantité totale d'électricité fournie par le réservoir, lorsqu'ils ont tous deux la capacité maxima C, est donc égale à 2Q, et la difi'érence de potentiel entre les deux armatures A, B, A', B' a pour valeur -p-

Ceci posé, imprimons aux armatures supérieures des mouvements alternatifs de même amplitude mais non simultanés, de façon que la capacité de chacun des condensateurs oscille périodiquement entre C et c, les phases de ce mouvement n'étant pas concordantes, comme

CUAPITRE TROISIEME

le montre le diagramme ci-contre (fig. 49) dans lequel on a porté sur Taxe des x des longueurs égales représentant des unités de temps, et sur Taxe des y des longueurs proportionnelles à la capacité. La courbe représentative de la capacité de chaque condensateur

Fig. 49

est ainsi figurée par un tracé en traits pleins pour le condensateur A'B' et en traits ponctués pour AB.

On voit que la période du mouvement de chaque armature se décompose en quatre phases au bout desquelles les deux capacités ont repris les valeurs respectives qu'elles avaient au commencement. 11 est facile de trouver la quantité d'électricité, la différence de potentiel et l'énergie potentielle de chaque condensateur à la fin de chacune de ces phases, au moyen des formules démontrées (115).

Mais il n'en est pas de môme du travail mécanique développé par chacune des armatures mobiles. Nous n'avons en effet traité jusqu'à présent que deux cas : celui d'un condensateur à charge constante et celui d'un condensateur à potentiel constant. L'ensemble des deux appareils constitue bien ici un condensateur à charge constante, mais la charge et le potentiel de chacun d'eux varient à la fois, de sorte que le travail mécanique développé au bout d'une période, nul si on considère leur ensemble, pourrait très bien avoir une valeur numérique différente de zéro si on considère chacun d'eux en particulier. C'est là un point très important à constater, parce que s'il est exact, on réaliserait ainsi une véritable transmission de travail mécanique.

Lexpression du travail mécanique donnée au n° 120 va nous

i44 ÉLECTRICITÉ STATIQUE

permettre de résoudre ce problème. Cette expression

s'applique au travail mécanique infiniment petit développé par Tarmature mobile d'un condensateur de capacité variable et donne par intégration .

Mais les équations du n° 115 font connaître la différence de potentiel V des armatures de deux condensateurs de capacités c et c' communiquant entre eux. On a £n effet

Q étant la charge totale collective des deux appareils qui est invariable dans le problème actuel. En remplaçant V par sa valeur, l'expression du travail mécanique devient

' Pour trouver la valeur de cette intégrale, il faudrait connaître la relation analytique qui existe entre c et c\ ou entre chacune d'elles et une troisième variable telle que le temps, comme nous Tavons supposé sur notre diagramme.

Le cas le plus simple, est celui où on suppose que la capacité (^ de l'un des condensateurs reste constante pendant que la capacité de Tautre passe de la valeur minima r à la valeur maxima C. L'intégration peut se faire immédiatement et donne

ou G =:

2 (C-+-c')(c-hc'i

132. — Voici maintenant un tableau détaillé des valeurs de la charge, du potentiel, de Ténergie potentielle et du travail mécanique de chaque condensateur, correspondantes à chacune des quatre phases d'une période. Nous avons représenté par 2Q la charge totale collective des 2 condensateurs.