II

Évidemment ces résistances partielles s'ajoutent, et la résistance totale R de la pile est égale à leur somme, d'où

Soit, en outre, cf , la résistance du conducteur inter polaire C.

Le courant fourni par chacun des coiiples de la série ne peut circuler qu'à la condition de surmonter la somme de ces résistances partielles ; les intensités des quatre courants partiels seront donc :

Pour le couple V t =3

Pour le couple V i' =»

Pour le couple V". ... t" =

Pour le couple V" . . . i"' =

Ces courants, marchant tous dans le même sens, se superposent et s'ajoutent; l'intensité I du courant total sera donc nécessairement égale à la somme des intensités des courants partiels ; d'où

e+ e' + fl" + fl'"

Faisant E = e + e' + e" + e!'\ l'équation précédente devient

R + d Rar conséquent, lorsque des couples, égaux ou inégaux^

ASSOCUirON DES œUPLBS. 99

sont associés eu pile ou en série, rintensité du courant total est égale à la somme des forces électromotrices par*tielles des couples divisée par la somme de leurs résistances partielles, plus la résistance du conducteur interpolaire. 11 en résulte encore que la force électromotrice E d'une pile composée d'un nombre quelconque de n couples, égaux ou inégaux, est égale à la sonune des forces électromotrices partielles de tous ces éléments; d*où E « e' + e" + $'" -|- . . . -|- e«.

SU* — Assoeiatioii en opposition.

Soient V, V (Fig. 306), deux couples quelconques. A l'aide (lu fil métallique C réunissons les deux |)ôles |)osi-

Fig. 306.

tifs, et mettons de même les deux pôles négatifs en communication au moyen du galvanomètre G. Évidemment

ces deux couples tendent à établir, dans le circuit, deux ox)urants de sens inverses. Soient :

e, la force électromotrice du couple V ; e\ la force électromotrice du couple V; R, la résistance totale du circuit, égale à la somme des

résistances partielles.

L'intensité / du courant du couple V serait

L'intensité i' du courant du couple V serait

Il s'agit de déterminer la valeur 1 de l'intensité du courant résultant de ces deux courants de sens inverses.

1" Supposons que ces deux courants opposés traversent à la fois le circuit. — L'effet produit par ces deux forces de sens contraires sur l'aiguille du galvanomètre est égal à la différence des déviations correspondantes aux actions individuelles et séparées des deux couples V, y dans ce même circuit. L'intensité I de la résultante de ces deux courants peut donc être représentée par la différence de leurs intensités; d'où

L'effet final ne peut évidemment être nul qu'à la condition que les deux courants partiels soient égaux. Dans tout autre cas, les effets extérieurs se manifestent dans le sens de celui des deux courants dont l'intensité est la plus grande.

ASSOCIATION DES COUPLES. iOl

Les deux fractions qui représentent les intensités des deux cx)urants partiels ayant le même dénominateur, l'expression de rintensité de refTet final peut se mettre sous la forme suivante :

D*où il suit que l'effet résultant de deux courants opposes dans un même circuit est égal à celui que produirait, dans le même circuit, un courant dont la force électromotrice serait la différence des deux forces électromotrices des courants opposés. Il est évident d*ailleui*s que œt effet final ne peut être nul que lorsque les forces électromotrices e, e' des deux courants opposés sont égales.

2* On peut admettre, et cette manière de voir est pour nous rexpression de la vérité, que le circuit n>st pas traversé par deux courants de sens inverses, mais par un seul courant dont le sens et Fintensité représentent Faction finale des deux électromoteurs opposés.

On considère alors que, dans le même circuit, Félectricité étant sollicitée par deux forces électromotrices de sens contraires e,e\ tout doit se passer nécessairement comme si ces deux forces étaient remplacées par une force unique égale à leur différence, e — e', et agissant dans le sens de la plus gi^ande. L'effort des deux électromoteurs V, V, se résume donc en rétablissement d'un courant unique de sens déterminé, et dont l'intensité I est

Il est remarquable de voir que, quelle que soit la If. 6.

théorie adoptée, nous arrivons toujours à représenter Teffet final de deux couples en opposition par une même expression générale, et à cette conclusion, que cet eflfet ne peut être nul qu'autant que les deux forces électromotrices sont égales.

Ce que nous avons dit de deux couples en opposition s'applique également au cas où l'on opposerait une pile à une pile, ou une pile à un couple. L'intensité de Yeffet final , ou mieux du courant unique résultant est, dans tous les cas, égale au quotient de la diflférence des forces électromotrices des deux appareils en opposition par la résistance totale du circuit, c'est-à-dire par la somme des résistances des deux électromoteurs eux-mêmes et des fils qui servent à mettre leurs pôles en communication.

Le cas de deux couples ou de deux électromoteurs quelconques en opposition a été, pour la première fois, analysé avec beaucoup de soin par M. J. Regnauld (1). Après avoir exposé, d'une manière très lucide, les principes sur lesquels reposent les formules représentatives de l'intensité du courant résultant, il a montré que l'opposision des électromoteurs fournit un moyen très simple de mesurer leurs forces électromotrices. Nous exposerons plus loin, dans le cinquième article de ce chapitre, cette méthode très exacte , introduite dans la science par M. J, Regnauld.

(I) Comptes rendus des séances de l'Académie des sciences ^ 1854, \. XXXVill, p. 38.

ASSOaATION DES COUPLES. 103

$ ZXX.— Association en batterie.

Étant donné un certain nombre de couples voltaïques, au lieu de les disposer tous en une seule série, on peut les partager en séries parallèles contenant chacune un nombre ^al de couples, et faire communiquer toutes ces séries par leurs pôles de même nom. On forme alors une batterie voUaique. Quelle que soit la disposition adoptée, du moment que le nombre des couples associés est invariable, c'est toujours la môme étendue superficielle de métal positif qui reste exposée à Faction du liquide actif. Cependant, suivant la nature des effets à produire, ou plutôt suivant la valeur de la résistance de Tare interpolaire, rintensité du courant fourni par un nombre déterminé de couples dépend de la disposition qu'on leur donne.

Â. liCS couples assMielés sont égaux. — Du moment

que les couples sont égaux, la nature et les dimensions des éléments constitutifs métalliques et liquides, la force électromotrice et la résistance, doivent être les mêmes pour chacun d'eux. Soient :

E, la force électromotrice de chaque couple ;

R, la résistance de chaque couple ;

r, la résistance du circuit interpolaire ;

tn, le nombre des couples.

Lorsque tous les couples sont rangés en une seule série, l'intensité I du courant est

(1) i^Ja^.

Dans ce cas, la force électromotrice de l'appareil et les tensions polaires ont leur maximum de valeur ??/E. On dit alors que les couples sont disposés en tension.

Avec ces m couples formons n séries parallèles ; chacune d'elles se composera nécessairement de '- couples.

— Les tensions polaires de ces séries sont les mêmes. Or, la communication établie entre des corps en équilibre de

Fig. 307.

tension ne peut déterminer aucun mouvement électrique. Lors donc que nous mettons (Fig. 307) toutes ces

séries en communication par leurs pôles de même nom, la distribution de l'électricité reste la même, et les extrémités polaires A, B, de la batterie, présentent la m^me différence de tension que les deux pôles de Tune quelconque de ces n séries prise à part.

Quand le circuit est fermé à Taide de Tare ACB, la force électromotrice delà batterie est la même que celle d'une des séries prise à part ; et, puisque chaque série se compose

(le - couples, la force électromotrice de la batterie est n

Chaque série est composéede— couples; par conséquent,

la résistance d'une série quelconque, considérée à part, est

-R. Mais les surfaces polaires de la batterie sont reliées n

par un nombre n de séries égales et parallèles, qui toutes livrent passage au courant. La conductibilité de \si batterie est donc n fois celle de Tune quelconque des séries dont elle est composée , et la résistance de cette batterie est représentée par l'expression

;nR

Ces valeurs de la force électromotrice et de la résistance conduisent à l'expression suivante de l'hitensité I' du ex)urant de la batterie :

De la comparaison de cette dernière formule et de la formule (1), il résulte que la force électromotrice et les tensions polaires sont plus faibles dans la batterie composée de n séries (ïe — couples chacune, que dans la pile

composée d'une seule série de m couples. Mais, d^autre part, la résistance de la batterie est plus faible que celle de la pile composée d'une série unique de ces m couples. Or, comme l'intensité du courant d'un appareil quelconque n'est jamais que le rapport de la force électromotrice à la résistance du circuit entier, le rapprochement des deux formules (1) et (2) montre que, pour certaines valeurs de la résistance r du circuit interpolaire et du nombre n des séries parallèles de la batterie^ l'intensité l' du courant de cette batterie peut être plus grande que l'intensité I (lu courant de la pile contenant le même nombre m de cou- , pies associés en une série unique.

Si, maintenant, nous considérons la batterie parallèlement à ses faces polaires A, B, nous la trouvons composée de — rangées perpendiculaires à la ligne des pôles

contenant n couples chacune. Or, tous les couples d'une même rangée sont évidemment en équilibre de tension ; par conséquent, chacune de ces rangées représente, en réalité , un grand couple dont les surfaces métalliques auraient une étendue égale à n fois celle des éléments métalliques de chacun des couples employés. La batterie elle-même peut être considérée comme formée par la

réunion en séiie de - de ces grands couples. Mais nous

avons vu (t. I", p. 416) que la quantité d'électricité mise en njouveraent dans un temps donné dépend de Vétendue des surfaces mélalliques des couples. Il en résulte que la batterie voltaïque est un électromoteur, qui fournit une quantité considérable d'électricité circulant sous une faible tension. Quand des éléments voltakiues sont associés en batterie, on dit que ces couples sont disposés en quantité.

Nous avons trouvé, pour expression de l'intensité du couraut de la batterie :

d'où

mnE

Cette dernière formule nous permet de déterminer, dans chaque tas particulier, les conditions à remplir et le mode d'association à adopter, pour que le courant d un électromoteur composé d'un nombre déterminé m de couples égaux atteigne le maximum d'intensité.

En effet :

Dans l'équation (3), la force électromotrice E et la résistance R de chaque couple, la résistance r du circuit interpolaire et le nombre m de couples employés, ont des valeurs constantes; la seule quantité variable est le nombre n des séries parallèles formées avec ces m couples. Par

conséquent, l'intensité V du courant de la batterie atteint son maximum, quand nous avons

d'où

De cette dernière relation découle cette proposition fondamentale :

Pour que le courant fourni par m couples ^aux ait son maximum d'intensité, le nombre n des séries parallèles formées avec ces couples doit être tel , que la résistance

totale — - de Vélectromoteur soit égale à la résistance r

du circuit interpolaire. Faisons sur la valeur de r deux hypothèses extrêmes.

1° Supposons que la résistance de ce circuit interpolaire soit égale à la somme des résistances des m couples associés. Dans cas, r = wR ; en remplaçant r par sa valeur dans réquation (/i), nous trouvons n = 1. — Ce résultat indique que, dans cette hypothèse, la meilleure disposition à adopter est d'associer les m couples en tension, c'est-à-dire d'en composer une série unique.

Il est facile de voir, d'ailleurs, que si nous remplaçons, dans l'équation (2), r et n par leurs valeurs mR et 1, l'intensité du courant devient

wR -f mR '

Cette dernière formule est évidemment l'expression de Tintensité du courant d'une pile composée de m cou-

ASSOaATION DES COUPLES. 109

pies égaux, lorsque la résistance de cliaque couple c»sl U et (ju elle est fermée par un conducteur inter|)olain», dont la r(?sistance est égale à la somme wR des résistanc^'s d<» tous les couples de cette série unique, 2" Prenons un conducteur interpolaire dont la résis-

lance soit r= -; la substitution dans Téquation {l^] tn

lionne n:=zm, — Dans ce cas donc, pour obtenir le maximum d'intensité, il faut former, avec les m couples, m siTies A\m seul couple chacune, ou disposer tous l<»s couple en quantité ; en d'autres ternies, il faut ranger lou^ It's couples à côté les uns des autres, et les faire tous conn inuniquer par leurs pôles de même nom.

Comme vérification de ce résultat, remplaçons r et w par leurs valeurs dans l'équation (2). L'intensité du courant devient

Cette dernière formule est évidemment l'expression de l'intensité du courant d'une batterie de m couples disposés en une seule rangée et communiquant tous par leurs pôles de même nom, lorsqu'elle est fermée par un conducteur interpolaire dont la résistance est égale à celle de la batterie^ ou à la résistance R d'un couple unique divisée par le nombre m des couples associés en quantité.

Quelle que soit la valeur de la résistance r du conducteur interpolaire, l'équation [h] nous donne le n)oyen de déterminer le nombre n des séries parallèl(;s (ju'il faut

110 ÉIEÇTRICITK DYNAMIQUE.

former avec les m couples, pour que le courant ait son maximum d'intensité. Il est facile de voir que :

Ce nombre n de séries parallèles est inversement proportionnel à la racine carrée de la résistance r du conducteur interpolaire.

Et que, par conséquent, le nombre - de couples, dont •

se compose chaque série , est directement proportionnel à \2L racine carrée de cette résistance r du conducteur interpolaire.

Ainsi donc, pour obtenir le maximum d'effet avec un nombre de couples déterminé, on doit, suivant Içs cas, tantôt en former une série unique^- tantôt les disposer en séries multiples et parallèles communiquant toutes par leurs pôles de même nom ; avec la première disposition on a un appareil de tension^ avec la seconde on a une batterie voltaïque ou appareil de quantité»

Mais, dans le choix à faire entre ces deux modes d'association, il faut, avant tout, se préoccuper de la résistance du conducteur interpolaire. Le maximum d'intensité correspond toujours à la disposition, pour laquelle la rt'*sistance totale de l'électromoteur, pile ou batterie, est égale à la résistance de cet arc conjonctif.

La question que nous venons de traiter, delà meilleure disposition à adopter dans l'association d'un nombre dé terminé découplés égaux, se réduit évidemment à celle-ci:

La surface de l'élément zinc qui entre dans la construction d'une pile conservant la même étendue, vaut-il mieux découi)er le métal en plaques peu nombreuses et de grande surface , ou en plaques nombreuses et de faible surface '/

ASSOCIATION DBS COUPLIS. H!

Dans le premier cas, la pile se compose d'un petit nombre de couples à grandes dimensions ; sa résistance et sa force électromotrice sont faibles. La pile est alors un appareil de quantité^ et jouit de toutes les propriétés dos batteries voltaïques.

Dans le second cas, la pile se compose d*un grand nombre de couples à faibles dimensions; sa résistance et sa force électromotrice sont considérables. La pile est alors un véritable appareil de Unsion.

Supposons que nous ayons à notre disposition une plaque de zinc doût la surface invariable soit S.

Nous pouvons en former un seul couple. Appelant k la résistance spécifique du liquide actif, et D la distance des deux lames métalliques du couple , la résistance de ce gi*aiid couple sera

Nous pouvons découper le zinc en n plaques t'égales,

dont chacune aura - de surfece. Dans ce cas, la force élecn

tromotrice de chaque couple sera toujoui*s E, mais sa résistance deviendi*a

, D kl)

Par cxuiséquent, la l'ésistance totale II de la pile comix)sée de ces n couples associés en une série unique sera

fcD ,

F(Tinoiis cette pile avec un conducteur intorpolaire ilc résistanc/î r. Appelant I Tintensité du courant de la pile, nous aurons

Dans cette équation, la résistance spécifique k du liquide actif, la distance D des lames métalliques de chaque couple, la force électromotrice E de chaque couple et la surface totale S du zinc employé ont des valeurs constantes. La seule quantité variable est le nombre n des couples associés. Par conséquent, Tintensité 1 du courant atteint son maximum^ quand nous avons

c'est-à-dire, quand la résistance- ^o^«/e Rde la pile est égale à la résistance r du conducteur interpolaire.

Pour une résistance donnée r du circuit interpolaire, l'équation (5) fournit la valeur de n; elle permet donc de déterminer, dans chaque cas particulier, en combien de plaques il faut partager la grande surface de zinc S , ou de combien de couples il faut composer la pile pour obtenir le maximum d'effet. Cette équation montre encore que ce nombre n de couples \^v\q proportionnellement à la

racine carrée de la résistance r du circuit interpolaire. Par

g conséquent, la surface- de la plaque de zinc de chaque

couple varie en raison inverse de la racine carrée de cette résistance r du conducteur interpolaire.

ASSOCIATION DBS COUPLES. ilS^

De quelque manière que nous envisagions cette question, nous arrivons donc toujours à des conclusions identiques. — Appliquons les résultats de cette discussion à deux cas très différents par la nature des effets à obtenir.

Quand il s'agit de produire des phénomènes d'incandescence dans un conducteur métallique, la résistance de l'arc interpolaire est toujours très faible en comparaison de celle des liquides d'un élément voltaïque. Dès lors, il y a avantage à associer tous les couf^es en quantité , à les faire tous communiquer par leurs pôles de mémo nom. La force électromotrioe de l'appareil est faible ; elle reste ^ale à celle d'un couple unique. Mais, en raison de la résistance très petite du circuit, les conditions sont bonnes pour que le courant ait une intensité très grande. On obtient ainsi une quantité très considérable d'électricité circulant sous une faible tension. Dans ce cas, les couples en hélice (t. I, p. 304), qui sont des éléments voltaïques à très grandes surfaces, produisent de très beaux effets.

Il n'en est plus de même, quand la résistance du circuit interpolaire est très considérable. Supposons, par exemple, qu'on veuille obtenir des phénomènes lumineux. — Pour que l'arc voltaïque ait de l'éclat, il doit passer d'une surface polaire à l'autre une très grande quantité d'électricité ; il y a donc indication formelle de disposer les couples en séries parallèles formant batterie. — Mais, d'autre part, le circuit interpolaire est très résistant, et l)our que le courant ait de l'intensité, la force électromotrice de l'appareil doit être considérable. — Pour obtenir de beaux effets lumineux, il est donc nécessaii*e (l'assocuîr en tension un grand jiombre de couples à grandes

1*4 ÉI3CTRIC1TB DYNAMIQUE.

surfaces, ou de réunir en batterie plusieurs séries paral- IMes composées chacune d'un {^^nd nombre de couples à petites surfeces. — Pour un nombre donné de couples à petites surfaces, la formule (4) permet toujours de déterminer en combien de séries parallèles on doit les partager, pour obtenir le maximum à* effet.

Jusqu'ici nous n'avons parlé que des combinaisons voltaïques ou hydro-électriques. Quand il s'agit des appareils thermo-électriqufes , la force électrômotrice des éléments est tellement faible, que, quelles que soient la nature et la résistance du conducteur interpolaire, il y a évidemment toujours avantage à associer les couples en tension. D'ailleurs, même avec un nombre très considérable de couples associés en série , les courants thermoélectriques ne produisent jamais que de très faibles effets chimiques.

B. — ^ Les eonplês aMiocIés sont InégÉMX en fore«. —

Lorsque les couples associés en batterie ne sont pas de même force, l'analyse des phénomènes devient beaucx)up plus difficile. Sans aborder ici le problème dans toute sa généralité, il nous semble utile cependant de nous arrêter un instant sur le cas de l'association en batterie de deux couples inégaux.

Fig. 308. Soient 1 et 2 (Fig. 308) deux

couples inégaux réunis en A par leurs pôles jx)sitifs, et en B par leurs pôles négatifs ; soit en outre ACB un conducteur qui complète le circuit. Soient enfin :

ASSOCUTION DES COfJPlJS. 115

E', la force électromotrice du couple 1 ;

E", la force électromotrioe du couple 2 ;

r', la résistance de la portion ADB du circuit du couple 1 ;

f*'', la résistance de la portion ÂD'B du circuit du couple 2 ;

r, la résistance de Tare conjonctif ACB.

Considérons d'abord le couple 1. — Si ce couple agii^ sait seuly son courant se bifurquerait au point Â ; une portion suivrait le trajet ACB, et l'autre traverserait le couple 2 dans la direction AD'B. La résistance de cette

portion bifurquée du' circuit est — \^ ; la résistance

totale du circuit du courant du couple 1 agissant seul serait donc

rf' ^ r {r' + r') -f r' r" r+r" ■~" T+V' ^'

i>ès lors, l'intensité du courant fourni par le couple 1 st'i*ait

Les formules (2), (â) et f^) de la page 92, relatives aux courants dérivés, montrent que le premier terme du sec/)nd membre de cette équation représente l'intensité du courant du couple 1 dans le circuit partiel AD'B, t^t (jue le second terme du second membre de la même équation représente l'intensité du courant du couple 1 dans laiT conjonctif ACB. Mais, d'une part, la force électromotrioe dans une portion quelconque d'un circuit est égale

116 ÉLEcraiciTÉ dynamique.

au produit de l'intensité du courant dans cette portion du circuit par sa résistance propre ; d'autre part, nous savons que les deux portions du courant du couple l,qui passent l'un dans l'arc conjonctif ACB, et l'autre dans le circuit partiel AD'B, ont la même force électroraotrice. Si donc nous désignons par e' la différence de tension créée par le courant du couple 1 entre les points A et B, ou la force électromotrice de ce courant dans chacun des circuits partiels ACB, AD'B, nous aurons

E'rr"

Si, de plus, nous représentons par e/, la force électromotrice du même courant dans la portion BDA de son circuit, nous obtiendrons la valeur de cette force électromotrice partielle en multipliant l'intensité du courant par la résistance r' de BDA, et nous aurons

Il est facile de voir d'ailleurs, comme vérification de l'exactitude de ce calcul, que la somme de ces deux forces électromotrice^ partielles e' et ei, est égale à E', force électromotrice totale de ce couple 1.

Considérons maintenant le couple 2. — Si ce couple agissait seul, son courant se bifurquerait aussi au point A ; une portion suivrait le trajet ACB, et l'autre traverserait le couple 1 dans la direction ADB. La résistance totale du circuit du courant fourni par le couple 2 agissant sevl

serait donc — ^ r-^ , et son intensité totale

serait

rfy-\' r") + r' r" r (r' -f r") + r' r" * r (r' + r") + rV" '

Le premier terme du second membre de cette équation représente l'intensité du courant du couple 2 dans le circuit partiel ADB ; le second lenne du second membre de c-ette é([uation représente Tintensité du courant du couple 2 dans l'arc conjonctif ACB. — Appelant a" la force électromotrice de ce courant dans chacun des circuits partiels ACB, ADB, et ei' la forc^ électromotrice de ce courant dans le circuit partiel AD'B, nous aurons :

Mais les deux couples 1 et 2 agissent à la fois. Dès lors ces quatre forces électromotrices entrent en lutte, et de leur combinaison résulte l'établissement de ti^ois courants, un pour chacun des circuits partiels ACB, ADB, AD'B. Ce qui précède nous fournit le moyen de déterminer le sens et l'intensité de chacun de ces courants 7ésultants,

Au point A, les deux forces électromotrices e', e", agis-^

sent dans le môme sens pour pousser le courant dans

l'arc conjonctif ACB. L'intensité 1 du courant dans cet

arc ACB sera donc égale à la somme, e' + e", de ces