VS = A/H-B
il en résulte
(4) V = ^y—1 x H- Vt = Vt — ïi-yi x.
Les potentiels le long du fil varient donc en progression arithmétique ; si l'on élève en chaque point une perpendiculaire dont la longueur soit proportionnelle au potentiel correspondant, les extrémités de ces ordonnées seront en ligne droite.
Le flux d'électricité pendant l'unité de temps est alors
es
Or, l'étude de la décharge des batteries par les galvanomètres (528) a montré que l'intensité du courant, évaluée par la déviation d'une aiguille aimantée, est proportionnelle à la quantité d'électricité qui s'écoule pendant l'unité de temps. D'après cela, la quantité M peut être considérée comme représentant l'intensité galvanomôtrique du courant ; elle est proportionnelle
DES SOURCES D'ÉLECTKICITÉ. 451
à la différence des potentiels des extrémités du fil, en raison inverse de sa longueur, proportionnelle à la section et à un coefficient c particulier à chaque métal. C'est la loi d'Ohm.
L'expression — représente encore (418) la résistance du fil
considéré; elle pourrait être ici déterminée en nombres absolus, si l'on connaissait la différence des potentiels et le flux d'électricité, et l'on en déduirait la valeur absolue du coefficient de conductibilité. En désignant la résistance du fil par une seule lettre X, on a donc
Si le conducteur dont les extrémités sont aux potentiels \\ et V2 n'est pas cylindrique, l'intensité du courant est encore proportionnelle à la différence des potentiels, de sorte qu'elle peut être représentée par la même expression (5). On déterminera la résistance de ce conducteur, soit par le calcul, soit par expérience en le comparant avec un fil cylindrique.
957. Lorsque la perle par l'air n'est pas négligeable, il faut résoudre l'équation complète (2). Posons
es
il vient alors
= fi2Y.
dx1
L'intégrale de cette équation est
e désignant la base des logarithmes supérieurs, A et B des constantes qui restent à déterminer d'après les conditions du problème. On obtient ainsi
(«) ^=^—-jAe{ '-■* l ";J
Si les potentiels aux deux extrémités du fil sont égaux et de signes contraires , le second membre de cette équation se réduit au premier terme.
Si le potentiel est nul à l'une des extrémités, on obtient en faisant V2 = o,
958. État variable. — Enfin l'état permanent ne s'établit jamais d'une manière instantanée ; l'état variable qui le précède est déiini par l'équation générale (1) que l'on peut écrire
en posant
i cs Dans cette équation le potentiel V est une fonction de x et de t, qui tend à devenir une simple fonction de x à mesure que le temps augmente. En désignant par Y' la valeur qui correspond à l'état permanent, on peut écrire
V = V'-hU,
la fonction U tendant vers zéro à mesure que le temps augmente. Si l'on substitue cette expression dans l'équation générale (1)', en faisant attention que Y' est une fonction indépendante du temps et satisfait à l'équation
° - dx> P V ' Oîi obtiendra pour déterminer U l'équation
de même forme que la première, mais dans laquelle la fonction U est d'une nature différente, et cette circonstance rendra l'intégration plus facile.
Remarquons que b = y}$- et posons encore
DES SOURCES DfeCTRÏGITfc 45Ô
l'équation se réduit alors à
r// " ~ ' dx*
On obtient une intégrale particulière par une expression tle la
forme
W = cm'L (A sin mx -4- H cos nix) .
Si l'on cherche à vérifier l'équation proposée, on trouve que m' doit être égal à — ocrn-, ce qui donne
(8) W = e a K*mî/ (A sin mx -h B cos mx) .
Il faut maintenant préciser les conditions du problème. Supposons que le fil soit primitivement à l'état neutre, que l'extrémité où l'on place l'origine des coordonnées soit au potentiel Vp et que l'autre extrémité soit maintenue à un potentiel nul. On voit que pour t = 0, on aura, quel que soit x, V = 0, U = — V et W = — Y'. Pour l'une des limites x = 0, on aura, quel que soit le temps, V = Vt, U==0, W = o. Pour l'autre limite # = /, on a de même ¥ == 0, U = 0 et W = o.
En donnant à x les valeurs 0 et / dans l'équation (8) on doit avoir W = o, ce qui donne les conditions
R = o, et. sin?/*/ = o, d'où l'on déduit
ml = n-, ou m=.-r-i
n étant un nombre entier quelconque positif ou négatif. Il vient alors
W = ke v" sin -^ x,
et l'on obtiendra la solution du problème en faisant la somme de toutes les intégrales particulières de cette forme. Il suffît de donner à n des valeurs positives , car les solutions dans lesquelles n prend des valeurs égales et de signes contraires ne diffèrent que par le coefficient, de sorte qu'on peut les réunir. En désignant par Xn le coefficient qui convient à chaque valeur par-
ticulière de n, l'intégrale cherchée sera
n = oo u - y. i t Ut
sin-r- oo.
Pour déterminer les coefficients, nous remarquerons que, si t = o, la valeur de W est égale à — V, c'est-à-dire à une certaine fonction de #; posons
> Ansin -y-a? = — V = ©(#),
Cherchons d'abord à évaluer l'intégrale définie
?(//)sin-~WZ?/,
dans laquelle n' est un nombre entier positif. Cette intégrale se compose d'une somme de termes tels que
fl . nrai . n'rai .
kn j sin— p-sin— p dy.
On vérifie aisément que chacun des termes où les nombres n et n' sont différents est nul ; il ne reste donc que le terme dans lequel ces nombres sont égaux, ce qui donne
/ Tl'lZlI i IX II l
J ?(î/)sin -j^ dy — AH, j sin* -^ dy = Aw -.
Ainsi l'on a, pour une valeur quelconque de n,
Si l'on remplace maintenant y (y), ou — V, par sa valeur que donne l'équation (7), l'intégration ne présente pas de difficultés et l'on obtient
Portant cette valeur dans l'expression de An, et celle-ci dans l'équation (9), il vient
45 fi
sin —r- x.
et enfin
Il suffit maintenant d'ajouter à cette expression la valeur du potentiel V, qui convient à l'état permanent, et l'on obtient pour le potentiel V relatif à l'état variable
wV
pr
sm y x-
Lorsque la déperdition par l'air est négligeable , les coefficients b et (3 sont nuls; il reste simplement
sin-y-.^.
•jtrf' ,
La solution mathématique de ce problème avait été donnée par Laplace sous forme d'intégrale définie. Poisson (l) a indiqué cette solution en série en étudiant les lois de la propagation de la chaleur dans une barre conductrice.
