IV
m = — cas -7- .
an
On retrouve ainsi la formule élémentaire d'Ohm et Ton peut immédiatement interpréter, dans ce nouvel ordre de phénomènes, tous les résultats obtenus par la théorie pour la propagation de la chaleur dans les milieux conducteurs.
955. Supposons, par exemple, que le régime permanent soit établi dans un conducteur, de telle sorte que le potentiel en chaque point soit une fonction des coordonnées indépendante du temps. Considérons un élément cylindrique terminé à deux surfaces de niveau infiniment voisines et limité latéralement par des orthogonales ; prenons trois axes de coordonnées rectangulaires dont l'un, l'axe de x, soit parallèle aux génératrices du cylindre, c'est-à-dire à la normale aux surfaces de niveau. La quantité d'électricité qui entre pendant l'unité de temps par
l'une des bases ds du cylindre est égale à — cds -7-1 et celle qui
1 rdtjtfi Ànn.t t. LXXVltt, p. 506. — Aiinales de Chimie et de Physique, 5e série, t. XLÏ, p. S96:
s'écoule par la base opposée est égale a — cas I ^ -f- rt. -^ 1;
comme il n'entre et ne sort rien par les surfaces latérales, il reste dans l'élément de volume un excès d'électricité égal à
— cdsdx. Cet excès doit être nul si le régime permanent dx*
est atteint, il faut donc que l'on ait
dx1
D'autre part, les dérivées du potentiel, par rapport aux deux autres coordonnées, sont nulles, puisque ces axes sont parallèles au pian tangent à la surface de niveau, de sorte que l'on a aussi
d\ dX d\f ' dz
et, par suite,
d*\ d*\ dij- di-
On en déduit
d*X d*V , d*\ dx- d\f dz'2 "
Comme cette somme des trois dérivées secondes est en général proportionnelle à la densité électrique au point considéré (142), on en conclut que la densité électrique est nulle dans tout Vintérieur d un conducteur traversé par un courant permanent, chaque élément de volume renfermant des quantités égales d'électricités contraires, dans l'hypothèse des deux fluides. A la surface seulement du conducteur il y a une couche d'électricité libre, qui n'est pas en équilibre d'elle-même et qui produit les potentiels variables en différents points.
954. Propagation dans un fil cylindrique. — Le principe fondamental étant établi, tous les problèmes relatifs à la propagation de l'électricité dans un conducteur ne présenteront plus que des difficultés d'analyse; nous examinerons surtout le cas d'un conducteur cylindrique.
Quand un fil cylindrique, de diamètre très-petit par rapporta sa longueur, et placé de la même manière par rapport aux
corps voisins dans toute son étendue, est élecliïsé et en équilibre, la densité moyenne sur le contour d'une section normale est la même partout, sauf dans le voisinage des extrémités, et la distribution peut être considérée comme étant sensiblement identique à celle qui s'établirait si le fil était indéfini. Le potentiel, comme nous l'avons vu dans le calcul des condensateurs cylindriques (175), est proportionnel à la charge totale et en raison inverse de la longueur du fil; il est donc proportionnel à la densité électrique moyenne.
Supposons que, par suite d'une cause quelconque, la densité moyenne varie le long du fil en progression arithmétique, le potentiel, en un point situé loin des extrémités, sera encore proportionnel à la densité moyenne de la section correspondante ; en effet, si l'on enlève l'excès d'électricité qui se trouve d'un côté, jusqu'à la distance où les actions sont négligeables, pour le porter de l'autre à la même distance, la densité moyenne et le potentiel auront partout la même valeur qu'au point considéré. Enfin, si les variations de densité suivent une autre loi quelconque qui ne soit pas très-rapide, on peut admettre encore, au moins comme première approximation , que le potentiel eu chacun des points du fil est proportionnel à la densité moyenne correspondante.
955. Considérons maintenant un fil cylindrique de longueur /, de section s, dont les extrémités sont maintenues à des potentiels V4 et Y2, placé dans un milieu non absolument isolant, de sorte qu'il s'effectue par la surface une déperdition d'électricité qui n'est pas négligeable. Ce fil sera parcouru par un courant d'électricité allant de l'extrémité où le potentiel est le plus élevé V4 vers l'autre extrémité.
Les surfaces de niveau seront sensiblement des plans perpendiculaires aux génératrices, sauf dans le voisinage de la surface extérieure du fil, à laquelle les surfaces de niveau deviendront tangentes par des raccordements d'une très-petite amplitude. Le potentiel V sur chacun de ces plans P est, dans le cas général, une fonction du temps et de la distance x du plan considéré à un plan fixe parallèle.
Le flux d'électricité m qui s'écoule pendant un temps infiniment petit (U à travers la section correspondante au plan P a
pour expression
cZV
m = — es -y- dt.
dx
Le flux qui traverse une section parallèle P', à une distance dx de la première, est de même
A/V . dV\ u m = — es [ -: — ha. 7— ) dt .
\dx dx)
11 reste donc, de ce chef, dans le cylindre compris entre les deux plans, un excès d'électricité
d2V m — m' = es -y—. cLcd£.
D'autre part, la densité électrique sur la surface extérieure étant généralement très-faible, on peut admettre que la loi de Coulomb est applicable et que la déperdition est proportionnelle à la quantité d'électricité. Désignons par y ce que M. Gaugain appelle le coefficient de charge, c'est à-dire la quantité d'électricité nécessaire pour porter l'unité de longueur du fil à un potentiel égal à l'unité ; la capacité électrique du cylindre élémentaire considéré sera Yd#, la charge sera égale à yVc/x, et la déperdition pendant le temps dt pourra être représentée par b^Vdxdt. Enfin, l'excès d'électricité accumulé dans ce cylindre pendant le temps dt y produira un accroissement de potentiel correspondant dV, ce qui donne l'équation (l)
dV d2V
vdx -=- dt = es — ■ dxdt — byXdxdt,
ou bien
d2V b' v dV
^ ' dx"' es es' d t
Cette équation est identique, sauf la signification de certains termes, à celle qui a été donnée par Ohm.
956. État permanent. — Si le régime permanent est établi, les potentiels sont alors simplement des fonctions de œ; le sc-
(•) Ce raisonnement ne présente pas de difficultés dans l'hypothèse d'un seul lluide. Si l'on admet que le fil soit parcouru par deux courants d'électricités différentes et de sens contraires, il suffit de remarquer que l'élément de volume considéré éprouve par les surfaces P et P' une perte d'électricité négative et un gain d'électricité positive, et l'on arrivera à la même équation.
cond membre de l'équation générale est nul, et il reste
(2) ~ = ÎC V.
v ' dx? es
Supposons d'abord que la perte par l'air soit négligeable. Le coefficient b est alors nul, ce qui donne
On aurait pu écrire directement cette équation en remarquant qu'il ne peut pas s'accumuler d'électricité entre deux plans parallèles, de sorte que le flux qui s'écoule à travers une section quelconque du fil est constant, c'est-à-dire que la dérivée du potentiel est constante. En intégrant de nouveau, il vient
Pour déterminer les constantes A et B, on appliquera l'équation aux extrémités du fil, ce qui donne, en prenant l'une des extrémités comme origine des coordonnées,
