V. = A/-hB

il en résulfc

(4) v = !^..^+v. = V.-li-^x.

Les potentiels le long du fil varient donc en progression arithmétique ; si Ton élève en chaque point une perpendiculaii^î dont la longueur soit proportionnelle au potentiel correspondant, Ie^ extrémités de ces ordonnées seront en ligne droite.

Le flux d'électricité pendant l'unité de temps est alors

es

Or, l'étude de la décharge des batteries par les galvanomètres (5'i8) a montré que Tintensitë du courant, évaluée par la déviation d*une aiguille aimantée, est proportionnelle à la quantité d'électricité qui s'écoule pendant l'unité de temps. D'après cela, la quantité M peut être considérée comme repivsentanl l'intensité galvanométrique du courant ; elle est proportionnelle

à la diflérence des potentiels des extrémités du fil, en raison inverse de sa longueur, proportionnelle à la section et à un coefficient c particulier à chaque métal. C'est la loi d'Ohm,

L'expression — représente encore (418) la résistance du fil

considéré; elle pourrait être ici déterminée en nombres absolus, si Ton connaissait la différence des potentiels et le flux d'électricité, et Ton en déduirait la valeur absolue du coefficient de conductibilité. En désignant la résistance du fil par une seule lettre >M on a donc

Si le conducteur dont les extrémités sont aux potentiels V\ et V, n'est pas cylindrique, l'intensité du courant est encore proportionnelle à la différence des potentiels, de sorte qu'elle peut être représentée par la même expression (5). On déterminera la résistance de ce conducteur, soit par le calcul, soit par expérience en le comparant avec un fil cylindrique.

957. Lorsque la perte par l'air n'est pas négligeable, il faut résoudre l'équation complète (2). Posons

il vient alors

es

L'intégrale de cette équation est

e désignant la base des logarithmes supérieurs, A et B des constantes qui restent à déterminer d'après les conditions du problème. On obtient ainsi

DBS SOl'RGRS Df.LRCTRICITfi. 453

Inéquation se rMiiit alors «^

dVV ,rf|W dt ~''' dx"^

On obtient une intégrale parliculiërc par une expression de la lorme

W = (?"*' (A sin mx 4- B cos mx) .

Si Ton cliercho à vérilier Téquation proposée, on trouve que m' doit être é^al à — a'/n', ce qui donne

(8) W = p - ••'"■' (A sin inx -h B cos mx).

11 faut maintenant préciser les conditions du problème. Supposons que le fil soit primitivement à l'état neutre, que Textréinilé où Ton place l'origine des coordonnées soit au potentiel Vj, l'I que l'autre extrémité soit maintenue à un potentiel nul. On voit que pour / = o, on aura, quel que soit or, V = o, U = — V (.| w r= — V'. Pour Tune des limites a: = o, on aura, quel que soit le temps, V = \\, U = o, W = o. Pour l'autre limite or = /, on a de même V = o, U = 0 et W = o.

En donnant à x les valeurs o et / dans l'équation (8) on doit avoir \V = o, ce qui donne les conditions

B = 0, et sin7n/ = 0, doîi l'on déduit

ml = w-, ou m = -y»

n étant un nombre entier quelconque positif ou négatif. Il vient alors

tt«n«««

W = ke '* sin -^ x,

et Ton obtiendra la solution d(i problème en faisant la somme de toutes les intégrales particulières de celte forme. Il suffit de donner a n des valeurs positives , car les solutions dans Icî;qucUes n prend des valeurs égales et désignes contraires ne diffèrent que par le coefficient, de sorte qu'on peut les réunir. En désignant par A, le coefiîcient qui convient à chaque valeur par-

liculièrc de ?i, Tintégi^ale cherchée sera

Pour déterminer les coefficients, nous remarquerons que, si / = o, la valeur de W est égale à — V, c'est-à-dire à une certaine fonction de a:; posons

Cherchons d'ahord à évaluer l'intégrale définie

Jo ?(J')^^"n^^'.V'

dans laquelle nf est un nombre entier positif. Cette intégrale se compose d'une somme de termes tels que

A^ 1 sm -p sm — p dy.

On vérifie aisément que chacun des termes où les nombres n et ?i' sont différents est nul ; il ne reste donc que le terme dans lequel ces nombres sont égaux, ce qui donne

I 9(//|sm -y.' (hj = A„. I sin« -^ dy = A« -•

« Amsi Ton a, pour une valeur quelconque de n,

A« = -, I 9(!/)sni-^f///.

Si Ton remplace maintenant o(;/), ou — V, par sa valeur que donne Téquation (7), l'intégration no présente pas de diflîcullé:> et Ton obtient

Portant cette valeur dans l'expression de A^, et celle-ci dans l'équation (9), il vient

-""'t A=o wV + riV"^ smy.r,

.^■.^^^MH^i^xA.

et eiiGii

l . nr sin -y ^»

Il suffit maintenant d'ajouter à cette expression la valeur du potentiel V, qui convient à l'état permanent, et l'on obtient pour le potentiel V relatif à l'état variable

',i[t — jt) __ p — jiZ — .r)

U'T*aL-

-,nnV-f-3'/*

sm ,- X,

Loi^que la déperdition par l'air est négligeable , les coefficients 6 et 3 sont nuls ; il reste simplement

-";V^t . nz

sm-7-^.

La solution mathématique de ce problème avait été donnée par Laplace sous forme d'intégrale définie. Poisson (*) a indiqué Petto solution en série en étudiant les lois de la propagation de la chaleur dans une barre conductrice.