MAaltion du potentiel. — Propriété des dérivées

— Nous n'avons employé jusqu'à présent dans le calcul des phénomènes électriques que des considérations élémentaires, des raisonnements directs empruntés pour la plupart à Coulomb; mais on est bientôt arrêté dans celte voie, on ne peut évaluer ainsi les actions qui s'exercent entre deux corps électrisés que dans des cas tout à fait particuliers, et il n'est presque aucun phénomène de condensation dont on puisse rendre compte d'une manière entièrement satisfaisante. Il est donc nécessaire d'avoir recours à des méthodes de calcul plus générales.

L'action mutuelle de deux masses électriques infiniment petites m et m' est une force dirigée suivant la droite qui les joint; elle est répulsive ou attractive, suivant que ces masses sont de même signe ou de signes contraires et elle varie en raison inverse du carré de leur distance r ; on peut donc la représenter par

mm'

en regardant la force comme positive ou négative, suivant qu'elle est une attraction ou une répulsion, et prenant pour unité d'électricité une masse qui, agissant sur une masse égale située à l'unité de distance, produit une force égale à l'unité.

Considérons une masse d'électricité positive égale à l'unité située en un point P, et soumise à l'action de plusieurs niasses

THËORiG DES PHËNOMÈNES ÉLECTRIQUES. S05

infiniment petites, m, m\ m"... distribuées d'une manière quelconque. Appelons x, y, z les coordonnées du point P rapportées à trois axes rectangulaires, Ç, i^t C celles du point m, \, Vf ;' celles du point fn\ etc., r, r", r'',... les distances du point P aux différentes masses m, m', m'',...

Les composantes, parallèles aux axes de coordonnées, de la force que la masse m exerce sur le point P sont-

m Ç — X m tj — y m Ç — z

Les composantes X, Y, Z, parallèles aux axes, de la résultante F des forces exercées par toutes les masses électriques considérées sur Tunité de masse au point P sont donc

Y y^J-Té—y)^

135. Ces trois sommes s*étendent à toutes les masses agissantes et on peut les remplacer par une seule somme. On a, en eflet,

La distance r étant une fonction des coordonnées x, y, z du point Py les composantes X, Y, Z sont des fonctions des trois variables indépendantes x, y, z. En différentiant Téquation précédente par rapport à la variable x, on a

dr dr $ — x

dx r*rfx I

et, par suite,

-206 IRAITÉ DtLEGTRIClTÊ STATIQUE.

Considérons l'intégrale

JmA r

étendue à toutes les masses agissantes ; cette somme est aussi une fonction des coordonnées x, t/, z du point P, et Ton a

dx ^ dx

On en conclut

^ ' dx^ dy^ dz '

d'où le théorème suivant :

Th. I. Les composantes de V action exercée sur une niasse 1 d'électricité positive placée au point P, par l'ensemble des corps électrisés^ sont les dérivées partielles ^ prises en signes contraires^ d'une certaine fonction V des coordonnées du point P.

Les propriétés remarquables de la fonction V pour Tétude des forces qui varient suivant la loi de Newton ont été signalées pour la première fois par Laplace, et utilisées par Poisson dans ses Mémoires sur Vélectricité. Plus tard Georges Green (') montra tout le parti que Ton peut tirer de cette fonction dans Tétude de Télectricité et du magnétisme et la désigna sous le nom de fonction potentielle. Le travail de Green est resté longtemps inconnu et plusieurs des théorèmes généraux qu'il a établis ont été retrouvés par différents mathématiciens à Taide d'autres méthodes. Enfin Gauss a considéré la même fonction dans ses calculs sur l'attraction et Ta appelée le potentiel. M. Clausius conserve la dénomination de Green en réservant le nom de potentiel pour une autre fonction qui se déduit de la première, et plusieurs savants ont adopté ce langage ; cependant la plupart des électriciens^ surtout en Angleterre, appellent potentiel la fonction V, et cette dénomination paraissant consacrée aujour* d'hui par l'usage le plus général, nous la conserverons.

(*) An e8$ay ofthe application of mathématical analym lo Ihe thêoriet ofEiéc* iriciiy and Magnetiàm, Nottingham (1828). -^ Math, paper» of the laie G. Green. Ifouvelle édition. London (1871 )«

Tll£ORI£ D£S PllÉNOMÈiNES ÉLËCTRiQUKS. 207

i 7i6, «tarfaccs de nivean. — On appelle surface de niveau le lien d(*$ points pour lesquels le potentiel V a une même valeur. Par le point P passe une surface de niveau, et une seule, et il est facile de voir que la force qui s'exerce en ce point est normale à la surface de niveau. On sait, en effet, que la normale à cette surface au point P fait avec les axes des coordonnées des angles dont les cosinus sont proportionnels aux dérivées partielles

dV d\ d\ dx^ dy' ds '

et par conséquent proportionnels aux composantes X, Y, Z de la force. On en conclut que la force est dirigée suivant la normale 8 la surface.

Soit dn la portion de normale comprise enti*e deux surfaces de niveau infiniment voisines Y et V -h dV, et supposons que Taxe des x coïncide avec la normale; on a alors

dV

Ainsi, la force qui s exerce en un point est égale à la dérit'êe du potentiel par rapport à la normale à la surface de niveau passant par le point considéré^ et cette force est dirigée du côté vcr$ lequel le potentiel diminue.

Dans les raisonnements qui précédent, nous avons supposé que le point P est situé en dehors des masses agissantes ; dans

ce cas, la distance r ne devenant pas nulle, le quotient - i*este

fini, et rintégrale Y a une valeur parfaitement déterminée; le potentiel est une fonction finie et continue de j:, y, 2, et les roinposantes X, Y, Z jouissent de la même propriété. Mais, lorsque le point P est situé à Tintérieur des masses agissantes,

la fonction - devenant infinie, la détermination des intégrales

présente de graves difficultés.

Pour reconnaître si le théorème relatif aux dérivées \nv,roiëres du potentiel est encore exact lorsque le point P fait partie des masses agissantes, nous aurons recours à quelques propriétés des couches sphériques.

208 TRAITÉ D*ËLECTftIGITÉ STATIQUE.