Potentiel d'ane concbe sphérlqnc homogène. — L'action
qu'une couche électrique répandue uniformément sur une surface sphérique exerce sur un point intérieur est nulle, comme nous l'avons vu (50 et 51) ; le potentiel de cette couche dans l'intérieur est donc constant, le premier théorème étant alors applicable, et il a partout la même valeur que pour le centre où
il est égal à ^, R désignant le rayon de la sphère et M la masse
totale d'électricité.
De même, le potentiel d'une couche homogène comprise entre deux sphères concentriques de rayons R^ et R, est aussi constant pour tous les points intérieurs, et égal à la valeur qu'il possède au centre. Si p est la densité d'une couche comprise entre deux sphères infiniment voisines dont les rayons sont aela-hdaj la variation du potentiel au centre due à cette couche est
„, Ha*da -
• dV = p = A-::pada.
On a donc, pour le potentiel en tous les points situés dans l'intérieur de la couche proposée,
V= r^4:rparfa=2::p(R,« — R,«).
138. D'autre part, l'action qu'exerce sur un point extérieur une couche sphérique homogène pu formée de couches concentriques homogènes (28) est la même que si toute la masse était
concentrée au centre de la sphère ou — ^, D étant la distance
du point au centre et M la charge totale de la couche considérée. Les surfaces de niveau sont alors évidemment des sphères concentriques à la première, et la force en un point est égale et contraire à la dérivée du potentiel par rapporta D, ce qui donne
dy__M dD~ D'' d'où
la constante est nulle, le potentiel étant nul évidemment quand D devient infini.
Le potentiel d'une couche sphérique semblable sur nn point extérieur est donc le même que si toule la masse était réunie au centre de la sphère.
139. UéÊÊérmMîUén premier «MoréaM». — Considérons maintenant un point P situé dans Tintérieur d'une sphère homogène de rayon R et de densité p, à une distance r du centre. Le potentiel en P des couches dont le rayon est plus grand que r est, puisque le point P se trouve dans l'intérieur de cette couche,
le potentiel au même point P du noyau intérieur est
Le potentiel total au point P est donc
V=2::p (R«— r») -h*^pr*=«zpR' — ? zpr».
Prenons le centre 0 de la sphère pour origine des coordonnées. Us dérivées partielles du potentiel seront
rfV 4
dV 4
D'autre part, l'action exercée sur le point P par les couches qui lui sont extérieures est nulle ; Faction du noyau intérieur est la même que si toute la masse était concentrée au centre et égale à
Cette force est dirigée suivant le rayon OP, et }>cs composantes
210 TRAITÉ D^LECTRICITÉ STATIQUE.
parallèles aux axes sont
X = ; T:px, o
On voit qif elles sont égales et de signes contraires aux dérivées partielles du potentiel.
140. Supposons enfin que le point P soit situé dans une masse agissante quelconque et partageons cette masse en deux parties : Tune comprise dans une sphère très-petite S comprenant le point P et l'autre extérieure à cette sphère. Le potentiel en P se compose du potentiel V, de la masse extérieure et du potentiel Vj de la sphère S,
et les composantes de la force sont,, de même, égales à la somme de celles qui proviennent séparément de ces deux couches,
Puisque le point P est extérieur à la deuxième masse, les com^ posantes X,, Y,, Z, sont égales et de signes contraires aux dérivées du potentiel V,. Si la densité de la petite sphère S est constante, il en est de même, comme nous venons de le voir, pour les forces X^, Y^, Z^ et le potentiel V,. Donc les composantes X, Y, Z de la force qui agit en P sont encore égales et contraires aux dérivés du potentiel en ce point.
Ici encore nous avons admis, pour simplifier la démonsiration, que la densité est constante dans l'intérieur de la petite sphère qui renferme le point P ; on démontre d'ailleurs que le théorème est encore vrai si cette densité électrique n'est pas constante au voisinage du point P ; nous l'admettrons.
