M = CV

Si l'on met en présence de ce conducteur A un second conducteur 6, les phénomènes d'influence diminuent le potentiel du premier ou augmentent sa capacité électrique qui devient alors Cj. L'équilibre n'existe plus et le conducteur A reçoit de nouveau de l'électricité de la source jusqu'à ce que sa charge soit devenue

et l'appareil est alors un véritable condensateur dont A est le collecteur.

Ces deux équations donnent

On voit d'après cela que la force condensante d'un condensateur, c'est-à-dire le rapport des charges que prend le collecteur, lorsque le condenseur existe ou non, est égal au rapport des capacités électriques de ce collecteur dans les deux cas.

Ainsi, dans le cas que nous avons examiné plus haut (152), d'une sphère entourée par une couche sphérique concentrique isolée, la force condensante a pour expression

n R ^ïiZL^'

Si le condenseur, au lieu d'être isolé, est mis en communication avec le sol, les phénomènes d'influence deviennent plus grands et la force condensante augmente également.

Pour le même exemple d'une sphère entourée par un conducteur sphérique, la force condensante est alors

THÉORIE DlilS PHÉNOMÈNES ÉLEGTRIQUhiS. 227

457. On peut remarquer encore que si le collecteur A, au lieu d'être en communication permanente avec la source, est chargé à refus, puis isolé et seulement alors soumis à rinflucnce du condenseur, le potentiel du collecteur, qui était d'abord égal à celui de la source V, diminue jusqu'à une autre valeur V^ sans que sa charge M ait été modifiée. Ce nouveau potentiel satisfait aux équations

M = CV=CJ,; on en déduit

La force condensante est donc aussi égale au rapport des potentiels que donne une même charge électrique au collecteur lorsqu'il est soustrait à toute influence ou qu'il est en présence du condenseur. Ces trois expressions

de la force condensante peuvent servir de principes à des méthodes différentes pour la déterminer par expérience.

158. PfNnmde de Grecn. — Lcs théorèmes généraux quc nous venons d'établir par un raisonnement sommaire peuvent être démontrés d'une manière plus complète à Taide d'une formule de transformation due à Georges Green.

Soient U et V deux fonctions quelconques finies et continues de a:, y, z. Posons, comme précédemment,

dV^ d'y d^ al:

dx^'^'dtf'^ dz'' et considérons Tintégrale

Vl\dxdydz,

Fig. 83.

étendue au volume enveloppé par une

surface fermée convexe S (tig. 83). Cette intégrale est composée

de trois termes de la forme

U^-j dx, les coordonnées ye\z restent constantes et les limites de Tintègration sont les abscisses x^ et x^ des deux points P^et P, où une droite parallèle à Tune des x rencontre la surface S. On a donc, en intégrant par parties.

j X, ^ ^ \ d^Jx, "^V dxjx^ J^^

dUdV dxdx '

et, par suite,

Le produit dxdydz représente un élément de volume dv, et le produit dydz un élément de surface diù pris sur le plan des yz ; on peut donc écrire l'équation précédente sous la forme plus simple

J dx* J L \ dx) Xi \ dxjx^j ^ J dxdx

L'élément do) est la projection sur le plan yOz de deux éléments djj et d^, de la surface S , situés aux points P^ et P,. Si l'on appelle a^, p^, Yh «i» Pi» Yn les cosinus des angles que les normales PjNp P,N, à la surface aux points P^ et P, font avec les axes des coordonnées, la normale en chaque point étant menée à Textérieur du volume enveloppé par la surface, on a

dti) = — a^ djj = -h a, dj,,

et, par suite,

J \~\ dxjx^ \ dx)x^\

TOBORIB œs PHÉNOMÈNES ÉLIXTRIQDE8. 999

Mais le second membre est l'intégrale

dx

élendue à toute la surface S; on a donc

fv^J,= fvJU,- fffiv.

J dar j dx J dx dx

Les deux autres parties de Tintégrale proposée donnent des équations analogues et, en les ajoutant terme à terme, il vient

ÇfdM rfV dU rfV rfl' rfV\ j^, J \dx dx dij dtj dz dz J

Soit d$ un élément PP' de la normale à la surface S, menée par le point P vers rcxtérieur ; les cosinus a, ^, y ^^'^ angles que relie normale fait avec les axes ont pour expressions

dx dy dz

ds f/« ' ils'

<hi en déduit

^dV rfV rfy dVrfx d\dy d^dz d\ dx dy dz dx ds dy ds dz d$ ds '

c^qui donne flnalement

A- vrfr — Cv ' - d — C(—— — ''- '^- '^) dr J J ds J \dxdx dydy dzdzj '

Tintégrale double s*étendanl à la surface S, et les deux intégrales triples au volume enveloppé parcelle surface. Telle est la formule de Green.

Pour simplifier, on a supposé le volume limité par une surface convexe, mais il est facile de démonirer que la mi^me formule est applicable à une surface quelconque, pourvu bien en- If'ndu que cette surface soit fermée.