III
On peut énoncer cette relation de la manière suivante :
Nous avons désigné par ds un élément extérieur PF (fig. 84) de la normale à la surface S; considérons les deux surfaces de niveau V et V -+- dV qui passent par les points P et P'; appelons dn l'élément PN de la normale à la surface V compris entre les deux surfaces de niveau, et i l'angle NPP' des deux normales. Dans le triangle rec-
Fig. 8i.
tangle PNP' on 'a
dn = ds cos t ;
il en résulte
rfV rfV
= "ï- cos i = — F cos i ;
ds dn
F désignant la force qui s'exerce au poinl P et qui est dirigée suivant la normale PN à la surface de niveau,' F cosi est la projection de cette force,sur la normale PP' à la surface S. L'équa-
THÉORIE DES PHËNOHËMES ÉLECTBIQDES. 931
tion (III) prend ainsi la forme
(in/ fv
cosîrfa = iî:M,
d*où Ton d6duit le théreme suivant :
Th. III. — La somfne de» composantes normales des forces qui s'exercent sur les différents éléments d'une surface fermée est égale à la masse agissante enveloppée par cette surface, multipliée par le facteur constant ix.
160. Th. IV. — La différence des forces qui s'exercent sur deux éléments correspondants de deux surfaces de niveau est égale à la masse agissante contenue dans le canal orthogonal compris entre ces deux éléments, multipliée par le fadeur constant ir.
Soient S| et S, (fig. 85) deux surfaces de niveau; prenons sur la première un élément da^ et, par chacun des points du périmètre de cet élément, menons une ligne orthogonale aux surfaces de niveau comprises entre S^ et S, ; le canal ainsi formé ^^ découpera sur la surface S, un élément correspondant rfj,.
Appliquons le théorème précédent au volume enveloppé par le canal et les deux éléments qui le terminent ; il faut étendre l'intégrale à toute la surface du canal. En chaque point de la surface latérale, la force est tangente à la ligne orthogonale, sa composante normale est nulle; Tintégrale se réduit donc aux termes fournis par les deux bases rfj, et rf?,.
Si l'on mène les normales dans le sens PjP, la relation (10) devient
m étant la masse agissante comprise dans le canal orthogonal.
Lorsqu'il n'y a aucune masse agissante entre les deux surfaces
95S TRAITÉ DtLEGTRIGITÉ STATIQUE.
de niveau, on a
et par conséquent les forces qui s'exercent sur les éléments correspondants sont égales.
461. Th. V. — La force qui s'exerce en un point infiniment voisin d'une couche électrique est égale à la densité électrique sur la surface multipliée par 4x.
Dans un système électrisé quelconque en équilibre, la surface S d'un conducteur est une surface de niveau, et sur cette surface est répandue une couche électrique. Prenons un élément da de cette surface et considérons deux surfaces voisines, savoir : une surface de niveau extérieure S, dans le voisinage de l'élément du, et une surface intérieure S^ ; par chaque point du périmètre de l'élément ef?, menons à l'extérieur une orthogonale aux surfaces de niveau comprises entre S et S,, et prolongeons cette ligne arbitrairement à l'intérieur, jusqu'à la surface S^ ; nous formerons ainsi un canal détachant sur les surfaces S, et S^ les éléments du, et d(J^. Appliquons le théorème lU à ce canal ; l'intégrale doit être étendue à la surface qui l'enveloppe.
Pour toute la partie qui est située à l'intérieur du conducteur les éléments de l'intégrale sont nuls, puisque Y est constant. La normale en un point de la partie extérieure de la surface latérale du canal est tangente à la surface de niveau qui passe en
dV ce point; quand on marche sur cette normale on a -p =rrO, et les
éléments de l'intégrale sont encore nuls pour cette partie de
la surface du canal. L'intégrale se réduit donc au terme
dV\
-T- I d(j, fourni par la base extérieure du,. D'autre part, (ji étant
la densité électrique sur l'élément d?, la masse électrique contenue dans le canal est (jidu. L'équation (III) devient donc
ou
/dy\ d^^
\dnj^ du
THÉORIE DKS PHCNONiNES ÉLECTRIQCES. S85
Si Ton suppose que la surface S, se rapproche de plus en plus de la surface S, le rapport -r- a pour limite l'unité, Texpression
( T ) représente la dérivée du potentiel en un point de la surface S, et Téquation précédente se réduit à
<" -(îi)=*-=f-
Nous avons déjà démontré directement ce théorème (58).
162. Th. VI. — Les éléments con^e^pondants de deux couches placées en regard F une de T autre contiennent des quantités d'électricité égales et de signes contraires.
Considérons deux conducteurs A et B (fig. 86) électrisés et placés en regard l*un de Fautrc, de telle sorte que deux parties S, et S, de leurs surfaces soient comprises dans un même canal orthogonal ne renfermant entre les deux couches répandues sur S, et sur S, aucune autre masse électrique. Appelons éléments correspondants des deux cou-
Fig. 86.
ches, les éléments do^ et dtj^ compris dans un canal orthogonal infiniment petit; imaginons ce canal prolongé d*une manière quelconque dans Tintérieur des deuxcorps et fermé aux deux bouts, et appliquons à ce volume la relation (UI); tous les éléments de Tintégraie sont nuls : d'ailleurs la masse électrique qui y est contenue est {ji^d?, -h lA^^^ti i^i et [a, dt'signant les densités sur d'7^ et di^ ; Téquation se réduit donc à :
(VI) IaA + Mî,= o.
163. Supposons que les deux surfaces S, et S, soient très- voisines Tune de Tautre, et appelons e la distance des éléments r/?, et (/;, correspondants. Ces deux éléments élant sensiblement égaux, on a approximativement (x, = — (i^. La densité est donnée d'ailleurs par la relation (V)
mais quand on va de la surface S^ à la surface S,, la dérivée du
V —V potentiel diffère peu de -^ -*, on a donc la formule approchée
Ainsi, la densité électrique en chaque point varie en raison inverse de la distance des deux surfaces.
164. Th. VU. — Lorsque, dans un système électrisé en équilibre, un corps conducteur enveloppe diverses masses électriques, la somme algébrique des quantités d'électricité situées à Vinté" rieur et sur la surface interne du corps est nulle.
Soient m, m', m*' ..., les masses électriques situées à l'intérieur du corps conducteur enveloppant A (fig. 87); sur la surface interne du corps est répandue une couche M^ et sur la surface externe une couche M,; il peut y avoir d'autres masses électriques en dehors. Imaginons une surface fermée S dans le corps A lui-même, c'est-à-dire entre sa surface interne et sa surface externe, et Fig 87 appliquons au volume enveloppé par cette
surface le théorème 111. Le potentiel V de tout le système ayant une valeur constante dans le corps A, la
rfV dérivée -p est nuUe en chaque point de la surface S ; on a donc
M = o et, par suite,
(VU) Mj-+-m-+-m'-4-m"-+-....=o.
Les masses m, m'...., peuvent appartenir à des corps mauvais conducteurs ou bien être des couches répandues à la surface des corps conducteurs isolés les uns des autres et de la surface interne du corps A.
S'il n'y a pas d'autres masses électriques que celles qui sont enveloppées par le corps A et que ce corps ait été primitivement à l'état neutre, il sera électrisé par influence, et la somme algébrique des quantités d'électricité libre développées sur ce corps sera nulle ; on aura donc
M,=: — M,=mH-m'-|-m"-h....
THÉmiE DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRIQUES. 335
La quantité d'électricité développée par influence sur un conducteur enveloppant est égale à la quantité d'électncité influente, La couche extérieure M, est en équilibre d'elle-même ; mais la distribution de la couche intérieure — H, dépend de la disposition des masses influentes. C'est le théorème de Faraday (155).
1G5. Th. VIU. — Quand une surface fermée ne renferme aucune masse (agissante et que sur cette surface le potentiel est constant^ le potentiel est aussi constant dans tout le volume enveloppé par la surface.
Supposons que dans la formule de Green, les deux fonctions U et V soient égales et représentent un môme potentiel, on aura
/uv.=/v-.-/[(-;.(;;v;.(-/j„.
si Ton remplace AV par sa valeur — izp et si l'on remarque que
il vient
fv'dv = f\ ^àz-hAi: fp\dv.
La surface proposée S ne renfermant aucune masse agissante, on ap=o dans tout le volume et, par suite,
Çp\(lv=zO,
n*autre part, le potentiel ayant une valeur constante V, sur toute la surface, on a, en vertu du théorème III,
On en déduit (VIII) fFV/r = o.
Celle intégrale ne peut être nulle que si la force électrique es! nulle en tous les points; par conséquent, le potentiel est constant dans toute l'étendue du volume.
S36 TRAITÉ D*fiLEGTRIGITÉ STATIQUE.
166. Th. IX. — Un système formé de masses électriques fixes et de charges électriques données sur des corps conducteurs n'ad^ met qu'un état d'équilibre.
Considérons d'abord un système formé seulement de corps conducteurs Ap A,, A,, . . . isolés et tels que chacun d'eux renferme des quantités égales d'électricité positive 6t d'électricité négative, je dis que le seul état d'équilibre est l'état neutre. Admettons en effet qu'il s'établisse un autre état d'équilibre, et appliquons la formule que nous venons d'établir
r r'^'^ f yiy dv ^ f\^^d7— fv'dv,
au volume compris entre les surfaces des différents conducteurs et la surface d'une sphère d'un très-grand rayon qui les renferme tous.
Le premier membre de cette équation est nul, puisqu'il n'y a aucune masse électrique dans le volume considéré; la densité électrique est nulle partout, le facteur aV est aussi nul en tous les points.
V -T- da se compose de deux parties, l'une relative à la surface des différents conducteurs et l'autre à la surface de la sphère. Sur chacun des conducteurs le potentiel est con-
d\ ptant, et la dérivée -j- est égale à — 4:qjL ; on a donc, pour cette
