première partie

rv^dc7=-4^V rixdŒ=— 4i:VM,

M désignant la masse électrique totale répandue sur le conducteur considéré. Or, cette masse est. nulle et les termes de l'intégrale relatifs aux différents conducteurs sont tous nuls.

Pour la partie qui est relative à la surface de la sphère, on peut remarquer que le potentiel diminue à mesure qu'on augmente le rayon de cette sphère et tend vers zéro ; plus rigoureusement, sur une surface sphérique suffisamment éloignée dont le centre est dans le voisinage des corps électrisés, le potentiel est en raison inverse de la distance ou du rayon, la

THÉORIE DES PHËNONËNES fiLKCTRlQUES. 337

force électrique -7- en raison inverse du carré du rayon, de sorte

que rintégraie tout entière variera comme Tinverse du rayon et tendra vers zéro.

Le deuxième terme du second membre doit donc être nul aussi, ce qui exige que l'on ait

On voit que la force électrique est nulle en tous les points du volume considéré. Or, dans le voisinage d'un conducteur, celte force est égale à 4::|jl, la densité éledtrique \k est donc nulle en tous les points de la surface des différents conducteurs et, par suite, tous ces conducteurs sont à l'état neutre.

Considérons maintenant un système quelconque formé de masses électriques fixes m, m\ m',... appartenant à des corps non conducteurs, et de charges M,, M,, M,,... répandues sur des corps conducteurs Ap A,, A,,...; nous voulonsdémontrer qu'il n'y a qu'un état d'équilibre. Supposons qu'il yen ait deux ; appelons iJi^ ;a,,.. les densités des couches répandues sur les corps conducteurs dans le premier état, \l\^ {i^',)*-* les densités dans le second état. Si Ton change les signes de toutes les masses électriques dans le second état, on aura un nouvel état d'équilibre, — m, — m\ — m%... — \k\y — |a',,...- Ajoutant cet état au premier, on obtiendra un nouvel étal d équilibre, dans lequel les masses fixes m el — m, m' et — m'. .. se neutralisent, et la densité des diverses couches devient jx, — \k\, |jl, — i*',,... ; la somme algébri(|ue des quantités d'électricité qui forment chaque couche est nulle. On renlre alors dans le cas particulier que nous avons étudié d'abord; ce nouvel état d'équilibre est l'état neutre, et l'on a /,^=lAp |A^' = it,,... Ainsi, le syslème proposé ne peut présenter qu'un état d^équilibre.

iG7. Corollaire. — Si un conducteur présente des cavités qui ne renferment aucune masse agissante^ toute Vélecti icitê se porte sur la surface du corps comme s'il était plein.

Soit en effet M la masse d'électricité libre que possède le con« ducteur. Si l'on suppose ce conducteur plein, la masse M sera distribuée à la surface et le potentiel s«Ta constant en tous les points du corps. Creusons maintenant des cavités quelconques

dans ce conducteur sans modifier la couche superficielle, le potentiel ne sera pas changé, il y aura donc encore équilibre et les surfaces internes ne seront pas électrisées. Comme il n'y a qu'un état d'équilibre pour une masse électrique donnée, le théorème est démontré.

168. Th. X. — Lorsque diverses masses électriques sont entourées complètement par une surfeuse de niveau, on peut, sans troubler V équilibre^ les remplacer par une couche électrique, de masse égale à leur somme algébrique, distribuée sur la surface de niveau de façon que la densité en chaque point soit en raison inverse de la distance de deux surfaces de niveau infiniment voisines.

Soient m, m', m",.,, (fig. 88) des masses électriques quelconques, appartenant à des corps conducteurs ou non, S^ une surface de niveau qui les enveloppe et dont le potentiel estVj. Supposons que Ton fixe •* toutes ces masses électriques et imaginons un conducteur Fig. 88. communiquant avec le sol et

terminé intérieurement par la surface S^. Il se produit sur cette surface par influence une couche — Mj (Th. VU) telle que Ton ait

— M^ -h m Hr- m' H- m" -H . . . = o,

et le potentiel est nul en tout point extérieur à la surface S^. Le potentiel de la couche S^ est donc pour tout point extérieur P égal et de signe contraire au potentiel de l'ensemble des masses m -h m' H- m" H- ... ; une couche de masse H- M^ distribuée de la même manière sur la surface S^ pourra donc remplacer les masses proposées. Cette couche serait d'ailleurs en équilibre si la surface S^ était conductrice, carie potentiel \\ est constant sur cette surface, et d'après le théorème VUF, il est aussi constant dans tout l'intérieur puisque la surface ne renferme plus de masse agissante.

Considérons une deuxième surface de niveau S, qui ne renferme aucune masse électrique nouvelle. Une couche de masse

M, = Mj distribuée sur cette surface d'une manière convenable aura encore en tout point extérieur un potentiel égal à celui des masses proposées, et le potentiel à l'intérieur sera alors égal à V,. Pour déterminer la loi de distribution il suffit maintenant de remarquer que les deux couches -h M^ et — M, ont à l'extérieur un potentiel nul, et à l'intérieur de la surface S, un potentiel constant égal à V^ — V,. L'équilibre- existerait donc si ces deux couches étaient répandues, la première sur un conducteur terminé par la surface S^, la seconde sur un conducteur communiquant avec le sol et présentant une cavité limitée à la surface S,. Deux éléments correspondants da^ et dz^ de ces surfaces posséderont des quantités d'électricités égales et de signes contraires (Th. VI), et, si l'on suppose les deux surfaces infiniment voisines, la densité \k^ sur la surface intérieure en un point où la dislance des surfaces est égale à e sera donnée par l'équation (VI)'

Remarquons encore qu'en un point P' situé entre les surfaces S^ et S, le potentiel n'a pas changé. On peut donc, sans changer l'état électrique des points compris entre deux surfaces de niveau Sj et S,, remplacer toutes les masses intérieures à la surface S^ par la couche -|-Mi et les masses extérieures à la surface S, par la couche — M, égale et de signe contraire à la première.

169. Nous appliquerons encore la formule de Green à la dé*monstration du théorème suivant, énoncé par Riemann (*).

Th. XI. — Deux conducteurs XetB sont mis en présence dans un milieu isolant^ et dans leur voisinage peuvent se trouver des corps conducteurs quelconques mis en communication avec le soL Le conducteur A étant porté à un certain potentiel V^ e^B communiquant avec le soU ce dernier prend une certaine charge électrique M>. Inversement, si B est porté au même potentiel V^ et A relié au sol, les conducteurs voisins restant dans le même état, le conducteur A prendra une charge M^ égale à M^.

Désignons par U le potentiel en un point P, lorsque le conducteur A est au potentiel V^, tous les autres conducteurs communi-

(*) Glausiufl, Théorie mécanique de la chaleur, Traduct* de Hi Folie, T* II, p. 38.

240 TRAITE DÉLECTRICHfi STATIQUE.

quant avec le sol, et par Y le potentiel au même point P, lorsque le conducteur B est au potentiel Y^, les autres n^étant pas isolés. Si dans la formule de Green, on permute les lettres U et Y et que Ton retranche membre à membre les deux équations, il vient

Ç\}l\dv— ry-^Udi;= fu^^dç— fY^da.

Les fonctions U et Y ayant la signification que nous venons de leur donner, si Ton étend cette équation à tout l'espace compris entre les différents conducteurs et une sphère de très-grand rayon, on a pour tous les poins de cet espace AD = 0 et AY = 0 ; le premier membre de Téquation est nul et il reste

Les parties de ces intégrales qui correspondent à la surface de la sphère tendent vers zéro à mesure que le rayon de cette sphère va en augmentant ; on peut donc les négliger, et il ne reste que les portions des intégrales relatives aux surfaces des différents conducteurs.

La fonction U est égale à zéro sur tous les conducteurs autres que le conducteur A et sur ce conducteur elle a une valeur constante Yj. L'intégrale du premier membre se réduit donc au terme relatif au corps A et, en désignant par da^ Télément de surface de ce corps, on a simplement

De même la fonction Y est nulle sur tous les conducteurs autres que B, sur lequel elle est égale à Y^ on a donc aussi

d'où

}Ts^''=jds^'''

THÉORIE Dï^ PHÉNOMÈNES ÉLECThIQUES. S41

Si Ton désigne par |a« la densité électrique en un point du conducteur A non isolé, lorsque B est le corps influent, on a pour la surface du corps A

par suite.

U« étant la charge totale que prend le conducteur A dans ces conditions. On a de même