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H^BBi e— ccMtgHpi— . — Quand un espace est limité par deux surfaces sphériques qui ne se coupent pas, les images successives d*un point placé dans cet espace sont situées en dehors, et forment deux séries illimitées, auxquelles la méthode des images électriques est applicable.
D*autre part, en choisissant convenablement le centre d'inversion, on peut transformer deux sphères qui ne se coupent pas en deux sphères concentriques ; il est donc utile de commencer par ce dernier cas.
Soient S, et S» (lig. 104) doux surfaces sphériques
concentriques, a et ac® les deux rayons, e désignant la base des logarithmes népériens; P un point influent, et ae" sa distance au centre commun 0.
Soient Q^ l'image du point F dans la première sphènî S., Pj celle de 0, dans la seconde sphère S», Ut ^^^ ^^ ^t (i^ns la première, et ainsi de
333 TIUrrÉ D'ËLECTRICITÉ STATIQUE
suite; on aura
PO = oc", PO . 0,0 = 0% P,O.Q,0 = o*e«',
On en déduit
P.-iO.Q,0 = a«.
OP = a«*, OQ, = a«— .
OP, =<!«•+"', OQ,=ag-'«+«^,
Si l'on représente par les lettres P , P^ , P,. . . , Qp Q,. . . , les charges ^ électriques situées en ces difTérents points, on aura (215)
P = — 0 — =Pe-''^^=Pe"',
et l'on obtiendrait ainsi successivement
Q,= — Pe-, P. = Pe'',
Q,= — Pe-'-^°», P, = Pe«',
Q,^.= — Pe-c+»'", P,= Pe*'.
Désignons maintenant par Q\ l'image du point P dans la deuxième sphère, par P*, l'image de Q', dans la première, par Q', celle de P', dans la seconde, etc.... ; on aura de même
OF.rrae"-**', OQ',= ae""'— ,
P', = Pc— °, 0'.= — P^"-".
APPLICATIONS DE LA THÉORIE. yiô
Toutes les images positives F. et les images négatives Q, sont comprises dans l'intérieur de la première surface S.; les images P, et (y. sont situées à Textérieur de la seconde surface S».
236. Toutes les images telles que P. forment une série géométrique décroissante, dont le premier terme est Pc""', et la raison e'^; leur somme est
yr'.=pe-° L =p J..
De même, les images Q. forment une série géométrique décroissante dont la somme est
yO, = — IV- „ = IV--.J
1^ charge totale d'électricité comprise dans Tintérieur de la {letite sphère S^ est donc
,0 mO — M
et, pour tout ce qui concerne les points extérieurs à la surface S., on pourra remplacer toutes les images par une couche de mai^se égale à leur somme, répandue suivant une loi convenable sur la surface S«.
Les images P. et Q\ forment des séries divergentes, et leur somme est aussi divergente; mais, comme Tenscmble du point P et de toutes ses images donne un potentiel nul à Tintérieur de la sphère S, et à Textéi icur de la sphère S», on peut remplacer Tensemble des images P^ et i}\ par une couche électrique répandue sur la surface S^, égale et de signe contraire à la somme d<^ quantités d*électricité que cette surface renferme (168). La charge de la surface S^ sera donc
On peut exprimer ces cliarges en fonction des rayons des deux
sphères et des distances PA et PB; on a, en eflét,
OB OA „ pOAOP pOB — OP OA__pOA PB ""*" OB ~ 68— OA'OP"" OPAB*
__pOB l 0P pOP — OA OB__pOB PA
"»~" OAOB "" OB— OAOP— OPAB'
2«^7. Si nous supposons que les rayons des deux sphères deviennent infinis, les surfaces sphériques seront remplacées par deux plans parallèles AA' et BB', passant par les points A etB, et perpendiculaires à la droite AB. Les charges de ces deux plans seront alors
PA ^''^^-^ÂB'
Ces deux charges sont donc en raison inverse des distances du point influent P aux deux plans ; leur somme est égale et de signe contraire à la charge du point P.
