AA
aurions écrit - — — - = i2 x 80 X 30 = 172800.
Comme il nous faut 21600 vibrations, divisons 172800 par 21600 et nous retrouverons le nombre 8 du pignon cherché.
Ainsi pour obtenir le nombre d’une roue ou d’un pignon perdus sachant le nombre des révolutions à obtenir, on effectue l’opération sans s’inquiéter de
CALCUL DU NOMBRE DE TOURS
ce nombre et l’on divise le résultat par le nombre de révolutions voulues si c’est un pignon qui manque. Si c’est uue roue qui manque on divise le nombre de révolutions voulues par le résultat trouvé.
Changement du nombre de révolutions.
Cela nous amène à la solution d’une question qui se rencontre très souvent dans la pratique des constructions nouvelles.
On a un rouage dont le rapport est • — ^ — , c’est-à-dire, que le nombre des
vibrations est 21600 tours pour un du premier et l’on voudrait réduire ce nombre de tours à 18000.
Le rapport deviendrait — - —
Quel nombre faut-il mettre à la place d'un de ceux du rouage précité?
„ 80.72.80.15.2 AIAAA
Ce rouage est — — ■ = 21600.
Désignons d’abord quelle est la roue qui sera sacrifiée ou abandonnée et
supprimons la roue de 72.
.. . , , . 80.80.15.2 OAA
Notre rapport devient — -- - ---- = 300.
Or, on nous demande 18000 au produit; divisons 18000 par 300 et nous aurons 60 pour la roue cherchée remplaçant 72.
Nous avons changé la roue de 72 en roue de 60 pour passer de 21600 vibrations à 18000. Mais nous aurions pu arriver au même résultat en changeant l’un des pignons.
Reprenons le rapport — * 0 ‘ ’ - 21600 et proposons-nous de rame-
ner à 18000 le nombre des vibrations en changeant le pignon de 10.
T , , . , 80.72.80.15.2 . . 10.72.10.30 niûAAA
Le rapport deviendra - — - qui revient a - - - - = 216000.
Divisons 216000 par 18000 et nous aurons 12 pour le pignon cherché. On voit avec quelle facilité on peut transformer un rouage quelconque pour peu qu’on se familiarise avec le maniement de ces rapports.
Observations. — 11 faut toutefois faire remarquer que, pour arriver au résultat cherché, il faut déplacer ou changer des mobiles, roues ou pignons, qui amènent des divisions sans reste.
Ainsi, ce que nous venons de faire exactement pour 18000 n’aurait pu se faire pour 17000, parce que, quel que fût le mobile sacrifié on serait arrivé à un nombre de dents, plus une fraction de dent, ce qui est irréalisable.
Dans ces cas moins simples il faut souvent tout remanier et nous indiquerons plus loin les procédés h employer.
Terminons ici cette première partie. Si on la possède bien la seconde partie n’est utile que dans les cas compliqués. Avec quelques tâtonnements
CALCUL DU NOMBRE DE DENTS
ce qu’on vient de lire suffira. Mais jl faut travailler à coup sûr et nous demandons quelque attention pour ce deuxième chapitre.
CALCUL DU NOMBRE DE DENTS
Deux axes en rapport simple.
1562. Deux axes engrènent ensemble.
L’un doit faire 5 tours pour 1 de l’autre.
Si nous nous souvenons de ce qui a été dit au premier chapitre, nous écrirons de suite -.
Rapport des vitesses.
Cas où on choisit le pignon. — Un pignon de 1 et une roue de 3 rempliraient le but, si ces nombres étaient réalisables.
Mais on ne fait pas de pignons de 1 et fort peu de roues de 5.
Le plus petit pignon en nombre est celui de 6. Si dans le rapport - nous mettons 6 à la place de 1, il nous faudra mettre 30 à la place de S et le rap-
port deviendra — = -. Car nous n’en aurons pas changé la valeur en en o 1
multipliant les deux termes par un même nombre.
La roue et le pignon destinés à produire le rapport des vitesses seront donc
30 et 6.
Nous aurions aussi bien pu prendre 40 et 8, 30 et 10, 60 et 12, 73 et 13 et ainsi de suite.
Donc un rapport de vitesse étant donné, il suffit pour deux axes de multiplier les deux termes par le nombre d’un pignon choisi et les produits donnent les deux nombres cherchés.
Cas où on choisit la roue. — Nous disons pignon choisi, parce que l’un des deux mobiles peut être quelconque.
Toutefois si on peut prendre un nombre quelconque pour pignon, on ne peut pas le plus souvent choisir sa roue.
Ainsi : prenant le rapport déjà donné
nous pourrions prendre pour roue
tout nombre divisible par 3, comme par exemple 100 qui divisé par 5 nous donnerait 20 pour pignon. Mais si nous avions choisi 98 pour la roue, nous
serions tombés sur un pignon de 19 - qui n’est pas possible.
Quand donc, pour un rapport donné entre deux axes, on veut choisir la roue, il faut que son nombre soit divisible par le grand terme du rapport. Ce nombre adopté on le divise par ce grand terme et on a le pignon cherché. Bien entendu toujours quand le petit terme est 1.
CALCUL DU NOMBRE DE DENTS
Vis tangente.
1563. Nous disions plus haut qu’il n’y avait pas de pignon de 1. Mais l’emploi de la vis tangente peut souvent y suppléer.
Si la vis est à un pas on calcule comme pour un pignon de 1, si elle est à 2 ou à 3 pas on calcule comme si on avait un pignon de 2 ou de 3.
Deux axes en rapport quelconque.
f 564. Si deux axes doivent avoir des vitesses comme — par exemple,
oU
le calcul est tout prêt; les nombres peuvent être les mêmes pour la roue conduite et le mobile conduisant, 50 et 30.
Mais si nous multiplions ou divisons les deux termes par un même nombre,
nous aurons un choix quasi indéfini de nombres — — — = — — — -
— — = et ainsi de suite pourvu que les deux termes du rapport demeurent toujours ^ ou
OU o
Pour second exemple plus fréquent, soit le rapport
Faute d’un pignon possible de 3 il nous faudra un nombre d’ailes qui soit son multiple.
Ainsi nous pourrons avoir 6, 9, 12, ce qui donnera pour la roue 50, 75 ou 100.
Nous n’aurions pu choisir un pignon de 7, ou tout autre de petit nombre.
car 25 divisé par 3 égale 8 ^ et 8 - x 7 égale 58 1/3, nombre de dents
iréalisable.
On peut choisir le nombre de la roue pourvu que le nombre choisi soil multiple de 25.
Enfin, on peut remanier à volonté tous les nombres pourvu qu’on ne
trouble point le rapport
Plusieurs axes eu rapport simple.
f 565. Le cas le plus fréquent, dans l’horlogerie surtout, c’est celui où le numérateur est considérable et le dénominateur égal à l’unité.
Tel serait le rapport — .
Une roue de 72 et une vis tangente de 1 pas donneraient les révolutions voulues, et l’on comprend que dans cette combinaison il faudrait que la roue fût conduite par la vis.
Mais les cas où la vis peut être employée sont fort rares et ce n’est point le moment de nous y étendre. D’ailleurs la vis suppose que les deux axes sont perpendiculaires l’un à l’autre.
CALCUL DU NOMBRE DE DENTS
Si donc nous voulions avoir recours à un pignon, le moindre à employer serait de 6.
En multipliant 72 par 6 nous aurions la roue cherchée, soit 432.
Or, en horlogerie du moins, on n'emploie pas de roues de 432.
Il faut alors avoir recours h trois, quatre ou cinq axes successifs.
Prenons 3 axes ou pour mieux dire un axe intermédiaire entre le premier et le dernier. Ceci suppose par conséquent deux roues et deux pignons.
Il faut donc, d’après ce qui a été dit dans le premier chapitre, que le pro-
duit de ces deux roues, divisé par le produit des deux pignons = —, soit 72.
On commence généralement par faire choix des pignons qu’on peut prendre quelconques.
Prenons pour pignons 8 et 10 et examinons ce que deviendra le rapport — .
Remarquons que le produit des pignons sera 8x10 = 80 et que le produit des roues devra être 72 X 80 = 5760, puisque ce dernier nombre divisé par 80 doit donner 72.
80 = 8 X 10 nous aurions eu aussi bien — - - — —
Nous pouvons donc écrire
= — . Mais, puisque
Donc, dès que le choix des pignons est fait, on multiplie le grand numérateur par le produit de ces pignons et on obtient un nouveau nombre qu représente le produit des roues. Il ne s’agit plus que de trouver deux nombres qui multipliés entre eux donneront 5760. produit du numérateur.
45G6. Don lions de suite la méthode générale applicable à tous les cas. Cette méthode consiste îi décomposer le nombre 5760 en ses facteurs premiers et à recomposer avec ces facteurs premiers les deux nombres voulus. Ainsi effectuons l’opération :
Dans ces deux colonnes de chiffres, ceux de droite sont les facteurs premiers. qui, multipliés entre eux redonneront 5760 et ceux de gauche, sont la
CALCUL DU NOM DDK DK DENTS.
suite des nombres divisés successivement par chaque facteur de droite. 2880 = ^4^*, 1440 = et ainsi de suite.
On commence toujours par les facteurs les plus simples 2, 3. 5, 7, 11, 13, etc .
Si nous multiplions entre eux les G premiers facteurs 2, nous aurons 64 pour première roue, et en multipliant les 4 autres nous aurons 90 pour
deuxième roue. Notre rouage sera donc - = — .
Mais nous aurions dû combiner autrement nos facteurs et prendre pour première roue le produit des facteurs marqués d’un point et pour deuxième roue les facteurs marqués d’un trait.
Nous aurions eu alors les nombres 72 et 80 qui se trouvent naturellement dans les rapports donnés plus haut.
On trouverait de même en prenant 3. 5. 2. 2 et 3. 2. 2. 2. 2. 2 les nombres 96 et 60.
On peut, comme on voit varier, ses nombres suivant les convenances.
Rouage Je montre.
1567. Nous pouvons dès à présent calculer le rouage d’une montre et nous demander quels seront les nombres de la roue du centre, des roues moyenne, de secondes et d’échappement, et les pignons de ces trois derniers mobiles pour un balancier battant 18.000 vibrations à l’heure.
Le rapport primitif sera
-, mais chaque dent d’échappement donnant
deux vibrations, il passera 9.000 dents de la roue d’échappement en une
heure. Ce rapport devient donc — j — .
Or, la roue d’échappement a un nombre qu’il faut savoir d’avance suivant
les convenances. — Généralement cette roue est de 15.
Le nombre de tours de la roue d’échappement en une heure sera donc de
— p— = 600 et le rapport qui va servir a trouver notre rouage sera — j— .
Nous avons trois pignons que nous pouvons choisir suivant nos idées et décidons que ces pignons seront 10, 8 et 6.
Dans le rapport multiplions les deux termes par ces trois nombres de
pignons et nous aurons — = - - - - - - — .
Mais à la place de 600 nous pouvons mettre les facteurs qui le composent et posant l’opération :
CALCUL DU NOMBRE T» E DENTS
nous pourrons ramener le rapport donné h
Combinons les facteurs du numérateur de manière h produire des nombres à peu près égaux pour n’avoir pas des mobiles de nombre trop petit ou trop grand.
Nous aurons ainsi pour rouage ■ . ou ou encore 0
Pour se donner plus de facilité dans ces combinaisons on peut aussi décomposer les nombres des pignons; dans ce cas. la suite des facteurs 2. 2. 2. 3. 5. 5. 5. 2. 2. 2. 2. 3. 2
devient
1568. Calculons pour second exemple et sans démonstration un rouage pour 21 .600 vibrations.
La roue d’échappement étant de 12, je divise 21600 par 24 et j’ai 900.
Mes pignons seront 10.10.8.
Multiplions 900 par 10.10 et 8 et nous aurons 720000.
Décomposons ce nombre :
Combinons ensemble les 13 facteurs premiers trouvés et nous aurons par exemple 125.90.64 ou mieux 100.96.75.
Montre complète.
1569. [ ^es deux exemples que nous venons de citer ne s’appliquent qu à une partie du rouage d’une montre. Dans une montre ordinaire il V a trois parties à calculer séparément.
Dans une montre à secondes il y en a quatre : — 1° Du barillet à la roue
CALCUL DU NOMBRE DE DENTS
du centre; — 2° La minuterie; — 3° De la roue du centre à la roue de secondes; — 4° De la roue de secondes à l’échappement.
Examinons successivement ces quatre parties :
Barillet et pignon du centre. — La montre doit marcher 30 heures.
Le ressort doit se développer de 4 tours pour ces 30 heures.
Chaque tour de barillet fera donc marcher le quart de 30 heures, soit 7 -.
Si le pignon du centre adopté est de 10, en multipliant 7 1/2 par 10 nous aurons 75 pour nombre du barillet.
Minuterie. — La roue du centre fait 12 tours pour 1 de la roue de canon.
, 12 le rapport est — .
Si nous choisissons 12 et 10 pour pignons de renvoi et de chaussée, le 12 X 12 x 10 „„ , , . 1440
rapport sera
Effectuant les calculs nous aurons
et si nous décomposons 1440, nous aurons les facteurs
d ou nous tirerons ou - . . , etc., etc.
Dans les pendules, la chaussée est égale à la roue de renvoi. Il suffit alors de multiplier par 12 le pignon de renvoi choisi pour avoir la roue de canon. . 30.84 12 30.7 — T'
on a ainsi
Secondes. — La roue de secondes fait 60 tours pour une de la roue du
centre, ce qui établit — ou avec les deux pignons 10 et 10 qu’on aura choisi
Le nombre 6000 se décompose en 2.2. 2. 3. 5. 5. 5.
De ces facteurs nous tirerons les nombres 80 et 75 ou 100 et 60, etc.
Échappement . — L’échappement, d’une montre doit battre 14400 par heure.
Pour un tour de la roue de secondes, ce sera ■ — 240.
Or, la roue d’échappement a 12 dents; en divisant 240 par 24, nous aurons le nombre de tours de cette roue pour un de la roue de secondes. Le quotient
10 donnera le rapport d’où, en prenant 8 pour pignon d’échappement, nous
tirerons 80 pour roue de secondes.
Régulateurs et pendules.
1570. Les rouages de pendule et de régulateur diffèrent sensiblement des rouages de montre.
CALCUL DU NOMBRE DE DENTS
La roue d’échappement correspond presque toujours à la roue de secondes des montres, et. quant au moteur, il est disposé pour 15 jours ou un mois au lieu de 30 heures.
La roue d’échappement d’une pendule est de 40 dents, son balancier doit faire 12000 oscillations par heure, les deux pignons seront 8 et 7; quels seront les nombres des deux roues? 12000 divisé par 80 sera le nombre de tours par heure de la roue d’échappement, soit 150.
150 et 8 et 7 décomposés donneront les facteurs 5. 5. 3. 2. 2. 2. 2. 7. d’où nous tirerons les deux nombres 100 et 84.
Un régulateur à secondes dont la roue d’échappement a nécessairement 30, donnera avec pignons de 12 et 10 les dispositions suivantes :
3600 vibrations par heure.
— - - — 60 tours de roue d échappement.
Rapport avec pignons
Décomposition 2. 2. 3. 5. 2. 2. 3. 2. 5.
Nombres possibles ou bien -, etc.
Moteur de pendule.
1571. Une pendule marche 20 jours, son barillet développe 6 tours, les pignons du centre et de temps sont 14 et 8, quels seront les nombres du barillet et de la roue de temps?
Nous pouvons établir ces données comme il suit : — — - - — = 20 X 24
6, nombre de tours du ressort. — B, nombre du barillet. — T, nombre
de la roue de temps. — 14 et 8, pignons. — 20, nombre de jours de marche.
— 24, nombre d’heures par jour. — 480, nombre d’heures en 20 jours.
Divisons 480 par le nombre de tours 6, et nous aurons 80 qui donnera le
rapport — , soit 14^--
Décomposant le numérateur et opérant comme nous l’avons déjà fait, nous
aurons les deux nombres 112 et 80, soit pour rouage ■ .
Rouage-moteur de régulateur à poids.
1573. Un régulateur doit marcher 35 jours avec une chute de poids de 1 m ,50, la corde enroulée sur un cylindre de 40 millimètres de diamètre, quels nombres faudra-t-il à la roue motrice et à la roue de temps avec les pignons 14 et 12?
Le cylindre a 40 millimètres de diamètre, soit 125,4 de circonférence, si on multiplie 40 par 3, 1 4.
