CALCULER SA LONGUEUR

1274. Le$ longueurs sont entre elles en raison inverse des carrés des nombres d'oscillations dans le même temps.

Si nous remarquons que :

Les longueurs sont 1 et 4

Les nombres d'oscillations correspondants. ... 2 et 1 Dont les carrés sont 4 et 1

nous aurons la preuve de l'exactitude de celte troisième loi. Ces différentes lois vont nous fournir les moyens de déterminer toutes

les longueurs de pendules dont nous pouvons avoir besoin.

Twomwet 1» lon^piiear d'vn pendule simple, le nombre des osdllailontf étant

donné, et Tlce Tersa.

Première méthode.

1279. Soit un pendule devant, par exemple, faire 7,000 oscillations en une heure.

Le pendule simple, qui bat la seconde, a une longueur de 0",994"*"' (en nombres ronds), et iit 3,600 oscillations par heure ; on aura ainsi la proportion (diaprés le 12Ï4} :

7,000 X 7,000 : SeOO X 3600 : : 99r " : CD. ou 49,000,000 : 12,960,000 ::994 >. Divisant le produit des moyens par Textréme connu, on aura : 12,960,000X994 ^ .... .^ ^

49,000,000 =^ = ^^^ millimètres, 9.

1276. Si la longueur du pendule est donnée, soit 121 millimètres on trouvera le nombre des oscillations par ce calcul (d*après le 1272)

ou 11 : 31,525.;; 3600 >

et en opérant la division du produit des moyens par Textréme connu :

— = 10,317 ; nombre d oscillations cherché.

On voit qu'il n'est pas diflficile de trouver la longueur d'un pendule pour un nombre de vibrations choisi, et vice versa; mais, quoique cette recherche devienne presque inutile, puisque une table des longueurs que doit avoir un pendule pour tous les nombres d'oscillations en usage se trouve à la fin de ce volume, il nous a paru utile d'entrer dans les détails précédents, pour les lecteurs étrangers au sujet, afin de les fami-

liarisep avec la matière, et leur faire comprendre dans quel dédale de chiffres serait entraîné celui qui essaierait de calculer une table sans la connaissance de Tusage des logarithmes. Cependant, mais pour les cas obligés, nous allons donner une seconde méthode encore un peu plus simple que la précédente, et déjà indiquée par M. Millet dans la Revue chronométrique.

Deuxième méthode.

12TT. Prenant pour type le pendule qui fait une oscillation par heure, el dont la longueur est de 12,880,337'",930"" ou en nomln'es ronds 12,880,338 mètres, on tire de la troisième loi (12Ï4) la formule suivante :

12,880,338" l œ (longueur) \ \ v« (fitesse) \ l«.

Puisque le carré de 1 est 1, il suffit de remplacer œ par la longueur (si c'est cette longueur qui est donnée) , ou v par le nombre d'oscillations (si c'est ce nombre qui est imposé), et de calculer la proportion pour en tirer la valeur du nombre inconnu.

Premier exemple. — Combien d'oscillations fera un pendule de 305 millimètres ?

On pose la proportion 12,880,338 : 0,305 I >* ; 1.

En divisant le produit des extrêmes 12,880,338 X 1» ou 12,880,338 par le moyen connu 0,305, on a :

19,880,338 ,^^«^^.^ , , , — '—r^ = 42230616, valeur de v\

v* égalant ce dernier nombre ; v égalera sa racine carrée, ou 6,498, qui est le nombre des oscillations cherché.

Deuxième exemple. — Quelle longueur faut-il donner à un pendule pour qu'il fasse 4,100 oscillations par heure?

Il suffit d'indiquer l'opération :

= 0",766"", valeur de û?.

EiO pendule Isochrone*

Echelle des vitessei.

1278. Comme on Ta déjà vu, Galilée avait conclu d'observations qui ne pouvaient être qu'imparfaites, avec les moyens qu'il avait à sa dis*

lêCHELLE DES VITESSES. 691

positiont à l'iBochronisme des grandes et des courtes oscillations d*un même pendule. Huyghens reconnut Terreur de Galilée, et constata que les grandes oscillations retardaient sur les petites, et il démontra que, pour que les oscillations fussent isochrones, il fallait que le centre d'oscillation du pendule décrivît un arc de cycloïde de chaque côté de la verticale. Cet arc de cycloïde, en s'élevant, s'éloigne de plus en plus de Tare de cercle décrit du point de suspension ; aussi le retard devient-il de plus en plus considérable, à mesure que Ton augmente l'amplitude de Toscillation.

Ce retard tient à ce qu'en vertu des lois du mouvement, une boule qui tombe le long de la concavité d'un arc de cercle met plus de temps h aller de c en B (fig. 71) que de a en B, etc., tandis que si cette boule roule à l'intérieur d'une cycloïde fdR\ les espaces Brf, B/*, etc., sont tous parcourus dans la même durée de temps.

Fin. 71.

La vitesse que possède en B un pendule décrivant un arc de circonférence, quand il a commencé son mouvement en c, est à sa vitesse au même point B, quand il a commencé son mouvement en a, comme la corde Bc est à la corde Ba. Il s'ensuit que si l'on divise l'arc parcouru, à partir de B, ^elon des cordes qui soient comme 1, 2, 3, 4, 5, etc., on aura dans cet arc, ainsi divisé, une Echelle des vitesses; c'est-à-dire que si le pendule part successivement des divisions 10 et 5, par exemple, ses vitesses en B seront comme 10 est à 5.

1379. Huyghens imagina de faire fléchir la suspension du pendule, formée de fils de soie ou de lames métalliques très-flexibles, sur des courbes métalliques contre lesquelles elle venait s'appliquer, et de façon à faire décrire à la masse les arcs cycloïdaux appropriés. Cette méthode, quoique fort ingénieuse, n'eut pas de succès; les effets hygroïnétriques, ceux de la dilatation, les frottements, les adhérences résultant des contacts, etc. , occasionnaient des irrégularités plus grandes que celles que l'on redoutait.

On en revint à faire décrire des arcs de cercle au pendule, et, dans

les pièces du commerce, on combattit le retard des grands arcs par un petit recul àl'échappement; quant aux pendules de précision, les grands soins apportés à leur exécution permettant de réduire retendue de Toscillation, on la borna & quelques degrés. Dans ce court espace, la cyclolde et Tare de cercle se confondant sensiblement, on admit alors que les très-petites oscillations sont isochrones, ce qui est très-près de la vérité ; mais on tomba dans un excès : aux grandes oscillations cycloïdales^ accomplies par des pendules relativement légers, on substitua des pendules d'un poids énorme et des oscillations presque impercepti^ blés. Aussi suffisait-il d'un ébranlement un peu fort pour les arrêter.

Nous avons indiqué dans les articles concernant les régulateurs et les pendules de cheminées, et à partir de la page 5/i.l , entre quelles limites Texpérience a montré qu'il était bon d'enfermer le mouvement an* gulaire des balanciers de ces pendules, nous y renvoyons.

Ou Têtard qu'épromTe le pesé nie loni««'oM a«|^eiite Parc é^MelUatfaa.

1280* Le retard résultant de Taugmentation de Tangle d'oscillation du pendule libre croît plus rapidement que cette augmentation. De la loi du pendule, vérifiée par expérience, H. Robert a déduit le tableau suivant :

Arc d'osciUation. 0«,5 Retard en 24 heures. Ô, 43

— " ^fi « 41^ 30

Un changement en altitude ou en latitude fait retarder ou avancer le pendule.

1281. La gravité ou attraction des corps est en raison directe des masses et en raison inverse du carré des distances. Il s* ensuit que plus un pendule est éloigné du centre de la terre, et moins il est sollicité vivement lorsqu'il redescend dans la verticale. C'est une des causes qui

CENTRE d'oscillation- 693

font qu'un pendule retarde quand d'une plaine il est transporté sur une haute montagne, ou que de Tun des pôles de la terre, par exemple, on le transporterait vers Téquateur, parce que notre terre n'est pas un globe parfait, mais un sphéroïde renflé à Téquateur et aplati vers les pôles.

Une autre cause de retard qu'éprouve le pendule, lorsqu'on le porte vers l'équateur, provient de la force centrifuge qu'engendre à sa surface le mouvement de rotation de la terre; cette force, nulle au pôle, augmente d'énergie à mesure qu'on s'avance vers l'équateur, et, comme elle agit en opposition de la force d'attraction, elle annule ou contrebalance une part de plus en plus considérable de l'action de la pesanteur.

Le pendule qui bat la seconde à Paris, s'il était transporté sous l'équateur, devrait être raccourci d'un peu moins de 3 millimètres, et au pôle il faudrait, au contraire, l'allonger d'un peu plus de 2 millimètres, pour qu'il continuât à marquer la seconde.

BU WBMWVEM C«HPOftÊ «V VMJBI..

Déterminer son centre d'oscillation.

1382. Nous n^avons considéré jusqu'à présent que le pendule simple que nous avons défini au 1371, mais les pendules employés dans l'industrie exigent impérieusement une tige de suspension suffisamment forte et présentant un certain poids; en outre, elle est souvent chargée de pièces accessoires. Il en résulte que le centre d'oscillation remonte d'autant plus au-dessus du centre de la lentille, que cette tige est plus garnie. Beaucoup d'horlogers ayant quelque peine à faire la distinction de ces deux centres, entrons dans quelques détails.

Considérons un pendule oscillant (fig. 72, page 694). En vertu des lois de la pesanteur a tend à marcher plus vite que 6, b plus vite que c, et ainsi de suite ; d'oîi résulte que tandis que les parties d tendent à ralentir le mouvement, les parties a,fr,c, tendent à l'accélérer. Il y a un point, soit ici a?, où les deux tendances contraires s'annulent et qui marche comme si toute la masse était concentrée en ce point, qui est le centre d'oscillation; et ce pendule composé oscille exactement comme un pendule simple de la longueur y a?. On rend visibles ces différents effets en faisant fonctionner un pendule formé d'une tige élastique portant deux boules, distantes en hauteur. L'accélération de la boule supérieure s'accuse nettement par la flexion de la tige.

Donc, plus la tige du pendule est lourde ou chargée de pièces accès*

69& DU PBNDDLB.

8oires, plus le centre d'oscillation remonte au-dessus du milieu de la lentille ; et un pendule composé, quelles que soient sa forme et les matières dont il est formé, fait ses oscillations toujours dans le même temps que les ferait le pendule simple qui aurait exactement pour longueur la iU^ tancedu centre de smpension^ y, au centre d'oscillation^ x, de ce pendule composé (abstraction faite des différences de résistance de Pair, des ressorts de suspension, etc.). On le voit, c'est à bien déterminer la position de ces deux centres qu'il faut s'attacher, et non aux dimensions extérieures du pendule.

Fig. 7Î.

Dans un pendule formé d'une lourde lentille et d'une tige légère, d'aluminium par exemple, le centre d'oscillation se trouve placé trèspeu au-dessus du centre de la lentille, et même au centre ou audessous sil'écrou qui soutient la lentille contrebalance Teffet du poids de la tige ou va au delà.

Dans un pendule à seconde dont la lentille pèserait 10 kilog. et serait portée par une tige d'acier de 11"'*,33 de large sur il"" ,5 d'épaisseur, le centre d'oscillation est à environ 8 millim. au-dessus du centre de la lentille.

1283. On voit que, dans toutes les considérations qui ont le pendule pour objet, on n'obtient aucune mesure fixe si l'on ne prend pour point de départ le pendule simple. Du reste, les observations faites sur ce dernier sont applicables au pendule composé.

Dans la pratique courante des ateliers on emploie, pour arriver à la détermination de sa longueur, le moyen indiqué au 1016; mais il ne donne qu'une approximation parce qu'il ne détermine exactement que le centre de gravité (48) et que le centre d'oscillation s'éloigne notablement du centre de gravité, surtout si la tige de suspension est chargée par le haut, d'un couteau par exemple ; ou bien si elle porte sur