PLUSIEURS AXES EN RAPPORT QUELCONQUE

1578. Les calculs que nous venons de faire se compliquent, s» au lieu

d'un rapport dont le dénominateur est simple, ce dénominateur est nombre.

.400 720 , Tels seraient -^77-, -^77-, etc.

zO oU

Lorsque ces circonstances se présentent, on commence par réduire l'expression autant que possible et souvent on arrive à un rapport simple sur lequel on opère comme nous l'avons déjà fait. :,

Ainsi, les deux rapports ci-dessus deviendraient — et — et on suit ce (jui

reste à faire. Mais il peut se présenter trois autres cas qui rendent de plus on plus difficile l'opération.

1er cas. — Le rapport, aussi réduit que possible, donne un dénominateur de petite valeur.

2® cas. — Le rapport réduit donne des nombres réductibles encore, mais qui n'ont plus de facteur commun.

3® cas. —Le rapport, réduit ou non, présente de; nombres non réductibles.

l^f cas. — Si on présente un rapport comme -^^77-, ce qui veut dire qu'un axe fera 4060 tours pour 350 d'un antre axe, cette expression pourra

La solution est facile, car nous pouvons décomposer 35 en 5 et 7 et 408 en

34.12 34 et 12, ce qui donnerait le rouage -jr^. Mais on n'a pas de pignon de 3.

894 PLISIEIRS AXES EN KAl'l*ORT QrELCO.NQlE.

Multiplions 5 par 2 el lî2 par le môme nombre et notice rouage deviendra définitivement = -^pj: rapport donne.

2« cas, — Examinons maintenant le rapport ^„,. .

looO

Nous le réduisons facilement à — ^q — > nous pouvons déjà estimer qu'il

faudra au moins trois roues et trois pignons pour donner ces vitesses réciproques.

Décomposons les deux termes et nous aurons — -^ qui ne

nous fournirait que deux pignons, dont Tun est impossible. Nous multiplierons le pignon 3 par 2 et nous créerons un troisième pignon de 9, ce qui va nous obliger l\ ajouter ces deux nouveaux facteurs au numérateur pour

arriver enfin a ,^ ,. ^ .

Combinons entre eux les facteurs du numérateur et nous aurons un grand

choix de roues, parmi lesquelles nous adopterons 180.140 et 98, d'où le

**^"8<^ 4Q Q /^ — OU un autre — ^ et ainsi de suite.

lo.y.D lu. «7.0

3« mi. — Ce problème fort difficile ne se présente qu'exceptionnellement. (Cependant, dans l'horlogerie, on a voulu souvent représenter les révolutions des corps célestes dont les rapports de vitesses sont le plus souvent premiers entre eux.

Il faut alors avoir recours à des expédients qui demandent un chapitre spécial, c'est celui que nous allons entrepi*endre.

1574. Beaucoup d'horlogers peuvent s'en tenir à ce que nous venons d'achever; nous ne développerons même pas à fond tout ce qui se rattache à ces rapports extraordinaires.

Pour ceux qui ne feront que lire les chapitres précédents, l'intérêt ne sera pas grand, on y trouvera peut-être de la confusion. Mais qu'on s'exerce un peu à ces calculs et on trouvera un certain charme à les manier.

Si on est dans la voie des recherches ou des compositions mécaniques nouvelles, on possédera un outil qui m'a rendu de bien grands services.

1575. Cas particulier, — Avant de dire le peu que nous voulons développer sur les rouages approximatifs, présentons encore un exemple assez rare, d'ailleurs, de ce qu'on peut demander.

Un axe fait - de tours pendant qu'un autre fera ^ de tours; quels nombres

faut-il?

Suivant tout ce qui est dit plus haut, nous aurions à écrire le rapport 8/434 4?5^"4^r

ROUAGBS POUIl LES KÉVOLUTIONS DKS COHPS CÉLESTES, ETC. 895

Réduisons ces deux fractions au même dénominateur et elles deviendront jo 16 20 20'

16 qui formeront le rapport cherché j^. Les nombres de roues se déduisent

Supprimant les deux dénominateurs 20, il nous restera les nombres 15 et S qui formeront le rapport cherché

par les méthodes ci-dessus données.

Si les deux vitesses voulues étaient 1 et -, le rapport resterait 5, car 1 peut

s'écrire - qui réduit au même dénominateur que ^ donnera ^, d'où le rap-

.8 3 „ . 8 port-:-,dou-.

ROUAGES APPROXIMATIFS POUR REPRÉSENTER LES RÉVOLUTIONS DES CORPS CÉLESTES, ETC.

1576. Après le travail si complet et si clair de M. Brocot (page 876), qui Ta publié en un volume, nous n'aurions qu'à renvoyer à cet auteur bien connu.

Il nous faut cependant expliquer au moins quel est le problème à résoudre et les principes grâce auxquels on obtient cette solution.

Un des axes d'une pendule fait un tour en un jour, et on demande un

rouage convenable pour faire faire à un autre axe un tour en un an. — Le

jour se compose de 24 heures ou 86400 secondes. — L'année se compose de

36oJ 5h 48' 48" ou 365 jours + 20368 secondes ou 31556368 secondes.

Le rapport des deux vitesses sera donc ^^^^ qu on peut réduire à

Si on cherche à décomposer le numérateur, on n'arrivera à aucun résultat pratique parce qu'on aurait toujours des roues trop nombrées. On est alors obligé de chercher par tâtonnement deux nombres formant un rapport approché seulement de celui donné.

Ces tâtonnements sont fort pénibles et fort longs, la méthode Brocot Indique une marche sûre qui donne des résultais de plus en plus approchés.

Voici, sur ce problème, une série de rouages donnés par ce savant horloger avec l'erreur qu'ils comportent.

105555 Roues 5.93.227 ^

^89- = Pignons OTâT-^^^"'^^'^'

164359 Roues 13.47.269 ^ ^„ .

Erreur 0 ,1.

450 Pignons 2.9.25

58804 Roues 4.61.241

161 "~ Pignons 1.7.23

. Erreur l"f 3.

896 TRAINS DIFFÉRENTIELS OtJ ROUAGES A MOBILES TRANSPORTÉS.

Il est entendu que les mobiles au-dessous de 6 seraient remplacés par des multiples agissant sur les deux termes du rapport et qu'on pourrait avoir pour ces trois rouages :

Ces erreurs sont insignifiantes, puisqu'elles résulteraient d'un an de marche.

*"tfi7 Pour donner une idée de la méthode Brocot, prenons un rapport '—,

Si, ne pouvant en faire des roues et des pignons je sacrifie une unité du

numérateur, j'aurai ^, augmentant ainsi le résultat et produisant une erreur

do TTTii mais 7777 ne peut pas se traduire en rouage; diminuons cette fois le 101 101

dénominateur d'une unité et nous aurons — -, dont nous pourrions faire un

rouage à la rigueur.

Mai«, si ce rouage ne nous convient pas et si nous voulons réduire l'erreur,

ajoutons entre eux les termes de l'un des deux derniers rapports avec la

, ,. . ... j . 367 + 366 733 367 + 367 traction primitive donnée; nous aurons ! JAi ~ 5â5 ^^ —

= —; à ce nouveau résultat faisons la même opération et nous aurons

Toutes ces fractions dont les termes s'ajoutent entre eux tournent comme approximation autour de la fraction donnée en s'en écartant de moins en moins, et on arrive ainsi promptement à trouver deux termes facilement réductibles.

Nous ne nous étendrons pas davantage.

D'ailleurs, M. Brocot a donné dans son ouvrage des exemples de toutes les conditions qu'on peut rencontrer dans la pratique.

Le mieux c'est de les prendre tels qu'ils sont.

M. Brocot a non seulement donné le moyen de trouver les nombres, mais il a donné les nombres eux-mêmes. Il n'y a plus qu'à s'en servir.

1577. Perrelet a donné, le premier, l'explication des trains différentiels avec lesquels on peut obtenir tous les rapports voulus sans erreur. Cet organe mécanique était presque inconnu avant Perrelet, et un horloger doit en con-. naître les principales données théoriques.

Je vais lâcher de donner une idée de cet ingénieux mécanisme et des théories sur lesquelles il est fondé, théories que Perrelet a créées et qui ont seules expliqué un élément mécanique dont les traces peuvent, à la rigueur, se trouver dans d'anciens ouvrages, mais enveloppées de nuages h ce point que Janvier lui-même, si habile calculateur, n'avait jamais pu en tirer parti.

Ce mécanisme s'emploie dans une multitude d'appareils, mais nous n'indiquerons que ce qui se rapporte h la formation des rouages dont les rapports de vitesse sont irréductibles et qu'on ne pourrait réaliser qu'approximatîvement, comme quand il s'agit de représenter les mouvements des corps célestes.

1578. Imaginons deux règles AB et CD (I, figure 94), appuyant sur un disque NM et susceptibles, par un mouvement dans le sens de leur longueur, de faire tourner ce disque et, par conséquent, de déplacer son centre o à droite ou à gauche. Prolongeons les lignes A B et CD pour indiquer la direction de ces règles et examinons ce qui va se passer quand elles seront mises en mouvement.

Si les deux règles se meuvent dans le même sens de Q vers B avec une vitesse égale et simultanément, il est certain que le disque ne tournera pas, et que si, par exemple, le mouvement des règles a été de Q à R, le centre o du disque se déplac(îra de la même quantité QR ou PS.

De même si, au lieu de se mouvoir simultanément, ces règles franchissent Tune après l'autre l'espace QRou PS, le centre se déplacera encore de la même quantité.

Or, comme il n'y a pas de raison pour que l'une des règles fasse faire plus de mouvement au centre o que l'autre, il en résulte que chacune d'elles fait franchir au disque la moitié de l'espace qu'elle franchit elle-même; d'où nous conclurons, enfin, que le déplacement du centre o est égal à la moitié de la somme des déplacements des deux règles quand elles marchent dans le mrme sens.

Ainsi, si la règle supérieure fait 12 millimètres et la seconde 10, le dépla-

10 + 12 cément du centre o dans le même sens que les règles est — -^ — =11.

1579. Supposons maintenant que les deux règles se meuvent en sens opposés et que l'une aille de Q vers A et l'autre de P vers D. Il est évident que, si le mouvement des deux règles est égal, le centre o ne changera pas (le place, puisqu'il n'y a aucune raison pour que la règle supérieure, plutôt que la règle inférieure, le pousse de son côté.

Mais si le mouvement de la règle inférieure est moindre que celui de la règle supérieure; si, par exemple, le mouvement de AB vers A égale 10 millimètres, et le mouvement de CD vers D égale 6 millimètres; comme, d'après

ce que nous avons dit plus haut, la règle AB fait mouvoir le disque de -5- = 8

dans le sens de A, et la règle CD de ^ = 3 dans le sens contraire, il s'ensuit que le mouvement du centre o égale

Donc, le déplacement du centre o, quand les règles marchent en sens contraire, est égal il la moitié de la différence des déplacements des deux règles, et le disque se déplace dans le sens de la règle qui a le plus de mouvemcnl.

Figure 94.

1580. Cela entendu, voyons ce qui se passera si le disque est denté et si les deux règles sont remplacées par deux roues de champ comme en 11 (figure 94).

AB est un axe traversé par une tige T sur laquelle pivote le rouleau R. C et H, deux roues de champ tournant librement sur Taxe AB et engrenant avec le rouleau R. R rouleau mobile transporté, ou satellite.

L'engrenage, formé par les trois mobiles C, R, H, peut être produit avec avantaige par des roues d'angle. Dans l'un ou l'autre cas, voici ce qui se passera :

Si H est fixe et si C tourne, le rouleau R sera entraîné et Taxe qui le porte AB tournera dans le même sens que C.

Il en sera de même si c'est H qui tourne et C qui est fixé.

Si les deux roues H et C tournent, soit dans le même sens, soit dans le sens contraire, le rouleau R, entraînant l'axe AB, le fera tourner dans des conditions que l'on comprend déjà, si l'on se rappelle ce qui a été dit pour la figure 1.

En eflet, les roues G et H remplaçant les règles dont nous parlions plus haut et R remplaçant le disque, ce que nous avons dit pour les unes s'applique aux autres, et nous réunirons comme il suit l'ensemble des fonctions.

Lorsque deux roues de cliamp engrènent avec un rouleau transporlable suivant le même axe que ces roues, la vitesse de l'axe commun aux trois mobiles est égale à la demi-somme des vitesses des deux roues quand elles tournent dam le même sens, et à la demi-différence de ces vitesses si elles tournent en sens contraire.

Cette règle ne change pas, quels que soient les nombres des trois mobiles, sous la condition que les deux roues horizontales auront toujours le même nombre de dents.

1581 . Voyons quelques explications de cet ingénieux appareil.

La vitesse du rouleau, ou plutôt de Taxe ÂB, étant le résultat de Taddilion ou de la soustraction des deux vitesses de C et de H, il en résulte que ce mécanisme peut servir à additionner des vitesses ou à donner la différence entre deux vitesses.

Ainsi, supposons un second axe portant, deux roues X et U engrenant avec deux autres roues Y et Z, ces dernières faisant corps avec chacun^ des roues de champ G et H.

Le nombre des roues X et U seront 60 et 40, et ceux des roues Y et Z, 10 et 5.

Les rapports de vitesse seront -=— .=65et— = -^^ = 8.

Les roues Y et Z tournant dans le même sens, la vitesse de Taxe AB, par

rapport à Taxe FD, sera donc exprimée par T" =-— = --, c'est-à-dire que,

pour un tour de Taxe FD, l'axe AB en fera 7. On remarquera que, contrairement à ce qui se passe dans tous les calculs

de rouages ordinaires, quoique le rapport final soit-, le facteur 7 ne se trouve

dans aucun des mobiles employés,

tSS2. Si, entre les roues Z et X, nous mettions un renvoi pour servir

simplement à faire tourner Z dans le sens contraire de Y, le rapport serait :

— rr— = - = 7, c'est-à-dire que les deux axes A et D tourneraient avec la 2 2 1' ^

même vitesse, et nous avons choisi cet exemple exprès pour montrer qu'un

simple renvoi a modifié le rapport à ce point que de - les deux axes sont

arrivés à avoir la même vitesse. Dans les deux cas, l'axe A tourne dans le même sens que H.

Si le renvoi, au lieu d'être entre Z et X, était placé entre U et Y, on aurait

toujours le même rapport ^ =-=p mais l'axe AB tournerait en sens

contraire de H.

On a beaucoup employé ce mécanisme pour la comparaison de deux vitesses. M. Wagner, entre autres^ dans sou horloge à mouvement continu.

faisait marcher la roue H par le rouage continu, et la roue G par le mouvement à pendule ordinaire. Si les deux vitesses étaient les mêmes, le rouleau R restait immobile, et on avait la preuve que le mouvement uniforme suivait bien Thorloge ; si le volant continu prenait de la vitesse, à l'instant le rouleau se déplaçait et agissait sur une cloche à air qui ramenait les choses en l'état.

f 588. Voyons maintenant comment on peut utiliser les trains différentiels pour les rapports nombres et formés de nombres indécomposables.

Remarquons d'abord que la vitesse de l'axe AB étant toujours la somme

ou la différence de deux vitesses divisée par 2, nous pouvons, pour éviter ce

diviseur, qui pourrait nous gêner dans la marche du calcul, multiplier par i

le terme du rapport qui représente la vitesse de Taxe AB.

25101 Soit donc ^^ un rapport donné, c'est celui qu'on emploie pour produire

la révolution svnodique de la lune.

, , , \ , ,. 14101+11000 23101 A la place de ce rapport nous pourrons mettre ^ =

14101 11000 ou bien ^..^ -f" ""Sïïtt ^^'^ ^^ multipliant par 2 le dénominateur commun 850 o5U

^ , ,. 14101 , 11000 8o0 comme nous venons de le dire -7=7^- -f- .-.,^.

Ces deux rapports sont ceux qui composeront les deux rouages aboutissant l'un à la roue H, l'autre k la roue C; il ne s'agit donc plus que de chercher ces deux rouages.

Or, le premier rapport donne ^ ^# ^^ 1^ second "gÂTTôl"? ^^ °^^^^ ^"

marquons que 239 du premier est un trop grand nombre pour être aisément taillé.

, . 25101 .. 25101 Ceci nous oblige à décomposer le rapport donné ^ soit comme

il suit:

23101 15000 10101 150 X 100 Uix9i ^ "ÏTQÔT - iTÔÔT "^ 1700 "" 50x34 "^ 50 x34^

ces nombres seraient fort pratiques, et on peut considérer le problème comme lésolu. Il se prôte, en effet, à un nombre presque indéfini de solutions.

Dans ces deux solutions, les roues de champ tournent dans le même sens, parce que les rapports s'additionnent. Si Ton trouvait plus commode de faire que les rapports se retranchent, on ferait tourner l'une des roues de champ dans le sens opposé, en ajoutant un renvoi au système de rouage qui la conduit, ou en composant ce rouage avec un pignon et une roue de plus.

Ainsi le même rapport donnerait :

25101 30000 4899 100x100x30 71x69 TTÔÏT "~ 1W~" 1700 ~ 34X23X20 34x50'