DEMONSTRATIONS DES APHORISMES^ . H

Soient 0 çt A les centrçs de mouvement de la roue et du levier, joigupn5-les par une droite. Soit M le point d'application de la force^ que nous considérons. Il représente ici l'extrémité d'une dent die la roue. Soit aussi HK la tangente au point de contact M ; cette tangente se. confond en ce point avec la courbe de levée. A ce même point M, élevons MG perpendiculaire à la levée ; cette ligne MG coupera la ligne' des centres, prolongée au besoin.

Le travail de M. Rozé fils démontre, par le calcul, que, admettant une levée uniforme à partir de M, le rapport des vitesses angulaires est égal au rapport inverse des segments OG et AG, déterminés sur la distance des centres par la perpendiculaire à la levée MG, élevée du point de contact.

On peut faire tout de suite une application de ce théorème :

Si le rapport de3 vitesses angulaires est constant pour tous les points de la levée, les normales aux points de contact successifs qui résultent des différentes positions du levier passent toutes par un même point ^ situé sur la distance des cep très, ou sur sop prolongement Dftns la figure 2 {planche troisième), cç point sarait en G.

DtmUSTIATKHI TNÉOmQUE ET EkPCRIKRTALË DES «PNOIIfSiES.

tJiie p«iMMee motrice tenue en éqinlllbre par nm brm* d'éehappement ircstera éqnllilnpée, «nelle «ne «ott la lungnenr «n'en donne à ce bras.

3S0. L'aïgle de la levée du trfple bra3. d'échappement A6cD (fig.. 3, planche troisième) est enfermé dans l'angle DA/,. ainsi, que Içs troi$ j plans inclinés hg, nf, ml, qui, pour une même roue et une même levée, répondent à trois longueurs.de bra3 différentes, qui sont entre elles conmie 1, 2 et 3.

L'épaisseur des trois bec3, A^r, M^ mD, déterminée par l'écartemeut des dents d'une même roue, eslî invariable^ tandis que l'inclinaison des . plans d'impulsion varie avec la longueur du levier et s'£j)aîs0e de plus en plus à mesure que ce levier l'allonge. . .

« L'inspection de )a figure 3 {planche troisième), dit le MéttmreÂ^ VL Wagner, suffit à démontrer que pour un même angle d'oscillation, : le plan incliné hg est trois fois plqi^ rapide que je.plan incliné m/, placé ; à une triple distance du centre d'oscillation, car les hauteurs hs, .twD. . restant les mêmes, la b&se D/ sera (e triple en longueur de celle sg. >

c lien résulte que^ si, en raison de la plus grande rapidité du plan > hg, le bec 1 est repoussé avec une force triple de celle qui repousse le

bec 8 , celuî-cî, en raison du iMPas de levier ko\ triple du bras Ao, sera repoussé par une force triple de celle qui repousse le bec 1, de sorte que la force perdue par un plan incliné moins rapide est regagnée par un plus grand bras de levier ; réciproquement, la force gagnée par un plan incliné plus rapide est perdue par un bras de levier plus court. >

331. Le Mémoire en conclut que la question du frottement (sur les repos) réservée, il est indifiérent que les bras d'un échappement soient longs ou courts, < puisqite la force d'impulsion reste constante. »

Et, en tenant compte du frottement sur les repos, que, puisque l'impulsion reste constante tandis que le frottement sur les repos augmente avec la longueur du levier, c il faut diminuer le plus possible la longueur des bras des échappements. >

233. Nous ne pouvons admettre cette double conséquence, qui, selon nous, ne découle pas du tout des prémisses ; on a eu tort de Tériger en règle, car elle n'est vraie que lorsque Féchappement est en repos et que ses résistances sont simplement équilibrées par la force motrice.

Un échappement tenu en équilibre et en repos ne produit rien , n'existe pas quant au but pour lequel il est créé ; et les conditions du problème changent par la mise en mouvement du système. Son état lui-même est changé, puisque de statique il devient dynamique.

Nous aurons à revenir plus longuement sur ce sujet capital, mais auparavant laissons de nouveau la parole à M* Wagner neveu, le premier, à notre connaissance, qui ait abordé et résolu le théorème qui fait le titre de cet article ; théorème qui n'est qu'un cas de la théorie de l'équilibre des forces.

rROOtel BZP&lgNCI.

333» « Les considérations théoriques ont toujours besoin d'être appuyées des résultats de la pratique : c'est dans ce but que j'ai construit un appareil ou plutôt un échaf^ement dont les bras ont des longueurs différentes, et au moyen duquel on peot acquérir la vérité pratique du principe indiqué plus haut. Le même appareil permet, en outre, de mesurer les quantités de frottement que donnent des bras de longueurs différentes (il n'est question ici que des frottements sur les repos)»

i Cet appareil, représenté figure h {planche troisième), se compose d'un double bâti 66, monté sur une base dd; ce bâti supporte, au point a, l'axe d'une branche d'échappement suspendu sur des pivots

APPARBIL d'expérimentation. 121

très-fins, pour diminuer le frottement : sor la longueur de ce bras sont construits trois becs d'échappement i, j\ k, de hauteur égale, pour pouvoir y appliquer la même roue, et leur distance respective au centre d'oscillation est comme 1, 8 et 46. Les trois becs ont exactement la même levée, qu'on peut vérifier au moyen d'un arc de cercle divisé, placé au bas du plus grand bec, et d'un index fixé sur la base dd. Sur l'axe même de l'échappement est fixé un bras horizontal t, à Textrémité duquel peut être suspendu un petit plateau de balance, dans les conditions employées pour les balances de précision. Enfin sur le même axe est un autre bras vertical, sur lequel est fixé un poids curseur r, au moyen duquel on peut équilibrer tout l'appareil, toutefois sans y comprendre le plateau de la balance, qui, dans l'état d'équilibre de l'appareil, repose, par son couteau, sur une pièce fixe du bâti et au contact duquel le bras t n'arrive qu'au moment où le bec ce de l'échappement commence à reculer par l'action qu'exerce sur l'un des fuyants le rayon F, qui représente une des dents de la roue d'échappement ; cette dent est mobile autour d'un axe o, disposé dans une chape à coulisse P, qu'on peut fixer, en un point quelconque, le long du montant vertical v, de manière à permettre de placer à volonté la dent F vis-à-vis l'un des trois becs de l'échappement. Des repères marqués sur le montant v permettent de placer sûrement cette dent à la hauteur convenable, pour qu'elle soit tangente à chaque bec. Sur la dent F (dont lo corps est taraudé) est placée une masse m formant écrou, et dont l'éloigoément ou le rapprochement du centre augmente ou cfoninue l'action de la dent sur les becs»

< Enfin, pour diminuer autaat que possible les causes d'errouTt j'ai exécuté avec le plus grand soin toutes les pièces : les pivots sont très-fins, les surfaces frottantes aussi polies que possible, et l'appareil peut-^tre placé» dans la position la plus convenable, au moyen des vis calantes œœ.

c Voici la mamère d'opérer :

< Après avoir disposé la dent F de façon à attaquer l'un des becs, on place dans le plateau de la balance )e poids nécessaire pour tenir Fappareil en équilibre au moment ob la dent agit sur le plan incliné du bec; puis, conservant ce même poids dans le plateau, on présente la dent à un autre bec, et l'appareil reste également en équilibre, quel que soit le bec attaqué. Cependant le plus court des trois becs n'a qu'un seizième de la grandeur du plus long : on concevra dès lors que tous

122 THIÊORIE DES ^GHAPP. A REPOS FROTTANT.

les becs intermédiaires, quel que soit leur nombre, se comporteront de la même manière.

M Le résultat pratique confirme donc ici le principe théorique que, abstraction faite du frottement, il est tout à fait indifférent que les branches de l'échappement soient longues ou courtes. »

334. Cette conclusion de M. Wagner, conforme aux lois de la mécanique statique, est vraie au simple point de vue géométrique, mais on a eu tort quand on en a fait une règle d'application ; parce que, ainsi que nous Pavons dit (332), et nous le répétons, un échappement doit toujours être considéré dans son moment tfactîvîté ; et alors, les condition^ du problème que Ton a posé sont fort différentes des premières.

En concluant des expériences qui précèdent, en faveur des bras d'échappement les plus courts possiblcj on a forcé la portée de ces expériences, comme nous le prouverons ; mais il est nécessaire auparavant que la proposition suivante soit démontrée.

lia réstotMice en frottement sar les courbée des repos est proporttoBnelle à la loBi^eap da rayon da repoe.

339. En vertu de la loi de proportionnalité du frottement à la pression (183), tout.frottement peut être représ^té par uq poids.

Fi?. 18.

Soit un levier CBà (fig. 18), mobile sur un centre de mouvement B, et formé par deux bras égaux, BA, BC, dont l'un, BC, appuie contre un corps cylindrique en mouvement de rotation, et l'autre BA, porte suspendu à son extrémité un poids P.

Ce poids peut être pris comme l'expression, oq la mesure, de la résistance que le frottement du levier oppose à la rotation du cylindre H,

BéSISTANGB SUR LBS RBPOS. 123

L'intensité de cette résistance doublera, si le poids P est transporté au^ point D ; c'est^èi-dire à l'extrémité d'un rayon double de BA^ ou ei ce poids, demeurant en A, est doublé.

Réciproquement, si le rayon dq frottement BC reçoit une double longueur, et que le corps cylindrique soit transporté en C, le frottement .sur le point de contact sera/éduit de moitié,

DBUiiJaK h^éruhck.

d86. IL Wagner a le premier déterminé pratiquement au moyen de Ti^pardl décrit à Tarticle 3S8, et représenté figure A (planche troisième)^ la valeur du frottement sur les repos.

« En plaçant la dent F sur un point quelconque de Tune des courbes de repos, il faudra un certain poids dans le plateau de la balance pour vaincre le frottement que la dent F exerce sur celte courbe, et déterminer le mouvement de l'échappement. Si on place ensuite la même dent sur ude courbe décrite d*un rayon plus grand, on verra qu'il faudra un poids plqs lourd pour vaincre le même frottement, et un moindre poids pour surmonter celui d'une courbe décrite d*nn rayon plus court ; en se convaincra par là que ce poids augmenfera en raison directe de la leMigueur dei3 bms de Técbappement et détruira, dans la même proportion, la liberté du mouvement. »

lA p«isii»Bee d« PlmpsUI^B^ ««1 entretient le monVement ae^nls &u lialan*' fl«r# MglMBtft 999 1« wuotiomrélmémMÊ^ &éM bMui 4m l'é^appenMBt*

3S7. Gomme dans les cas précédents Tan^lç de Içvéc; et la force motrice ne changent pas.

Admettons, pour un instant, que le prétendu principe de l'égalité de? impulsions soit exact. Il en résultera, de toutç néc^té^ qu'à ihesure* qu'on allpngera les bras de Téchappem^t , Je modérateur subissant des pression? sur les repos de plus en plus considérables, tandis que l'impulsion restera la même, le mouvement de ce modérateur sera dé plus en plus gêné, et ses oscillations s'accompliront avec une lenteur de plus en plus, grande. La montre ou la pendule éprouvera alors un retard dans sa marche en rapport avec l'allongement des bras.

Si la théorie que nous combattons est vraie, cet effet de retard sera sensible à partir de zéro longueur et suivra exactement la progression de l'allongement. Une force motrice doublée donnera une impulsion à peu près deux fois plus forte, mai? la pression sur les repos devenant

I2ll THEORIE DES ^GHAPP. A REPOS FROTTANT.

double, triple, quadruple, etc., pour un bras deux fois, trois fois, quatre fois plus long, le retard devra suivre cette même proportion, si la puissance de l'impulsion ne varie pas.

Or, la pratique nous a donné des résultats contraires à cette conclusion, et il nous sera facile, par un simple recours aux lois de la mécanique, de prouver quMl devait en être ainsi.

238. Les partisans des leviers courts outre mesure ont négligé ou oublié deux éléments du problème quMls ont voulu résoudre. Ne nous occupons pour le moment que de l'un des deux. Sa valeur, qu'il n'est pas facile de dégager dans les dimensions moyennes des leviers d'échappement en usage aujourd'hui, s'accuse assez nettement quand on porte ces dimensions à l'extrême.

Cet élément négligé ou méconnu, c'est la quantité de force absorbée par la friction que la roue d'échappement opère sur la face du plan d'impulsion et par les frottements des pivots.

Le simple examen de la figure S {planche tromime)^ et des lignes t?, v\ v"^ v'j suffit à prouver que cette friction s'opérant sous un angle de plus en plus ouvert à mesure que le levier s'allonge, on a pour conséquence forcée une augmentation de pression sur les bras et sur les pivots de leur axe, et des frottements de plus en plus considérables (70 et 133).

Servons-nous pour résoudre la question de la théorie de la décomposition des forces (328).

Soient r^ et r' les centres d'une même roue agissant successivement sur les bras d'échappement A A, Am, figure 3 (plancAe(roméme); or' et o'r", figurent le rayon de cette roue; t/ et v", les perpendiculaires au milieu de chaque levée. Sur la perpendiculaire à l'extrémité du rayon de la roue prenons la ligne uo, et sa semblable Wc/, comme expression de la force motrice dont la roue est animée, et construisons par les méthodes indiquées les parallélogrammes o»up, dVvlp'.

La force motrice, égale dans les deux cas, est décomposée en deux parts qui sont entre elles : pour le petit levier, conmie po est à ot; et pour le grand levier, comme p'o^ est à o'f.

Or, ot et di représentent la pression exercée en o et </ par la roue.

Approximativement, et en nombres ronds, nous estimons, par la figure, que la pression qui met le levier en mouvement sera à peu près 9 sur le pivot r''^ et moins de 11 sur le pivot r'.

L'avantage au profit du grand levier est assez sensible, comme on voit dans cette première période de l'action.