PRINCIPES GÉNÉRAUX

de la surface fluide dans le réserçoir et le centre de cet orifice.

Ce théorème , connu sous le nom de théorème de Toricellî, a été établi et publié, par ce célèbre physicien, en 1 645, comme une conséquence des lois de la chute des graves , lois qui venaient d'être découvertes par son maître, l'illustre Galilée.

Si on désigne par v la vitesse de sortie et par H la charge ou hauteur de l'eau dans le réservoir, il donnera (8)

12. Nous venons de voir que l'eau sortant des ouvertures M et N n'atteignait pas tout4-fait le niveau du fluide dans le réservoir. Si à ces ouvertures on adaptait deux ajutages parfaitement égaux , l'eau s'élèverait moins haut encore : mais la diminution de hauteur suivrait exactement lé même rapport; par exemple, si le jet qui sort de l'ajutage en M n'était que les deux tiers de MG, celui qui sortirait de l'ajutage N ne serait aussi que les deux tiers de NH. Soit en général ju lé rapport entre la hauteur du jet et celle du réservoir pour un ajutage d'une certaine forme, H et H' deux hauteurs de réservoir, et v et a;', les

vitesses correspondantes, on aura v = y/^gt^VL

et v' = y/agi^R' : d'où

<f est-à-dire que , les ajutages étant de même forme,

ÈCOVLEUSm DE l'E4Û.

les mtesses sont toujours comme les racines carrées des charges.

Des expériences faites par Mariotte (i), il jr a i5o ans 9 et cent fois répétées depuis ^ ne laissent pas le moindre doute sur ce principe.

Je rapporte ci -contre les résultats de quelques-unes d'elles; ils fixeront le degré de confiance arec lequel il doit être admis : 41'autres détails, sur les séries d'expériences qui les ont fournis , seront donnés au n.^ 2$. La première série a été ' faite par M. Castel et moi ; la seconde par Bossut ; les troisième et quatrième par Michelotti , et la dernière par MM. Poncelet et Leshros.

On j remarquera que les charges ont yarié dans le rapport de 1 à 200 et plus 9 et les sections des orifices dans celui de 1 à 5oo; et cependant^ dans toutes , les vitesses ont suivi le rapport des racines carrées des charges : les trèspetites différences qu'on voit , tantôt en plus, tantôt en moins, 'doivent être négligées ; elles tiennent aux petites erreurs inéri.* tables dans ces sortes d'expériences. Elles avaient pour objet direct la détermination des dépenses : mais il est évident que lorsque l'orifice est le même, la dépense ne varie plus qu'avec la vitesse, qu'elle lui est exactement proportionnelle, et que la suite des rapports de l'une est aussi la suite des rapports de l'autre.

D convient 1 5. Le principe général que les vitesses sont

iiihiidcs de comme les racines carrées des charges, ainsi que

iMecipèce. j^ théorème de Toricelli pour les cas où il est

applicable, s'étend aux fluides de toute espèce,

vuaùf.

r«riie«.

■mr

SÉRIE An

raeiaM dlëpcaaM

dM oa ckaifM. vltnaM.

OMt.

o,oa6 0,03

r,ooo 1,064

if*44 1,5*4

o,oa7

1,000 i,5ao

1,000 i,3oi 1,692

carré.

o"ao

lo^ao

1,000 1,323 i,58i i,8o3 a,ooo

(1) JfMÎfé du mowemeni des ea^*

Principes généraux^ i^

Wk mercure, à l'huile, et même aux fluides aéri^ formes. De sorte que la vitesse, avec laquelle chacun d'eux sort d'un orifice , est indépendante de sa nature et de sa densité ; elle ne dépend que de la charge : l'expérience le prouve.

Le simple raisonnement suffit d'ailleurs pomr montrer qu'il doit en être ainsi. Qu'il s'agisse du mercure, par exemple; les molécules placées devant l'orifice, et auxquelles il faut imprimer une certaine vitesse, sont, il est vrai, quatorze fois plus denses que celles de l'eau ; et par conséquent elles opposent au mouvement une résistance quatorze fois plus grande : mais aussi la masse qui presse et qui produit la vitesse de sortie, étant quatorze fois plus considérable, exerce un effort moteur quatorze fois plus grand : il y a compensation , et la vitesse imprimée demeure la même.

i4* A la pression qu'un fluide contenu dans Cas d^l un vase exerce, par spn poids, sur l'orifice de ï^*****^ sortie , peut encore se joindre une pression étrangère , et la vitesse de l'écoulement en est augmen^ tée. Elle l'est de la même manière que si cette dernière pression était produite par un accrois^ sèment dans la hauteur du réservoir, accroisse^ ment qui serait la hauteur d'une colonne du même fluide et dont le poids équivaudrait à celui qui produit la pression : car Û est évident que.^ dans les deux cas , les molécules qui sont à l'ori'* fice reçoivent une égale impulsion.

Un exemple va éclaîrcif cet objet.

Od a un rase fermé de toutes parts et plein d'un alcool

l4 ÂCÔULI^iSNT DE l'eàCT.

dont la pesanteur spécifique est de 0,837 * ^^^ '^ couvercle est une ouverture circulaire de o™o3 de diamètre , dans laquelle on a introduit un piston chargé d'un demi- kilogramme : l'orifice de sortie est à o™25 au-dessous de cette ouverture. Il faut déterminer la vitesse avec laquelle l'alcool sortira. On admet que le frottement des parois du piston contre les borda de l'ouverture est équilibré par le poids du piston même.

Déterminons d'abord la hauteur de la colonne d'alcool qui, par son poids , produirait «ne pression de o 5. Le diamètre de cette colonne , comme celui du piston , devra être de 6^o3 ; et puisque le mètre cube du fluide donné pèse S5y^j si x est la hauteur cherchée, on aura o,5 = tt^ (o,o3)* x X 837 ; d'oi^ X = o"8453.

Celte hauteur devra être ajoutée à celle, o™25, que le fluide a dans le vase: et la somme, i"o953 , sera la charge ou hauteur due à la vitesse de sortie : cette vitesse égalera donc V/a^X 1,0953 = 4'"636.

)i«pense * ^* Après avoir donné Fexpression de la vitesse léorique. avec laquelle un fluide cjuelconque sort d'un orifice, passons à l'usage cpi'on en fait dans la détermination de sa dépense.

On appelle dépense d'un orifice le volume du fluide qui en sort dans l'unité de tems, la seconde. Si la vitesse moyenne de toutes les molécules fluides était due à la charge entière H , cette vitesse, qu'on nomme alors vitesse théorique, serait

[/'nglA. : si , en même tems , il sortait des molécules de tous les points de l'orifice, et en filets parallèles, il est évident que le volume d'eau, écoulé en une seconde serait égal au volume d'un prisme qui aurait l'orifice poui* base et cette vitesse poiu* hauteur ; il serait donc , en appelant S la surface de l'orifice,

rédl&

PAINCIPES GÉNÉRAUX. l5

c'est la dépense théorique.

16. Mais la dépense réelle est toujours moin- IVp«i»e dre. Pour nous faire une îdce exacte de letat des clioses, considérons la veine fluide un peu après sa ^rtie de ToriHce, et coupons -la par un plan perpendiculaire à sa direction. Il est manifeste que la dépense sera équivalente au produit de la section (de son aire) par la vitesse moyenne des filets au moment qu'ils la traversent : si cette section était égale à celle de l'orifice, et si cette vitesse était égale à celle due à la charge , la dépense réelle serait aussi égale à la dépense théorique. Mais il arrive, ou que la section de la veme est notablement plus petite que celle de Forifice, comme dans l'écoulement par les orifices en mince paroi; ou que la vitesse à la section est notablement plus petite que celle due à la charge, comme dans les ajutages cylindriques ; ou même qu'il y a diminution et dans la section et dans la vitesse, comme dans certains ajutages coniques. De sorte que la dépense réelle sera, dans tous ces divers cas, moindre que la dépense théorique; et que pour réduire celle-ci à l'autre, il faudra la multiplier par une fraction.

Si m représente cette fraction , et Q la dépensé réelle, on aura donc

Q = TwS |/^pL Si Q' était le volume d eau écoulé dans lui tems T , on aurait encore Q' = mST [/^gYi.

l6 ECOULEMENT DE l'eAIL

Soit que la diminution dans la dépense pro* Tienne , ou d'une diminution dans la section de la veine, ou d'une diminution dans la vitesse, elle est toujours une suite de la contraction que la veine éprouve en passant par Torifice; aussi le multiplicateur m ou coefficient de réduction de la dépense théorique à la dépense réelle est* il habituellement appelé coefficient de la contraction de la veine fluide , ou simplement coefffi-cient de contraction. De l'exactitude de sa détermination, pour les divers cas qui peuvent se ' présenter, dépend celle des résultats qu'on obtient lorsqu'on applique à la pratique les formules sur l'écoulement des fluides : cette détermination sera en conséquence le principal objet du reste de ce chapitre. Mais avant , donnons de premières notions