CHAPITRE IL

DB Ui TIS D'ARGHBIIÈDB.

Birties et 386. Si SUT la surface d'un cylindre en bois on trace une hélice à plusieurs circonvolutions ou spires, et que, dans une rainure entaillée suivant cette courbe , on implante de petites planches toutes d'une même hauteur et joignant bien les unes contre les autres , leur ensemble pi'ésentera comme un filet de vis très-saillant et d'une épaisseiu* uniforme; et si ensuite on le revêt, avec des douves, d une enveloppe cylindricpie, le tout formera une vis d*Archimède, L'enveloppe en sera le canon, les planches formant le filet de vis en seront les marches , et le cylindre plein constituera le noyau; l'espace compris entre lui, le canon et le filet, formera un canal hélicoïde. Dans les vis ordinaires, on a sur le même noyau trois filets parallèles et écpiidistans , >et par conséquent trois canaux. Le diamètre de la vis, qui est le diamètre intérieur du canon, varie de o'^Saô à o"65; celui du novau en est le tiers;

VIS d'archimède. 45 1

et la longueur de la vis est de douze à dix-huit fois le diamètre, selon qu'il est plus ou moins fort. L'angle que l'hélice fait avec l'axe, ou plutôt avec une ligne droite tracée sur le noyau et par suite parallèle à l'axe, a subi hien des variations; les anciens Romains ne lui donnaient que 45°; à Toulouse, d'après des prescriptions venues de Hollande, on lui donne environ 54^: les constructeiu's de Paris le font généralement de 60°; et Eytelwein, dans un modèle qu'il a fait Étire avec soin, a été jusqu'à 78°. A l'extrémité supérieure de l'axe est une manivelle, et à l'extrémité inférieure un pivot, qui est reçu par une crapaudine enchâssée dans un des petits côtés du châssis qui sert de support à la machine.

387. Si on l'étahlit sur une masse d'eau, en Usage, lui donnant une certaine inclinaison, qui est ordinairement de 5o** à 45*^ 1 de manière que le niveau du fluide soit un peu au-dessus du centre de la hase, et qu'on lui imprime un mouvement de rotation dans un sens contraire à celui des hélices, l'orifice inférieur des canaux, en passant dans l'eau, en puisera une certaine quantité, qui s'élèvera de spire en spire et viendra sortir par l'orifice supérieur.

La vis est particulièrement employée à l'épui- 3ement des eaux qui sont dans les endroits où l'on veut poser à sec les fondations de quelque construction d'architecture hydraulique, pile de pont, radier d'écluse, etc. Sa simplicité, le peu d'espace qu'elle occupe, la facilité avec laquelle

45^ VIS d'archimède.

on rétablit, et avec laquelle on peut en établir plusieui^ presque sur un même point, font qu'elle est employée à de pareils épuisemens , même de préférence à d'autres machines qui pourraient avoir sur elle quelques avantages sous d'autres rapports. Elle était très-connue des anciens; et le nom du grand homme qu'elle porte, indiqué qu elle l'était il y a plus de vingt siècles. Vitruve*, qui vivait dans les premiers tems de l'ère chrétienne y en fait mention, et ce qu il en dit montre qu a cette époque sa construction était peut-être aussi bien entendue que de nos jours.

J« de la fis. 338. Je tâche de donner une idée précise de la manière dont l'eau s'y élève.

Fig. S4. Poiu* plus de simplicité , prenons une vis for-mée par un tube plié et contourné sur un cylindre. Plaçons-la d'abord horizontalement : si, par rorilîce de la base, ou partie inférieure, on introduit une petite boule; en roulant, comme sur un plan incliné, elle s'avancera vers l'autre extrémité du tube, et elle s'arrêtera sur le point le plus bas de la première spire : qu'on fasse tourner la machine, le point sur lequel elle repose s'élèvera ; elle l'abandonnera , et , comme en descendant, elle passera sur le point subséquent; et successivement sur les autres, restant toujom^s au même niveau, mais s'avancant vers l'autre orifice du tube, qu'elle finira par atteindre et franchir. Inclinons maintenant la machine, mais d'une assez petite quantité, et introduisons de nouveau la boule par l'orifice de la base : elle

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ira encore se placer sur le point le plus bas de la première spire; lorsqu'il s'élèvera, par suite du mouvement de rotation, elle passera sur le suivant, qui se sera aussi élevé mais d'une moindre quantité : de cette manière , d'un mouvement tout à la fois progressif et ascensionnel , elle gagnera l'ouvertiu-e supérieure : elle sera montée pour ainsi dire en descendant, le plan qui la portait montant plus qu'elle ne descendait. Si rinclinaison de la vis eût été telle qu'il n'y eût pas eu, dans l'hélice, de point plus bas que celui sur lequel la boule a été d'abord placée, elle y serait constamment demeurée. Enfin, si l'inclinaison eût encore augmenté, la boule n'aurait pu entrer; et si on l'eût introduite par l'orifice supérieur du tube, elle serait descendue en suivant toutes ses circonvolutions, et serait sortie par la bouche inférieure.

Ce que nous venons de dire d'une boule convient également à de l'eau que l'on ferait entrer^ par la base, dans le tube hélicoïde. Elle se porterait sur le point le plus bas de la spire; elle s'y élèverait de part et d'autre , dans les deux branches jusqu'au niveau du point le plus élevé de la branche d'entrée. L'arc de la spire contenant toute l'eau qu'il peut alors admettre, est Varc hjdrophore de la vis.^ Si après que celui de la première spire est plein, on fait faire une révolution à la machine, l'eau qu'il contenait se sera avancée, comme la boide, du double mouvement progressif et ascensionnel, tout en coa-

4^4 VIS d'archimède.

servant, dans chacun de ses points, une direç* lion parallèle à Taxe, et elle se trouvera dans lare hydropliore de la seconde spire : elle aura été remplacée, dans la première, par une nouvelle et égale quantité d'eau. Aux révolutions suivantes, ces deux eaux, ainsi que celles qui les suivront, monteront de spire en spire, jusqu'à l'orifice de sortie. Ensuite, à chaque révolution, la vis versera évidemment une quantité d'eau ^ale à celle que peut contenir l'arc hydrophore.

■■i^^f 389. Mais pour qu'il en soit ainsi , il faut que la base de ' !* ^'' la vis soit enfoncée dans le puisard d'une certaine quandté. f^ Il faut qu'elle le soit au moins jusqu'à un point tel que la

lâiêrd. bouche du tube hélicoïde , après avoir traversé , dans sa rotation , l'eau du puisard , en arrivant à sa surface , se trouve au sommet de l'arc hjdrophorc de la première spire ; alors cet arc se remplira entièrement; et il est évident qu'il n'en saurait être ainsi , si le niveau du résen'oir était au-dessous de ce point, dont nous déterminerons bientôt la position (SgS et 394 ]• — Lorsque ia bouche, en poursuivant sa rotation, aura dépassé ce niveau, l'air de Tatmosphèrc entrera dans le tube, j prendra la place délaissée par l'eau, et à la fin de la première révolution il remplira la partie supérieure de la première spire, celle qui est au-dessus de Tare hvdrophore. U en sera de même pour les spires suivantes : l'eau et l'air j seront disposés comme l'indique la figure; chacune des colonnes du premier fluide sera entièrement supportée par sa spire ; elle n'ixcrcera aucune pression sur les colonnes inférieures; et partout Tâir sera à la même densité que dans l'atmosphère. 11 n'en serait plus de même si le niveau du puisard s'élevait au-dessus du sommet du premier arc hjdrophore, quoique l'orifice du tube se retrouvât 5 encore pendant quelques instans de sa révolution, hors de l'eau. L'air s'introduirait bien dans les spires; mais l'eau en occuperait plus que l'arc hjdropbore : elle s'élèverai-t dans la branche ascendante au-dessus du sommet de cet arc, c'est-à-dire au-dessus du sommet de la branche

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descendante : de tout cet excès , elle pèserait sur la colonne inférieure 9 et comprimerait l'air compris entre elles. SouTcnt Cet air , tendant à reprendre sa densité , traversera la colonne qui est an-dessus. D'un autre côté 9 et par suite des mouyemens qui ont lieu 9 et de la manière irrégulière dont l'eau et l'air se disposent réciproquement, le dernier de ces fluides se trouve raréfié dans certaines parties ; et l'on voit l'air de l'atmosphère s'introduire dans le tube y traverser brusquement l'eau de quelques spires et aller rétablir Féquilibre : ces secousses et ces mouvemens irréguliers diminuent notablement le produit de la machine.

Enfin, lorsque la base plonge entièrement dans le puisard, l'air ne peut plus s'introduire dans la vis : il n'j entre que de l'eau. Si la vitesse de rotation était très-forte, la force centrifuge qui en résulte pourrait élever cette eau et la faire verser par l'orifice supérieur, comme dans le cas mentionné au n.** 552. Mais, avec une vitesse moindre, l'eau n'atteindra qu'une certaine hauteur dans le tube; formant un tout continu, elle pèsera de toute sa hauteur verticale sur l'orifice d'entrée, et son poids compensera l'effet de la force centrifuge. Dans les grandes machines, l'air qui se trouve déjà dans les canaux hélicoïdes et celui qui j arrive par Fouverture supérieure produisent encore l'irrégularité dans les mouvemens et la diminution de produit dont il a été déjà question. Toutefois lorsque les canaux sont très-grands, et que la machine est convenablement disposée et inclinée, l'air extérieur pouvant arriver sans commotion dans toutes les spires, ces inconvéniens ne se présentent plus, et l'on obtient à peu prés le produit ordinaire.

EytelTi'ein , qui a fait une étude particulière des mouvemens de l'eau dans les diverses espèces de vis, a publié une suite d'expériences qui montre le mauvais effet du trop grand ou trop faible enfoncement de la base dans l'eau à épuiser : je donne ici quelques-uns des résultats obtenus. On s'est servi d*un modèle de vis exécuté avec un grand soin : il avait o*"! 56 de diamètre et l'^io de long : il portait deux canaux

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45G VIS d'archimèoe.

liélicoïdeiy coupant l'axr sous un angle de 78* 21'% et ajiot dans le sens du rajron o'"o4a de hauteur. Cette ris fut établie Bur un rcscnoir^ en faisant un angle de So"* ayec l'horizon ; et lorsqu'elle donnait le plus grand produit, le niyeau était à o^'oiS au-dessus du crntre de la base. J'indique dans la première colonne la hauteur de l'eau au-dessus ou au-dessous de ce nireau particulier; et dans la seconde , le Tcdume d'eau cle^é à chaque rérolution. 1

Th^rie Quelque ancienne et quelque simple que soit la m d'Ar- Ir la vi», chiniède, la théorie de cette machine telle qu'on l'emploie canal étant n'tiisle pas encore. Les essais de quelques savans mathématiciens sont loin de mettre à même d'en déterminer exactement les effets. Celle que BernouUi et la plupart des auteurs ont donnée n'embrasse guère que le cas inusité d'un tube de très-petit diamètre roulé en spirale sur un cylindre : je Tais en exposer d'une manière élémentaire les prlndpaux points 9 et comme donnant de premières notions , et pour ne pas laisser une lacune dans cet ouvrage. Fif . S5. Soit y en projection verticale y AM CND l'axe du tube hélicoïde enroulé sur le cylindre ABED, et anhma le cercle, projection de la base du cylindre sur un plan perpendiculaire à son axe. Par le point F de Tare AMM'C, menons la tangente GH ; elle fera , avec larète 01 , un angle IFH que nous désignerons par a; et par l'extrémité B de AB menons l'horizontale BK, l'angle £BK, ou b, mesurera l'inclinaison de la vis. 390. Déterminons la longueur de l'arc hjrdrophore MCN. Et d'abord la hauteur LP d'un point quelconque L de l'hélice au-dessus du plan horizontal BK. Projetons L en /sur la circonférence du cercle de la base, et menons l'horizontale Ir, on aura LP = Lr -f-rP. Pour plus de simplicité, faisons le rayon oa = 1 ; désignons par a la longueur de l'arc A/ (=«/) ; l'angle que l'hélice fait en A avec le plan de la base étant le complément de a ^ on trouvera Lr=L/sin^ = A/colasin^ = a cot a sin h. On aura encore rP = ^ = /B cos b = sb cos b =± ( 1 -f- cos a) cos ^. Donc LP = ûecotasiii^-h( 1 -+-cos\t)cos^. Le sommet ou commencement de l'arc hydrophore de la spire ACD doit être en M, point le plus élevé au-dessus de BK. 11 correspond en conséquence à la valeur maxima de LP. Dif-

Ti4 b'archihède. 45?

fêrenciant Pexplressîon ci- dessus , égalant la différentielle à ïéro f il rient sin a. = cot a tang^; ce qui donne la râleur de l'arc «^ ou am, pour le cas du maximum. Appelant m cette yaleur particulière au point M^ il vient pour la hauteur de ce point au-dessus de BK ^ m cot a sin ^ + ( i + cos m ) cos b.

Si pair M on imagine un plan horizontal ^ le point N où il coupe la branche ascendante de la spire sera la fin de l'arc hjdrophore ; puisque le commencement et la fin doitent être de niveau. Projetons N sur la circonférence de la base; il tombera au point n : appelons n l'arc bn; l'arc de cercle ambn correspondant à l'arc d'hélice AMGN sera sr -H iz; et poux l'élévation de*N au-dessus du plan horizontal passant par B^ on aura(sT-Hn) cotosin^-4-[i -Hcos(sT-f-ii)]cos^.

Cette élévation doit être égale à celle du point M. Egalant les deux expressions et réduisant , il vient (sr-f-w) sin m 4cos (7r+ii) = msinm+ cos m : équation d'où l'on déduira la valeur de n, par voie de substitutions successives.

Cette valeur étant trouvée^ on connaîtra l'arc mbn correspondant à l'arc hjrdrophore MCN. Mais un arc d'hélice est égal à Parc de cercle correspondant augmenté dans le rapport du rajon des tables au cosinus de l'angle compris entre les deux arcs^ c^est-à-dire divisé par ce cosinus. Ici^ l'arc de cercle est ^— wi-f-w, l'angle compris entre les deux arcs est 90** — a. •

la longueur de l'arc hjdrophore sera donc ■; et^pour

un cylindre dont r serait le rayon ,

sin a

391. Si j est la section du tube hélicoïde^ le volume d'eafu élevé ^ à chaque tour de vis^ sera l'expression ci -dessus multipliée par s.

Appelant N le nombre de tours que la vis fait en un tems donnée L sa longueur hors de Peau, et observant que la hauteur de l'élévation est L sinb, nous aurons^ pour valeur de fefibt utile ^ durant ce tems

NLjr(7T-H/i — wi)

sioa

458 VIS D'ARCniMÈDE.

393. L'expression sin m = cot a tang b, obtenaé* en dâS^ renèiant et ^lant à zéro la valeur générale de réléyatioii d'un point quelconque de la première spire ^ (x>nTient Clément an cas du maximum et du minimum : elle donne la plus petite comme la plus grande éléyation. De pins siniii appartient tout aussi bien à l'arc am' qu'à l'arc am, en prenant hn = am. En conséquence 9 si l'on projette le point m\ sur l'arc hydrophore y M qui en est la projection 9 sera le point le plus bas de 1 arc , comme M en est le point le plus éleré.

L'expression cot a tang & représentant un sinus ne saurait excéder 1. Lorsqu'elle lui sera égale ^ les arcs âon et inn' deviendront ao' ; les points M et M' se confondront au point F; il n'jr aura plus d'arc hjdropbore ^ il n'jr aura plus d'eau élevée.

Mais cotittang&=: 1 donne tang^ = =\aûaga,ouh^^a;

c'est-à-dire que lorsque l'angle d'inclinaison sera égal à l'angle que l'hélice fait avec l'arête du cylindre^ le versement cessera; pour qu'il ait lieu y il faut donc que le premier de ces angles soit plus petit que le second.

Celle de ses valeurs qui donne le plus grand effet est implicitement renfermée dans l'expression de l'effet ci-dessus. Pour une même vis, mue avec la même vitesse ^ il n'j a de variable dans cette expression que sin^(:T-hD — m], et il faudra déterminer la valeur de b qui rend cette quantité un maximum.

393. D'après ce qui a été dit au commencement du n.^SBg, pour que l'arc hydrophore prenne toute l'eau qu'il peut contenir^ il faut que le niveau du fluide dans le puisard s'èlèife jusqu'au point m, ou au point /? qui est sur la même horizontale; et par conséquent il faut qu'il s'élève au-dessus du centre de la base de la quantité o;? = rcos m = rKi — (cota tang 6)*. Pour l'élévation verticale 9 on aurait

rcosbV^i — ( cot o tang ^)».

394* Dans ce qui vient d'être dit, on a supposé que l'arc hydrophore avait le tems de se remplir d'eau et on n'a pas tenu compte de la vitesse. Elle a cependant une grande influence sur la grandeur du produit, surtout lorsque le bas de la vis plonge entièrement dans l'eau. Cette influence est

VIS D ARCHIHEDE.

montrée par des expériences d'Eytelwein. Elles 1 nombre ont été faites avec la petite ris dont il a été , ^« ^